Шпаргалка по Теории Вероятности

1) свойство вероятности: 20 стр.

Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .
Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,
Для любого события . , т.к. , то и следовательно .
Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

(обобщенная теорема сложения вероятностей) .
(теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то .
Если (А влечет В), то . , тогда
Если , то . Тогда
. , .
Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то . Т.к. , то по свойству 6:

2)условная вероятность, независимость:

Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

3)формулы полной вероятности и Баеса: 23 стр.

Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i{1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.

4)схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.

, , p+q=1.

Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания

независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться:

(w1,w2,…,wn), .

Всего таких исходов 2n.

(1)

Формула (1) показывает, что события независимы.

Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .

По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,

P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:

где

Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

5)случайные велечины, функция распределения и её свойства.

Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.

Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.

Свойства функции распределения.

1.Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x1 .

Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий

Тогда по теореме сложения вероятностей получим

, т.е.

. Поскольку , то .

2.Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

, .

4.Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.

Достоверное событие {-∞ . Найдем их вероятности

Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то

.Отсюда .

6)мат. ожидание дискретной случайной велечины и его свойства (включая теорему 1)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .

Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

2.множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX)=CM(X).

Если случайная величин Х имеет ряд распределения

…

Ряд распределения случайной величины СХ

СХ

Сx1

Сx2

…

Сxn

…

Математическое ожидание случайной величины СХ .

Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn

3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений события . По свойству 4:

Согласно примеру 2 . Таким образом, получим .

7)дисперсия дискретной случайной велечины и её свойства (включая теорему2): 43 стр.

Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Свойства дисперсии.

1.Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:.

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Хi—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.