КГБОУ СПО

«Сосновоборский автомеханический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и контрольные задания для студентов заочной формы обучения

на базе основного общего образования ( 9 классов )

2008

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ

ЗАМ.директора по УМР

Протокол №____от ____________ Л.С.Корсакова

«___»________2008 «___»____________2008

Методические указания составлены

в соответствии с примерной программой по математике,

Государственными требованиями к минимуму

содержания и уровню подготовки выпускников

на базе среднего (полного) общего

образования.

Составитель : Петрова Н.Г.

СОДЕРЖАНИЕ :

1. Пояснительная записка.

2. Программа.

3. Методические указания .

4. Контрольные задания.

5. Литература

6. Экзаменационный материал ( тесты ).

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Настоящее методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине математика .

Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математики на базе среднего (полного) общего образования. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной , формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин.

В результате изучения дисциплины студент должен :

иметь представления :

- о роли математики в современном мире, общности ее понятий и представлений ;

знать и уметь:

-использовать математические методы при решении прикладных задач.

Рабочая программа по математике рассчитана на 312 часов из них 93,6 час. на теоретические занятия и 218,4 час. на самостоятельную учебную нагрузку студенту. Программа по математике состоит из 14 разделов.

Раздел 1 «Действительные числа»

Раздел 2 «Тригонометрические выражения»

Раздел 3 «Тригонометрические функции»

Раздел 4 «Тригонометрические уравнения»

Раздел 5 «Производная»

Раздел 6 «Применение производной»

Раздел 7 «Показательная и логарифмическая функции»

Раздел 8 «Интеграл»

Раздел 9 «Аксиомы стереометрии и их простейшие свойства»

Раздел 10 «Параллельность прямых и плоскостей»

Раздел 11 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Раздел 12 «Декартовы координаты»

Раздел 13 «Многогранники, объем многогранников»

Раздел 14 «Тела вращения, объем тел вращения, площади поверхности тел вращения»

Основной формой учебного процесса является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой

Изучать дисциплину математика необходимо в логической последовательности:

1. Усвоить учебные материалы , согласно программы.

2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.

3. Выполнить контрольную работу.

4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.

Все непонятные вопросы студент может выяснить в индивидуальной консультации у преподавателя.

В соответствии с учебным планом студент должен в семестре выполнить одну контрольную работу , которая охватывает все разделы семестра , промежуточная аттестация в виде экзамена. Для проведения промежуточной аттестации по дисциплине математика составлены экзаменационные тесты , которые охватывают раздел материала за 1 семестр обучения. Экзамен по математике проводится на ПВЭМ. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Содержание каждого вопроса и условие задачи необходимо переписывать полностью, из задания непосредственно перед ответом. Ответы должны быть полными , конкретными, по существу заданного вопроса. Решение задач должны быть подробно расписаны с пояснением . ответами и выводами. Доказательство теорем должно быть оформлено подробно , выделены разделы : что дано, что доказать , чертеж к теореме и доказательство самой теоремы с пояснением ( т.е. объяснение всех пунктов доказательства ).

РАЗДЕЛ 1 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Студент должен :

Знать:

• Определение действительного числа

• Способы решений линейных уравнений и неравенств

• Способы решений квадратных уравнений и неравенств

Уметь:

• Выполнять арифметические действия на множестве действительных чисел

• Решать линейные и квадратные уравнения

• Решать линейные и квадратные неравенства

• Решать системы линейных уравнений и неравенств

• Решать простейшие иррациональные уравнения

РАЗДЕЛ 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Студент должен :

Знать:

• определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь :

• вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;

• применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

РАЗДЕЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Студент должен :

Знать:

• определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в радианную и обратно; определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа; основные формулы тригонометрии; свойства и графики тригонометрических функций; понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь :

• вычислять значения тригонометрических функций с заданной степенью точности; преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы; строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функции;

• применять геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков; решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Студент должен :

Знать:

• понятия обратных тригонометрических функций; способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств

Уметь :

• решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

Студент должен :

Знать:

• понятие степени с действительным показателем и ее свойства; определение логарифма числа, свойства логарифмов; свойства и графики показательной, логарифмической и степенной функции; способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

Уметь :

• строить графики показательных, логарифмических функций при различных основаниях и на них иллюстрировать свойства функций; преобразовывать эти графики путем сдвига и деформации; вычислять значения показательных и логарифмических выражений с помощью основных тождеств

РАЗДЕЛ 6 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

Студент должен :

Знать :

• основные понятия стереометрии; аксиомы стереометрии и следствия из них

Уметь :

• в ходе решения задач проводить доказательные рассуждения , ссылаясь на аксиомы

РАЗДЕЛ 7 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Студент должен :

Знать :

• взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве; основные теоремы о параллельности прямой к плоскости, параллельности двух плоскостей; свойства параллельного проектирования и их применение для изображения фигур в стереометрии;

Уметь :

• устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;

РАЗДЕЛ 8 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Студент должен :

Знать :

• понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями; основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;

Уметь :

• применять признак перпендикулярности прямой и плоскости,

• теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве.

РАЗДЕЛ 9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ В ТОЧКЕ

Студент должен :

Знать :

• определение производной, ее геометрический и механический смысл; правила и формулы дифференцирования функции; определение дифференциала функции; определение второй производной, ее физический смысл;

Уметь :

• дифференцировать функции, использую таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций вида f (ax + b); вычислять значения производной функции в указанной точке

РАЗДЕЛ 10 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Студент должен :

Знать:

• определение второй производной, ее физический смысл; достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремума; общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

Уметь:

• находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке; применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождение скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.); находить производные второго порядка,

РАЗДЕЛ 11 ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Студент должен :

Знать:

• определение первообразной; определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования; способы вычисления неопределенного интеграла; определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства; способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;

Уметь:

• находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускорению, количество электричества по силе тока и т.д.;

РАЗДЕЛ 12 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Студент должен :

Знать :

• понятие декартовых координат в пространстве, понятие вектора , действие над векторами;

Уметь :

• выполнять действия над векторами

РАЗДЕЛ 13 МНОГОГРАННИКИ, ОБЪЕМ МНОГОГРАННИКОВ

Студент должен

Знать :

• понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника; определения призмы, параллелепипеда; виды призм; определения пирамиды, правильной пирамиды; понятие тела вращения и поверхности вращения; определения цилиндра, конуса, шара, сферы; свойства геометрических тел;

Уметь :

• вычислять и изображать основные элементы прямых призм, пирамид, прямых круговых цилиндра и конуса, шара; строить простейшие сечения многогранников и круглых тел; вычислять площади этих сечений.

РАЗДЕЛ 14 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ , ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Студент должен :

Знать :

• понятие тел вращения и поверхности вращения; определения цилиндра , конуса , шара , сферы; свойства геометрических тел ;понятие объема и площади поверхности геометрического тела ; формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей геометрических тел ;

Уметь :

• вычислять и изображать основные элементы прямых круговых цилиндров и конусов , шара ; строить простейшие сечения круглых тел; вычислять площади; находить объем прямого кругового цилиндра и конуса , шара

Контрольные задания

Домашней контрольной работы

(для первой экзаменационной сессии)

ВАРИАНТ 1

1.Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.

2.Докажите , что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и притом только одну.

3.Какие прямые в пространстве называются параллельными?

4.Какие прямые называются скрещивающимися ?

5.Докажите признак параллельности прямых.

6.Свойства и графики тригонометрических функций.

7.Корень п-ой степени , его свойства.

8.Решите уравнения :

• 2sin x + = 0

• sin 2x =

• 3^х – 3^х+3 = - 78

• 5^х * 2^{х =} 0,1^-3

• 0,3^х * 3^х =

• log _x = - 3

• log _0.1 ( x² +4x -20 ) = 0

9. Решите неравенство :

• log _0.6 ( 6x – x² ) log _0.6 ( -8 –x )

• log _2.5 ( 6 – x ) log _2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 2

1.Докажите , что через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом только одну.

