Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = (х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

(х) = ln x

1,04

0,039221

1,08

0,076961

1,12

0,113329

1,16

0,14842

1,2

0,182322

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

_x = {x_i / x_i = x_i_–1 + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^*  (a, b).

Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.
Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i – c_i_–₁) / h_i, i = 1, 2, …

Определить значение индекса 0 < k  n из условия x^*  [x_k_– 1, x_k].
Вычислить по формуле

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³.

Процесс завершен: S(x^*) – результат интерполяции табличных данных в точку x^*  (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

a_i

b_i

c_i

d_i

0,03922

0,96467

-1,188280

-29,70700

0,07696

0,92494

-0,798322

9,74897

0,11333

0,89366

-0,765997

0,80813

0,14842

0,85986

-0,92391

-3,94780

0,18232

0,84138

0,00000

23,09770

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0  х  1

Решение. Метод Эйлера

- разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода . Метод Рунге-Кутта

дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:

Метод Эйлера

0,2

0,4

0,416

1.04

0,6

0,67392

1.1232

0,8

1,00639

1.25798

1,45926

1.45926

Метод Рунге-Кутта

0,02

0,0202

0,040808

1,0202

0,2

1,0202

0,0408081

0,0624363

0,0630852

0,0866629

1,08329

0,4

1,08329

0,086663

0,112662

0,113962

0,14367

1,19722

0,6

1,19722

0,143666

0,177667

0,180047

0,220362

1,37713

0,8

1,37713

0,22034

0,267713

0,271977

0,329821

1,64872

0,329743

0,398989

0,406607

0,493278

2,05442

3. Найти решение задачи безусловной минимизации (х)  min, х  R². Установить множество глобального решения

(х) =

_{Решение}

_{Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.}

Метод сопряженных направлений

Начать с точки x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾)^т и n-линейно независимых направлений s⁽ⁱ⁾,

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

Начиная с точки x⁽⁰⁾ осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽¹⁾.
Начиная с точки z⁽¹⁾ осуществить последовательно n – 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s⁽¹⁾, а затем из полученной точки в направлении s⁽²⁾ и т. д. до одномерного поиска в направлении s⁽ⁿ^– 1) включительно. В результате этих действий будет определена точка x⁽²⁾.
Начиная с точки x⁽²⁾ осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽²⁾.

Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление

s⁽ⁿ^+ 1) = z⁽²⁾ – z⁽¹⁾

будет сопряженным по отношению к направлениям s⁽ⁿ⁾, s⁽ⁿ^– 1), …, s⁽ⁿ^–^k⁺¹⁾ (для k = 1 – только к направлению s⁽ⁿ⁾).

Начиная с точки z⁽²⁾ осуществить поиск в направлении s⁽ⁿ^+ 1) и определить x^*.
Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.
Положить z⁽¹⁾: = x^* и s⁽ⁱ⁾: = s⁽ⁱ^+ 1), i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.
Процесс вычислений завершен: x^* – точка минимума функции f(x).