Введение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Объектом исследования квалификационной работы является процесс обучения геометрии.

Предмет исследования – различные методы решения задач на построение.

Цель данной работы – разработка обучающего модуля по теме «Методы решения задач на построение». Предлагается способ формирования у учащихся знаний и умений через решение системы геометрических задач на построение (коструктивных задач) с помощью различных методов.

Наиболее эффективным способом формирования умений является подбор специальных задач. Кажущаяся простота конструктивной задачи только усиливает к ней интерес учащихся, желание найти решение, которое порой требует умственного напряжения и изобретательности.

1. Основы теории геометрических построений

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием коструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

1. Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».

Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 2), а затем луч ВN считается, что построена прямая МN, той же прямой, то, естественно, являющаясч соединением этих лучей. Эти примеры разьясняют смысл следующего постулата:

2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и СD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок СD целиком отрезку АВ (рис. 3а) или нет (рис. 3б). Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет.

Третье основное требование теории геометрических построений можно выразить следующим образом:

3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть А, В, С, D – четыре точки прямой (рис. 4). Допустим, что отрезки АВ и СD построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВD, так и отрезок СD, который является разностью отрезков ВD и АС.

4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

Обратимся еще раз к рисунку 4. Пусть известно, что построены отрезки АС и ВD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок ВС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения вы ражаются следующим образом:

6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

9. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

1.2 Задача на построение

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки – значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.

1. Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).

2. Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.

3. Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).

4. Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

5. Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

Сведение решения каждой задачи к элементарным построениям делает решение громоздким. Поэтому часто решение задачи сводят к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной степени произволен. Например, в качестве основных построений можно рассмотреть следующие задачи: деление данного угла пополам; построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение параллельной прямой, построение перпендикулярной прямой, деление отрезка в данном отношении; построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам; построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Решить задачу на построение – значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений.

Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.

Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по трём сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник АВС, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные треугольнику АВС, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.

Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются «с точностью до равенства». Это означает, что задача считается решённой, если: 1) Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф₁, Ф₂, … Ф_n, удовлетворяющие условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.

Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок ВС, другая сторона была равна другому данному отрезку l, а угол между ними был равен данному углу α.

В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур (именно относительно отрезка ВС). В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 5, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по разному расположены относительно данной фигуры ВС. В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.

Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе.

1.3 Методика решения геометрической задачи на построение

Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи является вполне доброкачественным, если оно проведено, например, последующей схеме:

1. Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.

2. Для каждого случая дается ответ на вопрос, имеет ли задача решение и сколько.

3. Для каждого случая, когда задача имеет решение, дается способ нахождения (с помощью данных геометрических инструментов) каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

Этой схемы придерживаются в научных статьях и монографиях; однако она мало пригодна для учебных целей, особенно в условиях средней школы.

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки». Иногда построение чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии.

Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение которой уже известно.

Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведенным к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертеж (рис. 5), замечаем, что треугольник АВС можно легко построить, если будет построен треугольник ВDE: тогда останется только отложить по обе стороны от точки Е на прямой DE отрезки, равные половине данного основания. Но треугольник ВDE прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h.

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудаленную от двух данных точек В и С. Построение чертежа – наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а (рис. 6), на ней выбираем точку А и на равных расстояниях от прямой а выбираем (по разные стороны от прямой) точки В и С.

После этого еще не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведем к прямой а перпендикуляры ВВ и СС, построим отрезок ВС и отметим точку М пересечения отрезка ВС с прямой а. Легко заметить, что М – середина отрезка ВС, а отсюда уже ясен способ построения.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их еще нет на нем.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и раннее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говориться в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа – наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1), мы избрали точки В и С по разные стороны от прямой а, а в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямой. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник – как неправильный и т.п. Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.

Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть АВС – данный треугольник (рис. 7). Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение ее центра и найти величину радиуса.

Представим себе, что точка О – центр вписанной окружности, а ОМ – радиус проведенный в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне АВ). Тогда отрезок ОМ перпендикулярен к прямой АВ. Поэтому ОМ – расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника АВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые ОА, ОВ и ОС служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника АВС. Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 7):

1. биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника;

2. точку их пересечения О;

3. прямую, проходящую через точку О, перпендикулярно прямой АВ;

4. основание М проведенного перпендикуляра;

5. окружность (О, ОМ).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (О, ОМ) действительно коснётся всех сторон треугольника АВС. Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ.

Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров (точки N и Р на рис. 8) расположатся на той же окружности.

Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1. всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2. можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

3. сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?

Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1. Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

2. Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

3. Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).

4. Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

2. Основные методы решения задач на построение

2.1 Метод параллельного переноса

Часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и поэтому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных.

Пример 1. Постройте трапецию по заданным сторонам.

Решение. Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d (рис. 8). Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD. Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD на DD = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD= CD = d.

Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Пример 2. Построить четырёхугольник, зная его углы и противоположные

стороны.

Анализ. Положим, что в четырёхугольнике АВСD стороны BC и AD и углы А, В, С имеют данные значения. Перенесём BC параллельно самой себе в AE, тогда составится треугольник AED, в котором известны две стороны AE и AD и угол EAD, равный разности двух известных углов, данного угла BAD и угла FBC, смежного с данным CBA. Такой треугольник легко построить. Затем легко провести прямые EC и CD, потому что первая образует известный угол с прямой EA (угол CEG равен углу FBC); а вторая образует известный угол CDA со стороною AD. После этого остаётся только провести CB параллельно EA и решение очевидно.

Построение.

1. Строим треугольник АЕD;

2. ЕС;

3. СD;

4. СВ║ЕА.

Исследование.

Эта задача имеет только одно решение: углы и отношение двух противоположных сторон четырёхугольника вполне определяют его вид.

2.2 Метод подобия

Основная идея метода подобия состоит в следующем:

Сначала строят фигуру, подобную искомой так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, подобную искомой и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные-либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была подобна не только искомой, но и подобно расположена с ней. Успех решения зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры Ф соответствуют отрезки a₁, b₁, c₁,… подобной фигуры Ф₁, то коэффициент подобия равен также отношениям:

Пример 1. Дан  АВС и внутри его точка М. Найти на стороне ВС точку Х, расположенную на одинаковом расстоянии от прямой АВ и от точки М.

Анализ. Пусть точка Х найдена так, что перпендикуляр ХY = МХ. Задача сводится к построению фигуры YХМ. Представим целый ряд фигур, подобных искомой фигуре. Достаточно построить одну из этих фигур, например РКN, так как останется провести из точки М прямую параллельную КР и задача будет решена.

Для построения фигуры РКN замечаем, что В есть центр подобия искомых фигур, и поэтому точки М, H, К и В лежат на одной прямой ВМ и PN  АВ, PN = BN, положение же точки Р произвольно. Поэтому для построения фигуры PKN надо в произвольной точке Р восстановить PN  АВ, из центра N описать радиусом PN дугу, которая пересечёт ВМ в точке К. Проводя МХ ║КN, можно определить искомую точку Х.

Построение.

1. ЕG  AB;

2. H = ω (G, EG)BM;

3. MX ║ HG;

4. X = BCMX.

Доказательство. Опустив перпендикуляр ХY, из подобия треугольников находим МХ: GH = BX: BN = XY: GE, откуда МХ: GH = =XY: GE, но так как по построению HG = GE, то МХ = YX.

Исследование. Задача всегда возможна и имеет два решения, так как дуга из центра G встречает ВМ всегда в двух точках.

Пример 2. Построить треугольник АВС, если известно отношение АВ: ВС,  АВС и радиус вписанной окружности.

Анализ. Так как в искомом треугольнике известен угол и отношение сторон этого угла, то, оставив остальные условия, построим треугольник, подобный искомому. Для этого на сторонах данного угла отложим BD, равную m каких-нибудь равных частей, и ВЕ, равную n таких же частей, и соединим точки D и E. Тогда искомый треугольник и треугольник DBE подобны, так как они имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами. Проводя в угле АВС отрезки, параллельные DE, будем получать треугольники, подобные искомому, но с различными радиусами вписанных окружностей; из всех этих треугольников надо выбрать один, у которого радиус вписанной окружности равен r. Определив центр О, легко построить сам треугольник.

Построение.

1. OF  DE;

2. OG = r;

3. Через G проводим AC ║ DE;

4. ∆АВС – искомый.

Доказательство. Следует из построения.

Исследование. Возможное решение всегда одно.

2.3 Метод геометрического места точек

Геометрическим местом точек называется совокупность точек, обладающих свойствами, исключительно им принадлежащими. Если задача приводится к определению точки, то можно отбросить одно из условий, которому эта точка должна удовлетворять; тогда искомая точка станет способна принять бесчисленное количество последовательных положений, и все эти положения составят геометрическое место точек, обладающих всеми требуемыми свойствами, кроме отброшенного. Фигура этого геометрического места чаще бывает нам заранее известна; в противном случае её надо определить вспомогательными построениями. Затем, приняв отброшенное условие и откинув какое-либо другое условие задачи, мы вновь увидим, что искомая точка станет способна принять бесчисленное множество новых положений, образующих новое геометрическое место. Определим фигуру этого нового геометрического места, если она нам неизвестна. Тогда искомая точка должна лежать и на первом и на втором геометрическом месте, а потому определяется их пересечением.

