Содержание

Введение

Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов.

При изучении рядов заданному числовому ряду

(А)

в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы , в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.

В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.

Глава 1. Основные понятия теории рядов

1.1 Определения и термины

Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды. А что же такое, вообще, ряд?

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

(1)

Составленный из этих чисел символ

(2)

называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

(2а)

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

(3)

их называют частичными суммами ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (2) при :

называют суммой ряда и пишут

,

Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:

Его частичная сума будет (если )

Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то имеет конечный предел

то есть наш ряд сходится, и будет его суммой.

При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= - 1;

…1+ (-1) +1+ (-1) +1+…

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

2) Легко установить расходимость ряда

В самом деле, так как члены его убывают, то его n-я частичная сумма

и растет до бесконечности вместе с n.

1.2 Истоки проблемы

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.

Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.

Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.

Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд

Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число . Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения

(которое в действительности имеет место лишь для ) при подстановке вместо х единицы как раз и получается

В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но )

получить одновременно

Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.

Во-первых, если ряду приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду - “обобщенная сумма" В, то ряд , где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число . Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.

Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов ‘обобщенного суммирования".

Глава 2. Метод степенных рядов

2.1 Суть метода

Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.

По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд

(1)

Если этот ряд для сходится и его сумма при имеет предел А:

,

то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:

Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого при стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.

2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд

(2)

является расходящимся при всех значениях

Действительно, если имеет вид , где и - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,

откуда

Таким образом, для бесконечного множества значений

, так что .

Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:

(здесь буква заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет

(3)

и при стремится к 0. Таким образом, для “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .

3) Аналогично ряд

,

который сходится лишь при или , приводит к степенному ряду

.

Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной при и равной нулю при .

Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.

2.2 Теорема Абеля ¹

Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .

Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество

(где ); вычтем его почленно из тождества

.

Полагая , Придем к тождеству

(4)

Так как то по произвольно заданному найдется такой номер , что , лишь только .

Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы

Вторая оценивается сразу и независимо от :

Что же касается первой, то она стремится к 0 при и при достаточной близости к 1 будет

так что окончательно что и доказывает утверждение.

Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела

, (5)

вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда (), т.е. о существовании для него суммы в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.

2.3 Теорема Таубера

Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0<x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

(6)

то и

Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала

предположим, что Если положить то при величина , монотонно убывая, стремится к нулю.

Имеем при любом натуральном N

так что:

Взяв произвольно малое число , положим

Так что при . Пусть теперь выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что

. Тогда

Что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим

так что

и затем

(7)

Но из предположения теоремы, т.е. из того, что при , легко получить, что

. (8)

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

С другой стороны,

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

Что и завершает доказательство теоремы.

Глава 3. Метод средних арифметических

3.1 Суть метода

Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу, но связывают его обычно с именем Чезаро, который дал методу дальнейшее развитие.

По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические

Если варианта при имеет предел А, то это число и называют “обобщенной (в смысле Чезаро) суммой” данного ряда.

Примеры.1) Возвращаясь к ряду

Имеем здесь

так что . Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона-Абеля.

2) Для ряда . Частичные суммы будут (если только )

Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:

Итак, окончательно

Очевидно, : для значений “обобщенной суммой” и здесь служит 0.

3) Наконец, пусть снова предложен ряд

Имеем при ,

и затем

Отсюда ясно, что

Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же “обобщенная сумма", что и выше, по методу Пуассона-Абеля. Оказывается это не случайность.

3.2 Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро

Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо

Действительно, из и следует, что

а тогда и

что и требовалось доказать.

Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.

Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда

для 0<x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим

[при этом следует помнить, что ].

Известно, что (для 0<x<1) или

Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:

Сумму справа разобьем на две:

Причем число N выберем так, чтобы при было

где - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.

Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.

Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд

Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд

Имеет (при 0<x<1) сумму , которая при стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.

Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.

3.3 Теорема Харди-Ландау

Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если и выполняется условие

(9)

то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества

,

которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).

Харди установил, что заключение от к можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что

().

Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;

Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие (),то одновременно и

.

[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:

.

В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму

,

где n и k - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду

(10)

Если взять любое (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:

,

откуда, суммируя по m, найдем

.

Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:

. (11)

Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п будет

. (12)

Совершенно аналогично, рассматривая сумму

и проведя для (при ) оценку сверху:

,

придем к неравенству

Отсюда

Если и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу

.

