Задача №1.

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:

где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия

или

следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):

Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X –

Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

при , случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):

Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.

Задача №2

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y

X

3

6

8

9

-0,2

0,035

0,029

0,048

0,049

0,1

0,083

0,107

0,093

0,106

0,3

0,095

0,118

0,129

0,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X

3

6

8

9

0,213

0,254

0,270

0,263

Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Y

-0,2

0,1

0,3

0,161

0,389

0,450

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:

2.

Математическое ожидание случайной величины Y:

3. Дисперсия случайной величины X:

4. Дисперсия случайной величины Y:

5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X)

3-M(X)

6-M(X)

8-M(X)

9-M(X)

0,213

0,254

0,270

0,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y)

-0,2-M(Y)

0,1-M(Y)

0,3-M(Y)

0,161

0,389

0,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)]

1,260873

0,153873

P

0,035

0,083

-0,584127

0,235773

0,028773

-0,109227

-0,447627

0,095

0,029

0,107

0,118

0,048

-0,054627

0,207373

-0,789327

-0,096327

0,365673

0,093

0,129

0,049

0,106

0,108

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Найдем ковариацию:

Найдем коэффициент корреляции:

Ответ: -0,028.

Задача №3

Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)

22,5-25,5

25,5-28,5

28,5-31,5

31,5-34,5

34,5-37,5

117,5-122,5

1

3

-

-

-

122,5-127,5

-

2

6

1

-

127,5-132,5

-

1

5

5

-

132,5-137,5

-

1

6

7

2

137,5-142,5

-

-

1

4

2

142,5-147,5

-

-

-

1

1

147,5-152,5

-

-

-

-

1

Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

• написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

• вычертить их графики и определить угол между ними;

• по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя –

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Для веса Y получим:

1. Выборочная средняя -

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Найдем значения коэффициентов регрессии:

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:

- угол между прямыми регрессии.

Следовательно, связь между X и Y не тесная.