Иногда для определения точки достаточно построить одно геометрическое место, потому что другое дано в условии задачи. Если же искомая точка подчинена таким условиям, которые все в совокупности определяют только одно геометрическое место, то задача становится неопределённой.

Отсюда видно, как важно знать различные геометрические места. Знание геометрических мест иногда позволяет сразу видеть, где находится неизвестная точка.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Анализ. Пусть ∆АВС уже построен, тогда положение вершин В иС можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Выясним свойства точки А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как дан угол АВС, во-вторых, точка А является вершиной ломанной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

На продолжении стороны ВА за точку А отложим отрезок АА₁, равный отрезку АС. Теперь можно построить треугольник А₁ВС по двум сторонам и углу между ними. В равнобедренном (по построению) треугольнике А₁АС серединный перпендикуляр к стороне А₁С пересечёт луч ВА₁ в точке А.

Построение.

1. построить ∆ВА₁С по сторонам ВС и ВА₁ = АВ + АС и углу между ними;

2. провести серединный перпендикуляр к стороне А₁С;

3. найти точку пересечения луча (BA) и построенного серединного перпендикуляра. Точка пересечения и будет искомой вершиной А.

Доказательство. В построенном ∆АВС сторона ВС, сумма сторон АВ и АС, угол В-данные.

Исследование проведём по ходу построения. Треугольник ВА₁С по двум сторонам и углу между ними можно построить единственным образом. Провести серединный перпендикуляр к отрезку А₁С – тоже единственным образом. Точка пересечения луча (BA) и серединного перпендикуляра существует и она единственная.
Пример 2. Постройте треугольник по стороне, разности углов при при этой стороне и сумме двух других сторон.

Анализ. Пусть ∆АВС построен, тогда положение вершин В и С можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как известна разность углов В и С. Во-вторых, точка А является вершиной ломаной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

Отложим данный угол от луча ВС внутрь треугольника АВС и обозначим его через х (угол DBC обозначен через х). Тогда угол С равен Углу АВD, обозначим его через у. На продолжении стороны СА за точку А отложим отрезок АА₁, равный отрезку АВ и построим треугольник СВА₁. Найдём углы:

угол А₁АВ равен х + 2у,

угол АВА₁ = , тогда

угол А₁ВС равен .

Построение.

1. построить ∆А₁ВС по углу А₁ВС, сторонам ВС и СА₁;

2. построить серединный перпендикуляр к отрезку А₁В;

3. найти точку пересечения А построенного серединного перпендикуляра со стороной А₁С.

Точка пересечения и является искомой вершиной А.

Доказательство очевидно.

2.4 Алгебраический метод

Сущность метода заключается в следующем. Решение задач на построение сводится к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Величину искомого отрезка выражают через величины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Пример 1. Провести окружность через две точки А и В так, чтобы длина касательной к ней, проведённой из точки С равнялась а.

Анализ. Пусть через точки А иВ проведена окружность так, что касательная к ней из точки С равняется а. Так как через три точки можно провести окружность, то проведём СВ и определим положение точки К. Полагаем СК = х и СВ = с; тогда по свойству касательной сх = а².

Построение.

1. для построения х чертим полуокружность на ВС и дугу (С, а);

2. опустим LK  BC;

3. с КС = а²; поэтому х = КС, и точка К будет искомая;

4. восстановив перпендикуляры из середин АВ и КВ до их пересечения найдём искомый центр О;

5. чертим окружность (О, ОА);

МС – искомая касательная.

Доказательство. МС² = СВКС = и МС = а, как и требовалось.

Исследование. Выражение a  с – условие существования решения нашей задачи, так как только при этом условии дуга (С, а) пересечёт окружность СLB.

Пример 2. Из вершин данного треугольника как из центров опишите три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, а, b, c – его стороны, х, у, z – радиусы искомых окружностей. Тогда Поэтому откуда

Построение.

1. проводим окружность S₁(A, x);

2. S₂(B, c – x);

3. S₃(C, b – x).

Доказательство. Найдём сумму радиусов окружностей S₁ и S₃:

= ВС.

Получили, что сумма радиусов равна расстоянию между их центрами, что и доказывает касание окружностей S₂ и S₃.