Следовательно, для достаточно больших n окажется

. (13)

Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,

.

Теорема доказана.

3.4 Применение обобщенного суммирования к умножению рядов

Остановимся на применении обобщенных методов суммирования в вопросе об умножении рядов по правилу Коши. Пусть, кроме ряда (А), дан ещё ряд

(В)

тогда ряд

(С)

и называется произведением рядов (А) и (В) в форме Коши. Если данные ряды сходятся и имеют обыкновенные суммы А и В, то ряд (С) все же может оказаться расходящимся.

Однако во всех случаях ряд (С) суммируем по методу Пуассона-Абеля и именно к сумме АВ.

Действительно, для 0<x<1 ряд (1) равно как и ряд

оба абсолютно сходятся; обозначим их суммы, соответственно, через и . Произведение этих рядов, то есть ряд

,

По классической теореме Коши также сходится и имеет суммой произведение *. Эта сумма при стремится к АВ, ибо как мы видели, по отдельности

Итак, “обобщенной (в смысле Пуассона-Абеля) суммой” ряда (С) действительно будет АВ, что и требовалось доказать.

Отсюда как следствие получается теорема Абеля об умножении рядов. Равным образом из самого доказательства ясно, что то же заключение остается в силе, если ряды (А) и (В) - вместо того, чтобы сходиться в собственном смысле - лишь суммируемы по методу Пуассона-Абеля к суммам А и В.

В таком случае, учитывая теорему Фробениуса, можно сделать и следующее утверждение: если (А), (В) и (С) суммируемы в смысле Чезаро и имеют, соответственно, “обобщенные суммы" А, В и С, то необходимо С=АВ.

В качестве примера рассмотрим возведение в квадрат ряда

который получается из биномиального разложения

при х=1. умножая указанный числовой ряд на самого себя, придем к хорошо знакомому нам ряду

“обобщенная сумма" которого есть .

Далее, “возведем в квадрат" и этот расходящийся ряд. Мы получим ряд

“обобщенная сумма" которого в смысле Пуассона-Абеля есть .

Глава 4. Другие методы обобщенного суммирования

4.1 Методы Г.Ф. Вороного

Пусть мы имеем положительную числовую последовательность и

Из частичных сумм ряда (А) составим выражения

Если при то А называется “обобщенной суммой” ряда (А) в смысле Вороного - при заданном выборе последовательности .

Теорема.

Для регулярности метода Вороного необходимо и достаточно условие.

Доказательство. Необходимость.

Допустим сначала регулярность рассматриваемого метода: пусть из всегда следует и . Если, в частности, взять ряд для которого а прочие (так что и ), то необходимо

Достаточность. Предположим теперь условие теоремы выполненным и докажем, что из вытекает и .

Обратимся к теореме Теплица и заменим там на и на Условие (а) этой теоремы удовлетворено, ибо

Выполнение условий (б) и (в) очевидно, так как

Следовательно, как и требовалось доказать, .

4.2 Обобщенные методы Чезаро

Мы уже знакомы с методом средних арифметических; он является простейшим из бесконечной последовательности методов суммирования, предложенных Чезаро.

Фиксируя натуральное число к, Чезаро вводит варианту

и ее предел при рассматривает как “обобщенную сумму" (к-го порядка) ряда (А). При к=1 мы возвращаемся к методу средних арифметических.

В дальнейшем нам не раз понадобится следующее соотношение между коэффициентами:

Он легко доказывается по методу математической индукции относительно n, B и если исходить из известного соотношения

. (14)

Прежде всего, покажем, что методы Чезаро всех порядков являются частными случаями регулярных методов Вороного. Для этого достаточно положить , ибо из (14) тогда следует, что и к тому же, очевидно,

С помощью того же равенства (14), пользуясь самим определением величин , устанавливается, что

. (15)

Это дает возможность выяснить взаимоотношение между суммированием по Чезаро к-го и (к-1) - го порядка. Пусть ряд (А) допускает суммирование (к-1) - го порядка, так что . В силу (14) и (15) имеем

Применяя сюда теорему Теплица, причем полагаем

придем к заключению, что и . Таким образом, если ряд (А) допускает суммирование по методу Чезаро какого-нибудь порядка, то он допускает и суммирование любого высшего порядка, и притом к той же сумме.

