Шпаргалка по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a²x^n-3+...+a^n-1)

ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

a^p·a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^pb^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pa =b => b^p=a

^pa^pb = ^pab

a ; a = 0

____

/ __ _

^p ^ga = ^pga

___ __

^pka^gk = ^pa^g

_p ____

/ a ^pa

/  = 

 b ^pb

a ^1/p = ^pa

^pa^g = a^g/p

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a0)

x_1,2= (-bD)/2a; D=b² -4ac

D>0 x₁x₂ ;D=0 x₁=x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x₁ x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x₁x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x_1,2 = -k(k²-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

((x₂-x₁)²-(y₂-y₁)²)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1  q

b²_n = b_n-1 b_n+1

b_n = b₁q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin 

sin (/2 -) = cos 

cos (/2 -) = sin 

cos ( + 2k) = cos 

sin ( + 2k) = sin 

tg ( + k) = tg 

ctg ( + k) = ctg 

sin²  + cos²  =1

ctg  = cos / sin ,   n, nZ

tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ

1+tg² = 1/cos² , (2n+1)/2

1+ ctg² =1/sin² ,  n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y  /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y  /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cos²  - sin²  = 2 cos²  - 1 =

= 1-2 sin²

tg 2 = (2 tg)/ (1-tg²)

1+ cos  = 2 cos² /2

1-cos = 2 sin² /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tg²(/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² /2 = (1 - cos )/2

cos²/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin 

  + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin² = 1/(1+ctg²) = tg²/(1+tg²)

cos² = 1/(1+tg²) = ctg² / (1+ctg²)

ctg2 = (ctg²-1)/ 2ctg

sin3 = 3sin -4sin³ = 3cos²sin-sin³

cos3 = 4cos³-3 cos=

= cos³-3cossin²

tg3 = (3tg-tg³)/(1-3tg²)

ctg3 = (ctg³-3ctg)/(3ctg²-1)

sin /2 = ((1-cos)/2)

cos /2 = ((1+cos)/2)

tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=

sin/(1+cos)=(1-cos)/sin

ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=

sin/(1-cos)= (1+cos)/sin

sin(arcsin ) = 

cos( arccos ) = 

tg ( arctg ) = 

ctg ( arcctg ) = 

arcsin (sin) =  ;  [-/2 ; /2]

arccos(cos ) =  ;   [0 ; ]

arctg (tg ) =  ;  [-/2 ; /2]

arcctg (ctg ) =  ;   [ 0 ; ]

arcsin(sin)=

1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]

2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]

arccos (cos) =

1) -2k ; [2k;(2k+1)]

2) 2k- ; [(2k-1); 2k]

arctg(tg)= -k

(-/2 +k;/2+k)

arcctg(ctg) =  -k

(k; (k+1))

arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =

= arctg /(1-²)

arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =

= arc ctg/(1-²)

arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =

= arcsin /(1+²)

arc ctg  = -arc cctg(-) =

= arc cos /(1-²)

arctg  = arc ctg1/ =

= arcsin /(1+²)= arccos1/(1+²)

arcsin  + arccos = /2

arcctg  + arctg = /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m| = 1

x =  arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log_af(x) >(<) log _a (x)

1. a>1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x)

2. 0то: f(x) >0

(x)>0

f(x)<(x)

3. log _f(x) (x) = a

ОДЗ: (x) > 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2k+₁ =  = ₂+ 2k

2k+₂ = = (₁+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

2k+ 17/24 < x< /24+2k;

II sin  = 1/2

2k +5/6 == 13/6 + 2k

cos  (=) m

2k + ₁ < < ₂+2 k

2k+₂< < (₁+2) + 2k

cos   - 2/2

2k+5/4 == 11/4 +2k

tg (=) m

k+ arctg m == arctg m + k

ctg (=) m

k+arcctg m < < +k

Производная:

(xⁿ)^’ = n x^n-1

(a^x)’ = a^x ln a

(lg a^x )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ (1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ (1-x²)

(arctg x)’ = 1/ (1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+x²)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀)+ f ’(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X₀, f(x₀), f ‘ (x₀), выразим х

Интегралы :

 xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

 a^x dx = ax/ln a + c

 e^x dx = e^x + c

 cos x dx = sin x + cos

 sin x dx = - cos x + c

 1/x dx = ln|x| + c

 1/cos² x = tg x + c

 1/sin² x = - ctg x + c

 1/(1-x²) dx = arcsin x +c

 1/(1-x²) dx = - arccos x +c

 1/1+ x² dx = arctg x + c

 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

 +  +  =180

Теорема синусов

a² = b²+c² - 2bc cos 

b² = a²+c² - 2ac cos 

c² = a² + b² - 2ab cos 

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=Ѕ(a+b+c)

_____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = Ѕab sin 

S_равн.=(a²3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2 h

Круг

S= R²

S_{сектора}=(R²)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_оснР

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S₁+S₂+S₁S₂)

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 R²H

S_бок. =Rl

S_бок.= R(R+1)

Усеченный

S_бок.= l(R₁+R₂)

V=1/3H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.H

прямая: S_бок.=P_осн.H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_псa

V = S_псa, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=R²H ; S_бок.= 2RH

S_полн.=2R(H+R)

S_бок.= 2RH

Сфера и шар .

V = 4/3 R³ - шар

S = 4R³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 R³H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=H²(R-H/3)

S=2RH

град

0

30

45

60

90

120

135

180



-/2

-/3

-/4

-/6

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

3/6



sin

-1

-3/2

-2/2

- Ѕ

0

Ѕ

2/2

3/2

1

- Ѕ

0

cos

1

3/2

2/2

Ѕ

0

- Ѕ

-2/2

- 3/2

-1

tg



-3

-1

-1/3

0

1/3

1

3



-3

-1

0

ctg

---

3

1

1/3

0

-1/3

-1

--

n

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

7

128

2181

8

256

6561

-

-

+

/2-

/2+

3/2 - 

3/2+

sin

-sin

sin

-sin

cos

cos

-cos

-cos

cos

cos

-cos

-cos

sin

-sin

-sin

sin

tg

-tg

-tg

tg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

ctg

-ctg

-ctg

ctg

tg

-tg

tg

-tg