Ведерников Анатолий Иванович

Как решать задачу.

В научно-фантастической повести «Учебники для волшебника» Г. Гуревич дает рецепт: «догадался – понял – проверил – увидел ошибку – исправил – упустил – недооценил – начал сначала – понял, как лучше».

Поучительный пример догадки приводится в книге Д. Пойа «Математическое открытие». Учитель для того, чтобы занять весь класс дает рутинное задание: сложить все цифры до 100. Каково же было его удивление, когда один из учеников сразу выдал решение, сложив все пары:

0+100

1+99

2+98

…

В задаче №14 из «Сборника избранных задач по физике» имеется в виду автомобиль, который прошел расстояние от А до В со скоростью v₁=40 км/час и обратно со скоростью v₂=30 км/час. Какова средняя скорость рейса? Обычно на этот вопрос отвечают так: средняя скорость рейса равна 35 км/час. Но это неверно. Так было бы, если бы автомобиль двигался одинаковые промежутки времени с каждой из скоростей. Однако из условия задачи ясно, что один и тот же путь туда и обратно автомобиль проходит за разные времена t₁ и t₂, так как

S=v₁t₁=v₂t₂

Поэтому S=40t₁=30t₂, откуда

t₁=3/4t₂

Средняя скорость

V_ср=2S/(t₁+t₂₎=60t₂/(3/4t₁+t₂)=34 км/час

Понятие средней скорости в некотором смысле содержательнее понятия мгновенной скорости, хотя мы, следуя привычному образу действий, стремимся к нахождению мгновенной скорости.

Недооценили?

Можно ли считать, что средняя скорость свободного падения есть v=gt?

Задача выглядит слишком простой, например, при свободном падении мяча на пол и последующем отскоке выясняется: v=gt²/t=gt,

g – ускорение свободного падения.

В задаче №1,4 можно взять много маленьких промежутков. При каких условиях средняя скорость автомобиля есть: v=at?

а – постоянная.

Какова средняя скорость мяча, если последующий подскок его чуть меньше предыдущего? (см. №1,4)

Эти две задачи заставляют думать, что вопрос о средней скорости свободного падения не выглядит столь формальным, как это казалось вначале.

На рисунке летчик описывает винтовую линию. Расстояние между ближайшими витками, называемое шагом винтовой линии, равно h. Если n – число оборотов, совершаемых самолетом по окружности (ее можно увидеть, если двигаться поступательно вдоль винтовой линии), то скорость самолета вдоль винтовой линии равна v=nh.

В каком случае скорость самолета вдоль винтовой линии будет равна v=nh=gt? Как вы могли бы определить среднюю скорость поступательного движения самолета вдоль винтовой линии (имеется в виду определение как таковое)?

Учащимся большей частью нравится догадываться. Это происходит потому, что они не осознают остальные звенья схемы Гуревича – не называют их. Тем, кто интересуется подробностями можно порекомендовать книги Д. Пойа «Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и правдоподобные рассуждения».