Приведем теперь обобщение уже известной нам теоремы Фробениуса: если ряд (А) суммируем по какому-либо из методов Чезаро (скажем к-го порядка), то он суммируем к той же сумме и по методу Пуссона-Абеля.

Доказательство. Пусть дано, что

(16)

Легко заключить отсюда, что ряд

(17)

для - 1<x<1 сходится. Действительно, так как то из (16) имеем:

Если , то

так что по теореме Коши-Адамара, радиус сходимости ряда (17) равен 1. Он во всяком случае не меньше 1, если А=0.

Рассмотрим теперь ряд тождеств

²

Выше мы установили сходимость последнего ряда в промежутке (-1,1); отсюда вытекает сходимость и всех предшествующих рядов. Кроме того,

(18)

Сопоставим с этим тождеством другое:

(19)

которое имеет место в том же промежутке (-1;

1); оно получается к-кратным дифференцированием прогрессии

Умножив обе части тождества (19) на А и вычитая из него почленно равенство (18), получим наконец,

Дальнейшие рассуждения [с учетом (16)] вполне аналогичны тем, с помощью которых была доказана теорема Абеля и теорема Фробениуса. В результате мы и получим:

что и требовалось доказать.

Отметим, что существуют расходящиеся ряды, суммируемые по методу Пуассона-Абеля, но не суммируемые ни одним из обобщенных методов Чезаро. Таким образом, первый из названных методов оказывается сильнее всех последних, даже вместе взятых.

4.3 Метод Бореля

Он состоит в следующем: по ряду (А) и его частичным суммам строится выражение:

Если последний ряд сходится, хотя бы для достаточно больших значений х, и его сумма при имеет предел А, то это число и является “обобщенной суммой” в смысле Борелядля данного ряда (А).

Докажем регулярность метода Бореля. Допустим сходимость ряда (А) и обозначим его сумму через А, а остатки через . Имеем (для достаточно больших х)

Зададимся произвольно малым числом ; найдется такой номер N, что для будет:

.

Представим последнее выражение в виде суммы,

.

Второе слагаемое по абсолютной величине , каково бы ни было х, а первое представляющее собой произведение на многочлен, целый относительно х, становится абсолютно при достаточно больших х. Этим все доказано.

4.4 Метод Эйлера

Пусть дан ряд . Формула, выражающая “преобразование Эйлера” выглядит следующим образом

. (20)

При этом, как было доказано, из сходимости ряда в левой части вытекает сходимость ряда в правой части и равенство между их суммами.

Однако и при расходимости первого ряда второй ряд может оказаться сходящимся; в подомном случае его сумму Эйлер приписывал в качестве “обобщенной суммы" первому ряду. В этом собственно и состоит метод Эйлера суммирования рядов; сделанное только что замечание гарантирует регулярность метода.

Если писать рассматриваемый ряд в обычном виде (А), не выделяя знаков , и иметь в виду вырыжение

для р-ой разности, то можно сказать, что методу суммирования Эйлера в качестве “обобщенной суммы" ряда (А) берется обычная сумма ряда

(в предположении, что последний сходится)

Методы Гельдера представляют собой ещё один класс методов обобщенного суммирования. Но они состоят в простом повторении метода средних арифметических. Поэтому рассматривать их не стоит.

Заключение

В своей дипломной работе я рассмотрел методы суммирования расходящихся рядов, теоремы, вытекающие из этих методов, а также взаимосвязь этих методов между собой. Мы увидели многообразие подходов к вопросу суммирования расходящихся рядов. Регулярность каждого метода мы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имел возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих методов между собой. А между тем может случиться, что два метода имеют пересекающиеся области приложимости, или, наоборот, может оказаться и что два метода приписывают одному и тому же расходящемуся ряду различные “обобщенные суммы”.

Теория рядов является важным и широко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечные ряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

Список использованной литературы

1.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., 1982.

2.Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1, М., 1974.

3.Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих. М., 1970.

4.Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.

5.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, I, II т., М., 1966.

1^ Хотя формулировка метода “обобщенного суммирования ” принадлежит Пуассону, этот метод называют всё же методом Абеля, так как Пуассон применил этот метод лишь в частном случае. Поэтому в дальнейшем мы будем называть этот метод – методом Пассона-Абеля.

2^ Здесь и дальше учитываются соотношения типа (15)