2. .Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3.Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.

4.Что значит : прямая и плоскость параллельны ?

5.Докажите признак параллельности прямых.

6.Степень с рациональным и действительным показателем.

7.Понятие синуса, косинуса , тангенса произвольного угла.

8. Решите уравнения :

• 2 cos x -1 = 0

• cos = -

• 0,1^х-0,5 * = 0,001

• 5^2х-1 -5^2х-3 = 4,8

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log ₇ ( x² -12x +36 ) = 0

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log ₂ ( 5x – 9 ) log ₂ ( 3x + 1 )

• log ₃ ( x² +6 ) log ₃ 5x

ВАРИАНТ 3

1.Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

2.Какие плоскости называются параллельными ?

3.Докажите признак параллельности плоскостей.

4. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.

5.Перечислите свойства параллельного проектирования.

6.Понятие логарифмической функции, свойства , графики.

7.Действительные числа, действия над множеством действительных чисел.

8. Решите уравнения :

• 2 sin x + = 0

• sin =

• 0,3^х * 3^х =

• 2 *( ^3х+7 – 7* ( ^3х+8 = 49

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log ₂ ( x² +7x -5 ) = log ₂ ( 4x -1 )

9. Решите неравенство :

• log _0.6 ( 6x – x² ) log _0.6 ( -8 –x )

• log _2.5 ( 6 – x ) log _2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 4

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. .Какие прямые называются скрещивающимися ?

3.Докажите признак параллельности прямых.

4.Докажите , что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.

5.Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.

6.Понятие показательной функции, свойства , график.

7.Целые и рациональные числа.

8. Решите уравнения :

• sin (-2x ) =

• 3sin² x – 5sin x-2 =0

• 3^х – 3^х+3 = - 78

• 5^х * 2^{х =} 0,1^-3

• log₂ 3x = log₂4 +log₂6

• log ₁₂ ( x² -8x + 16 ) = 0

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log ₂ ( 5x – 9 ) log ₂ ( 3x + 1 )

• log ₃ ( x² +6 ) log ₃ 5x

ВАРИАНТ 5

1.Докажите , что если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.

2. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?

4. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

5.Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.

6.Основные формулы тригонометрии. Формулы двойного аргумента.

7.Свойства и графики тригонометрических функций.

8. Решите уравнения :

• tg ( -4x ) =

• 3 sin ²2x +10 sin 2x+3 =0

• 0,1^х-0,5 * = 0,001

• 5^2х-1 -5^2х-3 = 4,8

• 0,3^х * 3^х =

• log _x = - 3

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log _0.6 ( 6x – x² ) log _0.6 ( -8 –x )

• log _2.5 ( 6 – x ) log _2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 6

1. Какие прямые называются скрещивающимися ?

2. Докажите признак параллельности плоскостей.

3. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.

4. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.

5. Перечислите свойства параллельного проектирования.

6.Определения обратных тригонометрических функций.

7.Формулы сложения и следствия из них.

8. Решите уравнения :

• cos ( -2x) =

• 4 sin ²x +11sin x -3 = 0

• 0,3^х * 3^х =

• 2 *( ^3х+7 – 7* ( ^3х+8 = 49

• log₂ 3x = log₂4 +log₂6

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log ₂ ( 5x – 9 ) log ₂ ( 3x + 1 )

• log ₃ ( x² +6 ) log ₃ 5x

ВАРИАНТ 7

1.Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.

2.Точки А. В. С лежат в каждой из двух различных плоскостей . Докажите , что точки лежат на одной прямой.

3. Какие прямые называются скрещивающимися ?

4. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?

5. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

6.Тригонометрические функции числового аргумента.

7.Свойства тригонометрических функций числового аргумента и их графики.

