Решение задач по высшей математике
Задача 10 Даны матрицы
1
1
2
2
-1
1
1
0
0
А=
-2
0
2
В=
3
4
-2
Е=
0
1
0
0
-1
0
1
0
-1
0
0
1
Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е
Решение:
2 -1 1 1 1 2
BA= 3 4 -2 · -2 0 2
1 0 -1 0 -1 0
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0
2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0
4 1 2
= -5 5 14
1 2 2
10 -5 5 2 0 0
5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,
5 0 -5 0 0 2
1 1 2
т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2
0 -1 0
-
10-1+4-2
-5-1+1-0
5-2+2-0
С=
15+2-5-0
20-0+5-2
-10-2+14-0
5-0+1-0
0+1+2-0
-5-0+2-2
11
-5
5
12
23
2
6
3
-5
Задача 20
Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.
x + 2y + z = 5
x - y –2z = -1
2x + y + z = 4
Решение:
Метод Гаусса.
-
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
-1
-2
-1
~
0
-3
-3
-6
~
0
-3
-3
-6
2
1
1
4
0
-3
-1
-6
0
0
2
0
2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:
- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
x, y, z – получаются из путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
-
1
2
1
Δ=
1
-1
-2
= -1+1-8+2-2+2= -6
2
1
1
-
5
2
1
Δx=
-1
-1
-2
= -5-1-16+4+2+10 = -6
4
1
1
X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1
1
5
1
Δy=
1
-1
-2
= -1+4-20+2+8-5 = -12
2
4
1
Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2
Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0
1
2
5
Δя=
1
-1
-1
= -4+5-4+10+1-8 = 0
2
1
4
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
длину стороны АВ
уравнение стороны АВ
уравнение медианы АD
уравнение высоты СЕ
уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
внутренний угол при вершине А
площадь треугольника АВС
координаты точки Е
сделать чертеж
Решение:
Длина стороны АВ:
АВ= 5,385
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
; ;
у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент kAB= 2/5
3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
; -5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у – у3 = kСЕ (х – х3); у – 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.
5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у – у3 = kАВ (х – х3); у – 5 = х +,
у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.
Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
- длины сторон АВ и АС соответственно.
,
А = arc cos 0,7643 = 40о9'
7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕ(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1);
S= Ѕ (-5)·2 – (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв.ед.
8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:
у = -2,5х -5
у =
0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)
2
-3
4
А
В
E
D
С
3
1
y = x +
2
1
-1
-2
-4
4
5
0
Х
У
Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.
у2 + 2x - 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у - 1)2 = -2(х - 1)
(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево.
У
Х
1
1
Задача 50
Вычислить пределы.
1)
2)
3)
4)
так как -первый замечательный предел
5) , (a0)
Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =
где -– второй замечательный предел.
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y =
2) у =
3) y =
y =
4) y = ctg(excosx);
y=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график.
у = ;
Решение:
1. Область определения функции: х (-; +).
2. Поведение функции на границах области определения:
3. у= х3 – х2 = х2(x-1); у= 0, если х1 = 0, х2 = 1;
При х (-; 0), у 0, функция убывает.
При х (0;1), у 0, функция убывает.
В точке х = 0 экстремума нет.
При х (1;+∞), у 0, функция возрастает.
В точке х =1 функция имеет локальный минимум.
4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.
5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:
у= 3х2 – 2х = x(3x-2).
у= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;
При х 0, у 0, график вогнутый.
При 0 х 2/3, у 0, график выпуклый.
При х 2/3, у 0, график вогнутый.
Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.
у(0) = 0, у(2/3 ) -0,05
6. Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ. у = 0, = 0 х1 = 0, x2 = 4/3
С осью ОУ. х = 0, у= 0.
-1
-2
0
1
1
2
Y
X
min
Точки перегиба
2/3
2
2
-1
-2
Задача 80
Найти частные производные первого и второго порядка функций.
z = x2∙sin y + y2∙cos x;
Решение:
=.
Задача 90
Дана функция. Показать, что
Решение:
=
=
=-= 0, что и требовалось доказать.
Задача 100
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Решение:
Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:
Y
X
1
2
0
N
K
М
В
С
Q
3x2 = 6y, y =
24y2 = 6x,
x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ
Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)
2. Ищем точки экстремумов на границах области:
а) сторона АВ: х= 0, -1 у 1, z = 8у3+1;
24у2, z = 0, если у = 0, точка (0,0).
б) сторона ВС: у = 1, 0 х 2, z = х3 – 6х+9;
3х2 - 6 = 0, х2 = 2 х = 1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.
х = 1,4 , – точка К (1,4;1)
в) Сторона CD: х = 2, -1 у 1,
z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;
2у2 = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)
г) сторона АD: у = -1, 0 х 2, z = х3 + 6х-7;
3х2 + 6 ≠ 0, при любых значениях х.
Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;
ZB = Z(0,1) = 8+1=9;
ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;
ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;
ZK = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;
ZO = Z(0,0) = 1;
ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;
ZN = Z(1,) = 0;
ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;
Zmin = -7, Zmax = 14,7.
Задача 110
Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
Х
1
2
3
4
5
У
4,8
5,8
4,3
2,3
2,8
Решение:
Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:
Подсчитаем суммы:
1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55
4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5
Подставляем значения сумм в систему уравнений:
52,5 -55a -15b = 0
60 – 45a – 15 b = 0
-7,5 -10а = 0
52,5 -55a -15b = 0
20 – 15a – 5 b = 0 (*3)
a = -0.75
20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25
Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.
Задача 120
Вычислить неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,
dx =
5) Подстановка:
Задача 130
Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:
у = х2, y = 2- x2
Решение:
X
Y
0
4
A
B
C
y =x2
y =2-x2
S =
S
Sкв.ед.
Задача 140
Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:
(у-3)2 +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох
Решение:
V =
V =
X
Y
0
х=-3
6
3
=6∙27 =162 куб.ед.
Литература:
Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.
Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.
Нравится материал? Поддержи автора!
Ещё документы из категории математика:
Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.
После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!
Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!
Кнопки:
Скачать документ