КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему «Теория вероятности»

по предмету «Математика»

Задание 1

Общее число возможных элементарных методов равно числу сочетаний из 10 по 5:

.

Подсчитываем число исходов, благоприятствующих нашему событию. Среди 3-х женщин две женщины могут быть выбраны способами; при этом остальные 5–2=3 людей должны быть мужчинами. Взять же 3 мужчины из 7 можно способами. Следовательно, число исходов благоприятствующих нашему событию:

.

Искомая вероятность равна:

.

Задание 2

.

Возможны следующие три случая:

А – среди трех студентов посетивших библиотеку первый заказал учебник по теории вероятностей, а два других не заказали;

В – второй студент заказал учебник по теории вероятностей, а первый и второй нет.

Вероятность каждого из этих событий по теореме умножения равны:

;

;

.

Искомая вероятность по теореме сложения несовместных событий:

.

Поэтому: .

Чтобы нити оказались одного цвета должны выполниться следующие события:

А – вынуть две нити красного цвета;

В – вынуть две нити белого цвета.

Вероятность каждого из этих событий по теореме умножения вероятностей будут:

;

.

Искомая вероятность по теореме сложения вероятностей: .

Задание 3

.

I – 4б; 6кр; II – 5б; 10кр

Обозначим события А – выбранный шар белый. Можно сделать два предложения:

– белый шар выбран из 1-го ящика

– белый шар выбран из 2-го ящика, так как ящик выбирают на удачу, то:

.

Условная вероятность того, что шар будет белым и извлечен он из первого ящика будет:

.

Вероятность того, что белый шар будет извлечен из второго ящика:

.

Формула полной вероятности:

.

Тогда вероятность того, что наугад взятый шар будет белым:

.

Задание 4

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

;

;

.

В нашем случае n=600; k=25; P=0,05; q=0,95.

.

Так как функция – четная, то по таблице находим:

.

Тогда .

Задание 5

x

20

25

30

35

40

P

0,2

0,3

0,2

0,1

0,2

.

;

;

;

.

Начальный момент первого порядка: .

Аналогично: .

.

Находим центральные моменты по формулам:

;

;

.

Следовательно:

;.

Многоугольник распределения

Задание 6

Распределение Х и распределение Y

X_i

4

9

12

Y_i

6

7

P_i

0,36

0,24

0,4

P_i

0,65

0,35

;

.

;

;

;

;

;

.

Коэффициент коррекции находим по формуле:

,

где: K_xy – корелляционный момент связи случайных величин X и Y; – среднеквадратические отклонения величин X и Y.

.

Тогда:

;

;

.

.

Задание 7

; .

;

.

Задание 8

Распределение Х и распределение Y

X_i

1

3

5

Y_i

12

13

15

P_i

0,1

0,7

0,2

P_i

0,5

0,1

0,4

x₁=1; x₂=3; x₃=5; y₁=12; y₂=13; y₃=15; x₁+ y₁=13; x₁+ y₂=14; x₁+ y₃=16;

x₂+ y₁=15; x₂+ y₂=16; x₂+ y₃=18; x₃+ y₁=17; x₃+ y₂=18; x₃+ y₃=20;

Обозначим x_i + y_j=7, тогда имеем следующие значения z:

z₁=13; z₂=14; z₃=15; z₄=16; z₅=17; z₆=18; z₇=20.

Соответствующие вероятности будут:

;

;

;

;

;

;

.

Искомое распределение

x+y

13

14

15

16

17

18

20

P

0,04

0,06

0,12

0,28

0,04

0,36

0,10

Контроль:

0,04+0,06+0,12+0,28+0,04+0,36+0,1=1.

Задание 9

X_i

2

4

6

8

10

12

14

16

n_i

1

2

3

4

5

10

6

5

Находим значение эмпирической функции.

Вычисления выполняем в таблице.

Таблица вычислений

X_i

2

4

6

8

10

12

14

16

Частота

0,028

0,056

0,083

0,111

0,139

0,278

0,166

0,139

0,028

0,084

0,167

0,278

0,417

0,695

0,861

1,00

График эмпирической функции

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

.

Тогда:

.

Несмещенную оценку генеральной дисперсии найдем по формуле:

Последовательно находим:

;

;

;

.

Модой называют варианту, имеющую наибольшую частоту.

.

Медиана:

.

Размах варьирования:

R=16–2=14.

Из соотношения находим и t=1,96.

Находим точность оценки по формуле:

.

Тогда:

.

Доверительный интервал таков: ().