8. Решите уравнения :

• 6cos ² x + cos x -1 =0

• ctg ( - ) = 1

• 3^2х -6 * 3^х – 27 = 0

• 0,4^4-5х = 0,16 *

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log ₁₂ ( x² -8x + 16 ) = 0

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log _0.6 ( 6x – x² ) log _0.6 ( -8 –x )

• log _2.5 ( 6 – x ) log _2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 8

1. Докажите ,что все прямые , пересекающие две данные параллельные прямые , лежат в одной плоскости.

2. Докажите , что если прямые АВ и СД скрещивающиеся , то прямые АС и ВД тоже скрещивающиеся.

3. Перечислите свойства параллельного проектирования.

4. Какие прямые называются скрещивающимися ?

5. Докажите признак параллельности плоскостей.

6.Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

7.Формулы приведения.

8. Решите уравнения :

• 2 cos ² x – cos x -3 =0

• 2 sin x – 1 =0

• 

• 2 *( ^3х+7 – 7* ( ^3х+8 = 49

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log ₇ ( x² -12x +36 ) = 0

• log ₂ ( x² +7x -5 ) = log ₂ ( 4x -1 )

9. Решите неравенство :

• log ₂ ( 5x – 9 ) log ₂ ( 3x + 1 )

• log ₃ ( x² +6 ) log ₃ 5x

ВАРИАНТ 9

1. Докажите признак параллельности плоскостей.

2. Что такое стереометрия .Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Что значит : прямая и плоскость параллельны ?

4. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.

5.Докажите признак параллельности прямых.

6.Формулы сложения и следствия из них ( докажите одну из них ).

7.Понятие обратных тригонометрических функций.

8. Решите уравнения :

• 2cos ² 3x -5 cos 3x – 3 =0

• ctg ( - ) = 1

• 

• 2 *( ^3х+7 – 7* ( ^3х+8 = 49

• 0,3^х * 3^х =

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log ₇ ( x² -12x +36 ) = 0

• log _0.3 ( -x² + 5x +7 ) = log _0.3 ( 10x -7 )

9. Решите неравенство :

• log _0.6 ( 6x – x² ) log _0.6 ( -8 –x )

• log _2.5 ( 6 – x ) log _2.5 ( 4- 3x )

ВАРИАНТ 10

1. Докажите признак параллельности прямых.

2. Докажите признак параллельности плоскостей.

3. Точки А, В, С, и Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.

4. Докажите , что через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну.

5. Какие прямые называются скрещивающимися ?

6.Радианное измерение углов

7.Понятие синуса ,косинуса ,тангенса произвольного угла.

8. Решите уравнения :

• 2 sin ² x + 3 cos x = 0

• 3 tg ² x + 2 tg x – 1 =0

• 

• 3^2х -6 * 3^х – 27 = 0

• 0,4^4-5х = 0,16 *

• log₄ 5x = log₄ 35 - log_{4 7}

• log _0.1 ( x² +4x -20 ) = 0

9. Решите неравенство :

• log ₂ ( 5x – 9 ) log ₂ ( 3x + 1 )

• log ₃ ( x² +6 ) log ₃ 5x

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Раздел 1 Действительные числа.

Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей , животных , плодов ,различных изделий человека и других предметов. Эти числа называются теперь натуральными , а в арифметике их называют целыми числами.

В результате выполнения арифметических действий появились дробные числа , затем иррациональные числа , отрицательные числа и комплексные числа , позднее к ним присоединился нуль. Все эти числа вместе образуют множество действительных чисел.

Над множеством действительных чисел производятся следующие операции (действия ): сложение , вычитание ,умножение , деление , возведение в степень ,вычисление значений корня. Выполняя действия мы не забываем , что действия первой ступени ( деление ,умножение, возведение в степень, вычисление корня ) выполняются первыми , а затем действия второй ступени ( сложение и вычитание ).

Обыкновенной дробью называется часть единицы или несколько равных частей единицы. Число , показывающее , на сколько долей разделена единица , называется знаменателем дроби ; число, показывающее количество взятых долей ,- числитель дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной : - правильная дробь. Если числитель больше знаменателя , то дробь называется неправильной : - неправильная дробь. Число , содержащее целую и дробную часть ( например 9 , называется смешанным.