Исследование. Задача всегда однозначно разрешима, поскольку:

1. в треугольнике АВС сумма сторон , и поэтому отрезок х может быть построен;

2. , потому что (так как );

3. , так как .

2.5 Метод инверсии

Пусть нам дана некоторая кривая М и неподвижная точка К – начало или центр инверсии. Возьмём на кривой М точку А и на прямой КА определим точку А₁ так, чтобы абсолютное значение КА·КА₁ = к², где к – есть постоянная длина, то при движении точки А по кривой М точка А₁ опишет новую кривую N, которая называется обратной или инвертированной кривой.

Пусть у нас имеется фигура, состоящая из прямых и окружностей. Если эту фигуру инвертировать, то прямые и окружности превратятся в известные прямые и окружности, или в одни окружности, которые будут пересекаться под теми же углами, как и в данной фигуре. Если какая-нибудь точка данной фигуры представляла, например, вершину какого-нибудь угла, то в обратной фигуре она представит, вообще, точку пересечения окружностей, пересекающихся под тем же углом. Словом, обратная фигура удерживает до мельчайших подробностей своеобразное сходство с данной фигурой.

Зная отображённую фигуру и положение начала инверсии, нередко можно легко отгадать форму основной фигуры; что касается её размера, то для этого нужно знать степень инверсии.

Пример 1. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY так, чтобы KX·KY = k²(k – есть данная длина).

Анализ. Искомая точка Y есть пересечение прямой ВА с прямой, инвертированной к ВС с центром инверсии К и степенью к².

Построение.

1. опустим KL  BC;

2. на ВС отложим LN = k;

3. проведём MN  KN до пересечения KL в точке М;

4. окружность, описанная на диаметре МК встретит АВ в искомой точке.

Пример 2. Даны точки А, В и С. Через В провести прямую так, чтобы расстояния АХ и CY от этой прямой удовлетворяли равенству

АХ² - СY² = к².

Решение. Из равенства (АХ + CY) (AX – CY) = k² вытекает необходимость ввести в чертёж сумму и разность AX и CY. Поэтому переносим параллельно CY в С₁Х и AC₁·AY₁ = k². Если взять за центр инверсии А и за коэффициент к², то С₁ – есть точка окружности, инвертированной к прямой DY₁; диаметр этой окружности равен АС₁. Так как точки D и J соответственные, то AD·AJ = k², что даёт возможность построить точку J. Тогда для определения точки С₁ имеем JC₁  AD и окружность, диаметр которой равен АС.

3. Эксперимент

Практические занятия по теме «Методы решения задач на построение».

Цели: 1. Формирование знаний об этапах решения задач на построение и умений их осуществлять;

2. Формирование представлений об основных методах решения задач на построение;

3. Формирование навыков самостоятельной работы.

План занятий:

Этапы изучения темы

Тема занятия

Количество часов

1. Пропедевтический

этап

Основы конструкти-

вной геометрии. Ос-

новные геометричес-

кие построения.

2

2. Систематический

этап

1. Метод пересечения фигур

2. Алгебрaический

метод

3. Метод параллель

ного переноса

4. Метод подобия

5

3. Итоговый этап

Самостоятельная ра-

бота

1

Практические занятия по теме «Методы решения задач на построение»

Занятие 1

Тема: Основы конструктивной геометрии

Цели: 1. Ознакомление с основными требованиями конструктивной геометрии;

1. Формирование системы аксиом инструментов построения: линейки, циркуля, двусторонней линейки, прямого угла.

Оборудование:

1. Рассмотренные выше инструменты;

2. Плакаты, отражающие основные свойства конструктивной геометрии.

Методы и средства:

1. Лекция с включённой беседой;

2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;

3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.

План-коспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Вступительная беседа и объяснение нового материала.

Преподаватель: Данные занятия затрагивают основные моменты очень интересного раздела геометрии, который называется конструктивная геометрия. Как раздел общей геометрии, она изучает геометрические построения. В конструктивной геометрии существуют основные требования.

1. Каждая данная фигура построена;

2. Если построены две или более фигуры, то построено их соединение;

3. Если две фигуры построены, то можно установить является ли их пересечение пустым множеством;

4. Если разность двух фигур не является пустым множеством, то эта разность построена;

5. Можно построить точку, заведомо принадлежащую или не принадлежащую построенной фигуре.

Преподаватель: Каждая задача на построение состоит из требования построить ту или иную фигуру при помощи данных соотношений между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры, используя данный набор инструментов. Мы будем рассматривать построения при помощи циркуля и линейки.

