Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a+b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением x вектора а на число  в случае 0, аО называют вектор, модуль которого равен |||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если >0, и в противоположную, если <0. Если =0 или (и) a =0, то a=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

*(a+b)= *a+*b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

(+u)*a=*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

*(u*a)=(*u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа , ,…,  из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

a+b+…c=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа , ,…,  равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e₁,e₂,e₃ трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.

Числа a₁,a₂,a₃ называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a₁,a₂,a₃}.

Два вектора a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} ,b0, является пропорциональность их соответствующих координат: a₁=b₁,a₂=b₂,a₃=b₃_. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a₁,a₂,a₃} , b={b₁,b₂,b₃} и c={c₁,c₂,c₃} является равенство :

| a₁ a₂ a₃|

| b₁ b₂ b₃| = 0

| c₁ c₂ c₃ |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} равны суммам соответствующих координат: a+b={a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃}. Координаты произведения вектора а на число  равны произведениям координат а на  :

а= {а₁,a₂, a₃}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла  между ними:

(а, b) = | а |*| b | cos.

За  принимается угол между векторами, не превосходящий . Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

(a,b)=( a,b) =(a,6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или ab.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

Косинус угла  между ненулевыми векторами a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a₁,a₂,a₃} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

, , .

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos²+cos²+cos²=1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. _е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. _е (a+b)= Пр. _е a+ Пр. _е b (аддитивность),

Пр. _е a = Пр. _е a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

b b

c c

a a

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла  положительного вращения от a к k: