Решение задач по высшей математике

Задача 10 Даны матрицы



1

1

2


2

-1

1


1

0

0

А=

-2

0

2

В=

3

4

-2

Е=

0

1

0


0

-1

0


1

0

-1


0

0

1


Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е

Решение:


2 -1 1 1 1 2

BA= 3 4 -2 · -2 0 2

1 0 -1 0 -1 0



2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0

3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0

2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0


4 1 2

= -5 5 14

1 2 2


10 -5 5 2 0 0

5В= 15 20 -10 = 0 2 0 АЕ=А,

5 0 -5 0 0 2


1 1 2

т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2

0 -1 0



10-1+4-2

-5-1+1-0

5-2+2-0

С=

15+2-5-0

20-0+5-2

-10-2+14-0


5-0+1-0

0+1+2-0

-5-0+2-2


11

-5

5

12

23

2

6

3

-5




Задача 20


Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

x + 2y + z = 5

x - y –2z = -1

2x + y + z = 4


Решение:

Метод Гаусса.


1

2

1

5


1

2

1

5


1

2

1

5

1

-1

-2

-1

~

0

-3

-3

-6

~

0

-3

-3

-6

2

1

1

4


0

-3

-1

-6

0

0

2

0


2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1.


Решение системы {1;2;0}

По формулам Крамера:


- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

x, y, z – получаются из  путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.



1

2

1











Δ=

1

-1

-2

= -1+1-8+2-2+2= -6


2

1

1













5

2

1











Δx=

-1

-1

-2

= -5-1-16+4+2+10 = -6


4

1

1

























X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1



1

5

1











Δy=

1

-1

-2

= -1+4-20+2+8-5 = -12


2

4

1















Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2

Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0



1

2

5











Δя=

1

-1

-1

= -4+5-4+10+1-8 = 0


2

1

4
















Решение системы {1;2;0}


Задача 30


На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

Найти:

  • длину стороны АВ

  • уравнение стороны АВ

  • уравнение медианы АD

  • уравнение высоты СЕ

  • уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

  • внутренний угол при вершине А

  • площадь треугольника АВС

  • координаты точки Е

  • сделать чертеж

Решение:

  1. Длина стороны АВ:

АВ= 5,385


  1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:


; ;


у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент kAB= 2/5


3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координаты середины ВС:


х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3

D (-3,5;3)


Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:


; -5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD


  1. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен



Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:

у – у3 = kСЕ (х – х3); у – 5 = -2,5(х+4)

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.


5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:


у – у3 = kАВ (х – х3); у – 5 = х +,

у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.


  1. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:


, где

- длины сторон АВ и АС соответственно.

,

А = arc cos 0,7643 = 40о9'


7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:


S = Ѕ(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1);

S= Ѕ (-5)·2 – (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв.ед.


8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5

у =

0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

2

-3

4

А

В

E

D

С

3

1

y = x +

2

1

-1

-2

-4

4

5

0

Х

У











Задача 40


Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.


у2 + 2x - 2y -1 = 0


Решение:

Выделяем полные квадраты:


у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)2 = -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая

у = 1, ветви параболы направлены влево.


У

Х

1

1







Задача 50


Вычислить пределы.


1)

2)

3)

4)

так как -первый замечательный предел

5) , (a0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где -– второй замечательный предел.

Задача 60


Найти производные функций:


1) y =

y =

2) у =

3) y =

y =

4) y = ctg(excosx);

y=


Задача 70


Провести полное исследование функции и построить ее график.


у = ;


Решение:


1. Область определения функции: х (-; +).

2. Поведение функции на границах области определения:

3. у= х3 – х2 = х2(x-1); у= 0, если х1 = 0, х2 = 1;

При х (-; 0), у 0, функция убывает.

При х (0;1), у 0, функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет.

При х (1;+∞), у 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у= 3х2 – 2х = x(3x-2).

у= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;

При х 0, у 0, график вогнутый.

При 0 х 2/3, у 0, график выпуклый.

При х 2/3, у 0, график вогнутый.

Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.

у(0) = 0, у(2/3 ) -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ. у = 0, = 0 х1 = 0, x2 = 4/3

С осью ОУ. х = 0, у= 0.


-1

-2

0

1

1

2

Y

X

min

Точки перегиба

2/3

2

2

-1

-2








Задача 80


Найти частные производные первого и второго порядка функций.


z = x2∙sin y + y2∙cos x;


Решение:


=.


Задача 90

Дана функция. Показать, что


Решение:


=

=

=-= 0, что и требовалось доказать.


Задача 100


Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.


Решение:


  1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:


Y

X

1

2

0

N

K

М

В

С

Q


3x2 = 6y, y =

24y2 = 6x,

x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ

Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: х= 0, -1 у 1, z = 8у3+1;

24у2, z = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС: у = 1, 0 х 2, z = х3 – 6х+9;

2 - 6 = 0, х2 = 2 х = 1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 , – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD: х = 2, -1 у 1,

z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;

2 = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

г) сторона АD: у = -1, 0 х 2, z = х3 + 6х-7;

2 + 6 ≠ 0, при любых значениях х.


  1. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.


ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;

ZB = Z(0,1) = 8+1=9;

ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

ZK = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

ZO = Z(0,0) = 1;

ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

ZN = Z(1,) = 0;

ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Zmin = -7, Zmax = 14,7.

Задача 110


Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):


Х

1

2

3

4

5

У

4,8

5,8

4,3

2,3

2,8


Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:



Подсчитаем суммы:


1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5


Подставляем значения сумм в систему уравнений:

52,5 -55a -15b = 0

60 – 45a15 b = 0

-7,5 -10а = 0


52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0 (*3)

a = -0.75



20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.


Задача 120


Вычислить неопределенные интегралы:


1)

2)

3)

4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

dx =

5) Подстановка:

Задача 130


Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х2, y = 2- x2

Решение:


X

Y

0

4

A

B

C

y =x2

y =2-x2



S =

S

Sкв.ед.


Задача 140


Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:


(у-3)2 +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох


Решение:


V =

V =


X

Y

0

х=-3

6

3



=6∙27 =162 куб.ед.

Литература:


  1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

  2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.

Нравится материал? Поддержи автора!

Ещё документы из категории математика:

X Код для использования на сайте:
Ширина блока px

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

X

Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.

После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!

Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!

Кнопки:

Скачать документ