Таким образом, каждая построенная фигура, удовлетворяющая требуемым условиям задачи, называется решением задачи. Найти решение задачи на построение, – значит, свести её к конечному числу из некоторых элементарных построений, то есть указать пошаговую последовательность построений, после выполнения которых мы получим искомую фигуру.

Решить задачу на построение, – значит найти все её решения. А теперь рассмотрим элементарные построения (см. Глава 1.,§ 1,2).

Преподаватель: На уроках геометрии вы уже выполняли некоторые простые задачи на построение. Давайте вспомним какие.

Учащиеся: Деление отрезка пополам, деление угла пополам, построение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам, подвум углам и прилежащей стороне.

Преподаватель: Правильно. Попытайтесь самостоятельно выполнить эти построения.

Каждому ученику предлагается задача на построение.

Предлагаемые задачи:

1. Разделите отрезок пополам.

2. Разделите угол пополам.

3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.

4. Постройте треугольник по трём сторонам.

5. Постройте треугольник по двум углам и прилежащей стороне.

Домашнее задание: Выполнить нерассмотренные задачи на построение.

Занятие 2

Тема: Основы конструктивной геометрии. Основные геометрические построения.

Цели: 1. Формирование представлений о сущности решения задачи на построение;

2. Закрепление умений решать основные задачи на построение (14 задач).

Оборудование: Циркуль, линейка.

Методы и средства:

1. Лекция с включённой беседой;

2. Параллельная работа учителя у доски, а учащихся в тетради;

3. Самостоятельная работа учащихся в тетради.

План-конспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания: на карточках дать по одному основному построению.

Вопросы:

1. Что значит найти решение задачи на построение?

2. Что значит решить задачу?

3. Какие элементарные построения вы знаете?

4. Какие основные задачи на построение вы знаете?

3. Объяснение нового материала:

Преподаватель: На прошлом занятии мы решали с вами некоторые простейшие задачи на построение, но в конструктивной геометрии существуют гораздо более сложные задачи, решение которых не видно из условий сразу. Для этого решение задачи разбивают на этапы. Может быть, вы помните – какие этапы включает в себя задача на построение?

Ученики: Анализ и построение.

Преподаватель: Правильно, но вы перечислили не все этапы.

1 этап: Анализ. Это поиск способа решения задачи на построение. На этапе анализа мы предполагаем, что искомая фигура построена и отмечаем из этого наброска все зависимости, отношения между элементами этой фигуры.

Пусть, например, надо построить треугольник по основанию и медиане и высоте, проведённых к этому основанию.

Анализ: Допустим, что такой треугольник построен, где BD = m,

BE = h. Заметим, что треугольник АВС легко будет построить, если будет известен треугольник BDE. Отложив по обе стороны от точки Е отрезки, равные половине основания(данного), получим искомый треугольник АВС. Но ведь треугольник BDE состоит из известного (данного нам) катета и гипотенузы. А такой треугольник строить мы умеем и сможем его построить. На этом рассуждения на этапе анализа закончены, можно приступать к построению.

На этапе построения расписывается поэтапно каждое построение. Вернёмся к нашему примеру и выполним построения в следующей последовательности:

1. Строим ∆ BDE по гипотенузе m и катету h.

2. По обе стороны то точки на продолжении прямой откладываем отрезки, равные а/2 (ЕС = а/2; EA = a/2);

3. ∆АВС – искомый.

Дано:

Следующим этапом решения задачи является доказательство того, что построенная нами фигура удовлетворяет всем поставленным нами условиям.

Доказательство: 1. АЕ = ЕС по построению, ВЕ – медиана;

2. ∆ BDE – прямоугольный по построению, а BD – высота к основанию ВС;

4. BE = m, BD = h, AC = a.

После доказатества переходим к исследованию. При построении обычно ограничиваются нахождением какого-либо решения. Но ведь мы знаем, что решить задачу – это что значит?

Ученики: Это значит найти все её решения.

Преподаватель: Обратите внимание на пример нашей задачи. Как вы думаете, сколько решений возможно в данной задаче, если не учитывать различие в расположении на плоскости?

Ученики: Единсвенное решение.

Преподаватель: Итак, при решении задачи на построение принято действовать по схеме:

1. Анализ;

2. Построение;

3. Доказательство;

4. Исследование.

3. Закрепление: решение несложных задач по схеме.

Задача 1

Через точку А, лежащую в середине угла провести прямую так, чтобы точка А была серединой отрезка, отсекаемого от прямой сторонами угла.

1. Анализ. Дан угол А и точка внутри его. Точка будет удовлетворять условиям, если она будет лежать на пересечении диагоналей параллелограмма. Как сделать точку А точкой пересечения диагоналей?

Ученики: на продолжении отрезка КА построить АN = KA и достроить до параллелограмма.

2. Построение.

а) AN = AK;

б)  1 =  2 (NP  KP = P);

в) MP = KM;

г) MP – искомая.

3) Доказательство.

∆ КМА = ∆ APN ( 1 =  2, KA = AN,  5 =  6).

4) Исследование:

МР – единственная прямая, так как точка А (как точка пересечения диагоналей) определена единственным образом.

Домашнее задание: Нерешённые задачи на дом;

Повторение этапов решения задачи.

Занятие 3

Тема: Решение задач на построение методом пересечения фигур

Цели: 1. Продолжать формирование этапов решения конструктивной задачи;

2. Выделить метод геометрического места точек.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

Методы и средства:

1. Рассказ учителя;

2. Совместное решение задач;

3. Самостоятельное решение задач.

План-конспект уроков:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Вопросы для контроля:

1. Перечислите основные построения циркулем и линейкой;

2. Перечислите основные элементарные задачи;

3. Из каких основных этапов состоит решение задачи на построение?

4. Что нужно показать в исследовании?

3. Объяснение нового материала.

Преподаватель: Сущность метода пересечений состоит в следующем:

Задачу сводят к построению одной точки (основной элемент построения), которая удовлетворяет двум условиям ₁ и ₂.

Пусть Ф₁ – множество точек, удовлетворяющих условию ₁, а Ф₂ – удовлетворяющих ₂. Тогда точка  будет являться пересечением двух множеств точек Ф₁ и Ф₂. Чтобы построить точку  необходимо, опустив условие ₂, построить множество точек Ф₁, удовлетворяющих условию ₁, затем, опустив условие ₁, построить множество точек Ф₂, удовлетворяющих ₂. Пересечение этих двух множеств точек и будет искомый элемент .

Рассмотрим пример:

Задача 1 (решается вместе с преподавателем)

Построить окружность данного радиуса r, проходящую через данную точку А и касающуюся данной прямой d.

Анализ. Предположим, что задача решена и окружность (О, r) построена.

Так как радиус этой окружности дан, то мы сможем её построить, если будет построен её центр О. Точка О удовлетворяет двум условиям:

а) (О, r) = r;

б) (O, d) = r.

Условие а) определяет фигуру S (A, r), а условие б) d₁ и d₂ – такие прямые, что (d₁, d) = (d, d₂) = r

Построение:

1. S (A, r);

2. прямые d₁ и d₂:(d₁, d) = (d, d₂) = r;

3. ОS (A, r)  {d₁, d₂};

4. S (O, r).

Доказательство:

а) ОS (A, r) => A S (O, r);

б) О{d₁, d₂} => (O, d) = r => S (O, r) касается прямой d.

Исследование:

Построения 1 и 2 всегда выполнимы. Рассмотрим построение 3.

Здесь возможны три случая:

а) (А, d) < 2r => Фигура S (A, r)  {d₁, d₂} состоит из двух точек;

Задача имеет два решения.

б) (А, d) = 2r => Фигура S (A, r)  {d₁, d₂} – точка, задача имеет одно решение.

в) (А, d) > 2r => S (A, r)  {d₁, d₂} = ; задача не имеет решений.

Задача 2

Построить треугольник АВС, зная АС и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВD и ADC, где AD высота.

Анализ: Известно, что радиус описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Так как АС известно, радиусы окружностей известны, точка М – середина АD. Следовательно, можно построить и AD.

Построение:

1. АС, О₂ – середина;

2. ₁(О₂, r₂);

3. ₂(A, r);

4. ₃(O₁, r);

5. CD₃ = B;

6. ABC – искомый;

Доказательство:

r₁ – радиус описанной окружности треугольника АВD (по построению).

Исследование:

Радиусы описанных окружностей должны быть равны половине гипотенузы. Решение единственное.

4. Домашнее задание

Оставшиеся задачи и предложенная теория.

Занятие 4

Тема: Решение задач на построение алгебраическим методом

Цель: Сформировать умение строить отрезки по данным формулам.

Оборудование: Циркуль, линейка.

План-коспект занятия:

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала

Преподаватель: При решении задач алгебраическим методом приходится решать следующую задачу:

Даны отрезки a, b,…, l, где a, b,…, l – их длины. Выбрана единица измерения. Требуется построить отрезок х, длина которого х в этой же системе измерения выражается через длины a, b,…, l заданной формулой:

x = f (a, b,…, l)

Рассмотрим построение отрезков, заданных следующими простейшими формулами:

1) ;

2)

3. , где p и q – натуральные числа;

4. (построение отрезка – четвёртого пропорционального к данным трём).

5. ;

6. ;

С помощью построений 1–7 можно строить отрезки, заданные более сложными формулами.

Рассмотрим пример: (решить вместе с преподавателем).

Пример 1. Пусть а, b, c и d – данные отрезки. Построить отрезок х, заданный формулой:

Решение: Построение отрезка выполняем в следующей последовательности:

1. Строим отрезок у, заданный формулой (для этого дважды выполняем построение отрезка, заданного формулой 5);

2. Строим отрезок z, заданный формулой

(построение отрезка, заданного формулой 6);

3. Строим отрезки u и v по формулам и

(построение отрезка по формуле 4);

4. Строим отрезок х, по формуле

(построение отрезков, заданных формулой 4).

Построение:

Алгебраический метод решения задач состоит в следующем: Задачу формулируют так, чтобы в качестве данных фигур и искомой фигуры были отрезки. Используя подходящие теоремы, выражают длину искомого отрезка через длины данных отрезков и по найденной формуле строят искомый отрезок.

Рассмотрим пример:

Задача 1

Дан треугольник АВС. Построить три окружности с центром, соответственно в точках А, В и С так, чтобы они касались друг друга внешним образом.

Решение:

Анализ. Пусть АВС – данный треугольник, a, b, c – его стороны (AB = c, BC = a, AC = b). Задача будет решена, если мы сможем построить отрезок х по известным отрезкам a, b и c.

Видно, что

Отсюда получаем (1)

Построив отрезок х по этой формуле, проводим окружность (А, х), а затем две другие окружности (В, с – х) и (С, b – x).

Построение:

1. Строим отрезок по формуле

2. Строим окружность (А, х);

3. Строим окружность (В, с – х);

4. Строим окружность (С, b – х).

Доказательство: непосредственно следует из построения.

Исследование: Из формулы (1) находим:

(2)

Из этих формул всегда видно, что задача всегда разрешима, так как в треугольнике АВС c + b – a > 0, a + c – b > 0, a + b – c > 0 и отрезки x, y, z могут быть построены по формулам (2).

Формулы (2) дают единственные значения радиусов искомых окружностей, поэтому задача имеет единственное решение.

5. Домашнее задание: Построить отрезок, длина которого в выбранной системе измерения равна

Занятие 5

Тема: Метод параллельного переноса.

Цель: Выделить метод параллельного переноса.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

План-конспект урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала.

Преподаватель: Сущность метода параллельного переноса состоит в следующем: какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных. Давайте рассмотрим пример.

Задача 1

Постройте трапецию по заданным сторонам.

Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD. Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Затем продолжим отрезок АD на DD = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD= CD = d.

Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения.

Задача 2

Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Анализ. Пусть ABCD – искомый параллелограмм и АВ = а, ВС = b, угол между диагоналями равен α. Если выполнить параллельный перенос на вектор ВС, то Т_ВС(D) = D₁. Тогда AD₁ = 2b, ACD₁ = , D – середина отрезка AD₁ и DC = а. Значит, точка С принадлежит геометрическому месту точек из которых отрезок AD₁ виден под углом , и окружности S (D; a).

Построение.

1. AD₁ = 2b;

2. F₁ – геометрическое место точек из которых отрезок AD₁ виден под углом ;

3. D – середина отрезка AD₁;

4. S = S (D; a);

5. CF₁ S (D; a);

6. B = T_DA(C).

ABCD – искомый параллелограмм.

4. Домашнее задание: Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Занятие 6

Тема: Метод подобия.

Цель: Выделить метод подобия.

Оборудование: Чертёжные инструменты.

План-конспект урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Объяснение нового материала

Преподаватель: Основная идея метода подобия состоит в следующем:

Сначала строят фигуру, подобную искомой так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, подобную искомой и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные-либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была подобна не только искомой, но и подобно расположена с ней. Успех решения зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры Ф соответствуют отрезки a₁, b₁, c₁,… подобной фигуры Ф₁, то коэффициент подобия равен также отношениям:

Задача 1

Дан  АВС и внутри его точка М. Найти на стороне ВС точку Х, расположенную на одинаковом расстоянии от прямой АВ и от точки М.

Анализ. Пусть точка Х найдена так, что перпендикуляр ХY = МХ. Задача сводится к построению фигуры YХМ. Представим целый ряд фигур, подобных искомой фигуре. Достаточно построить одну из этих фигур, например РКN, так как останется провести из точки М прямую параллельную КР и задача будет решена.

Для построения фигуры РКN замечаем, что В есть центр подобия искомых фигур, и поэтому точки М, H, К и В лежат на одной прямой ВМ и PN  АВ, PN = BN, положение же точки Р произвольно. Поэтому для построения фигуры PKN надо в произвольной точке Р восстановить PN  АВ, из центра N описать радиусом PN дугу, которая пересечёт ВМ в точке К. Проводя МХ ║КN, можно определить искомую точку Х.

Построение.

5. ЕG  AB;

6. H = ω (G, EG)BM;

7. MX ║ HG;

8. X = BCMX.

Доказательство. Опустив перпендикуляр ХY, из подобия треугольников находим МХ: GH = BX: BN = XY: GE, откуда МХ: GH = =XY: GE, но так как по построению HG = GE, то МХ = YX.

Исследование. Задача всегда возможна и имеет два решения, так как дуга из центра G встречает ВМ всегда в двух точках.

4. Домашнее задание. Постройте треугольник с заданным периметром, подобный данному.

Результаты эксперимента

По проблеме исследования был проведён естественно – педагогический эксперимент.

Эксперимент проходил в три этапа:

Первый этап – констатирующий эксперимент.

При его проведении были выявлены знания учащихся по теме «Решение задач на построение». Использовались различные формы и методы выявления знаний: анкетирование, беседы с учащимися, наблюдение за деятельностью учащихся. В частности, был проведён срез №1: «Основные задачи на построение».

Срез №1

1. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними;

2. Разделите данный отрезок пополам;

3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету;

4. Какие этапы включает в себя решение задачи на построение?

5. Какие методы решения задач на построение вы знаете?

Работы учащихся представлены в приложении.

В результате, было выявлено, что у учащихся сформировано представление об основных задачах на построение; знания об этапах решения задач не полны (реализуется только два из четырёх этапов). Умения осуществлять анализ сформированы слабо.

Второй этап – поисковый

На этом этапе осуществлялся отбор содержания заданий, наиболее целесообразных форм работы с учащимися, в процессе выполнения которых происходит формирование методов решения (предлагаемые выше практические занятия).

Третий этап – обучающий(формирующий)

На нём была проведена экспериментальная проверка разработанной методики в виде второго среза (заключительного).

Срез №2

Задача 1. Построить треугольник АВС по сторонам ВС и АС и углу АВС при основании.

Задача 2. Построить треугольник по двум углам α и β и медиане m, проведённой из вершины третьего угла.

Для проведения эксперимента были выбраны две группы учащихся примерно с одинаковым уровнем сформированности знаний и умений. Методы, рассматриваемые на занятиях в экспериментальной группе не выходят за рамки школьной программы.

Результаты эксперимента приведены в таблице:

Эксперимент

альная группа

Контрольная

группа

срез №1

срез №2

срез №1

срез №2

Количество

учащихся

10

10

10

10

Знания об эта

Пах решения

задачи

20%

68%

22%

27%

Метод пере-

ечения фигур

25%

80%

23%

25%

Алгеброичес-

кий метод

28%

71%

24%

24%

Метод парал-

лельного пе-

реноса

30%

65%

26%

25%

Метод подо-

бия

28%

70%

29%

31%

Как показывают данные эксперимента, качество знаний в экспериментальной группе значительно выше, чем качество знаний в контрольной группе. В экспериментальной группе у учащихся сформированы знания о всех этапах решения задачи, основных методах их решения, они правильно определяют каким методом стоит решать ту или иную задачу на построение.

Таким образом эксперимент подтвердил выдвинутую нами гипотезу. В результате разработанной методики показатели стали намного выше.

Заключение

Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

В работе рассмотрены общие положения теории формирования умения решать геометрические задачи на построение различными методами.

На основе анализа учебно-методической литературы сделан отбор материала для практических занятий по данной теме. Этот материал содержит теорию, включающую в себя основы конструктивной геометрии:

• аксиомы конструктивной геометрии;

• элементарные построения;

• основные построения.

Далее на практических занятиях были предложены основные методы решения задач на построение:

• метод геометрических мест точек;

• алгебраический метод;

• метод параллельного переноса;

• метод подобия.

В конце занятий проведён итоговый урок (контроль), который позволяет проверить теоретические знания, практические умения и навыки всех учащихся.