Вычисления с обыкновенными дробями иногда становятся громоздкими, если их знаменатели достаточно велики. Поэтому в древности пришли к мысли выбирать не произвольно , а систематически доли единицы. Так пришли к понятию десятичной дроби, над множеством которой производятся все основные операции.

Раздел 2 Тригонометрические выражения.

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180 ⁰ = радиан ; угол в п⁰ равен радиан.

Если в прямоугольном треугольнике , один из острых углов обозначить через ,катеты соответственно а и в , гипотенузу через с , то отношение а : с есть синус острого угла (отношение противолежащего угла катета к гипотенузе) ; отношение в : с есть косинус острого угла ( отношение прилежащего катета угла к гипотенузе ) ; отношение а : в есть тангенс острого угла ( отношение противолежащего катета угла к прилежащему катету ).

Из определений синуса ,косинуса, тангенса, котангенса следуют основные формулы тригонометрии :

Sin ²x + Cos² x = 1 tg x * ctg x =1

tg ² x +1 = ctg² x + 1 =

tg x = ctg x =

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения :

Cos (a –b) =cos a*cos b + sin a *sin b

Cos (a+ b) =cos a * cos b – sin a * sin b

Sin ( a+ b ) = sin a * cos b +cos a * sin b

Sin ( a –b ) = sin a * cos b – cos a * sin b

tg ( a + b ) =

tg ( a – b) =

Из формул сложения путем вывода получаем формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

Для запоминания формул приведения удобно пользоваться мнемоническим правилом :

• перед приведенной функцией ставится тот знак , который имеет исходная функция, если 0а;

• если функция меняется на «кофункцию» ,если п нечетно ; функция не меняется, если п четно.( Кофункциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса называются соответственно косинус , синус, котангенс , тангенс.)

Ответьте на контрольные вопросы:

1.Запишите формулы приведения , формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного аргумента, формулы половинного аргумента.

2.Запишите знаки тригонометрических функций по четвертям.

3.Выразите в радианную меру величины углов :

• 45⁰ ; 36 ⁰; 180⁰ ; 150⁰ ; 310⁰ ; 360 ⁰; 72⁰ ; 270 ⁰

РАЗДЕЛ 3 .ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Мы считаем , что все углы измерены в радианной мере , и поэтому обозначение рад., как правило , опускается. Договорившись считать единицу измерения углов ( 1 радиан ) фиксированной , определяем , тригонометрические функции тригонометрического аргумента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции , заданные формулами у = sin x и у = cos x называются соответственно синусом и косинусом ( и обозначаются sin . cos )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Числовые функции, заданные формулами у = tg x и у = ctg x , называются соответственно тангенсом и котангенсом ( и обозначаются tg x и ctg x)

На основании теоремы (о корне) и свойств монотонности тригонометрических функций определены понятия обратных тригонометрических функций.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арксинусом числа а называется такое число из отрезка , синус которого равен а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка , косинус которого равен числу а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка тангенс которого равен числу а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Арккотангенсом числа а называется такое число их отрезка котангенс которого равен числу а.

ПРИМЕР : вычислите значения обратных тригонометрических функций

• arcsin 1 = , так как sin =1

• arcos , так как cos =

• arcos(-0.5)+arcsin ( -0.5) = - ==

• 2arcsin( - = 2(-

• arcsin(-1)-+3arccos(-

Выполните упражнение самостоятельно :

1.Вычислите :

• arctg(-

• 3arcsin

• arctg(-

• arccos

РАЗДЕЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Решение простейших тригонометрических уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Уравнения вида cos x =a sin x =a tg x = a ctg x = a называются простейшими тригонометрическими , при условии а уравнения sin x = a . cos x = a имеют корень, два других уравнения имеют корень при любом а.

Для решения тригонометрических уравнений существуют формулы корней.

№

Вид уравнения

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1

sin x = a

X=(-1)ⁿarcsin a +n , nR

2

cos x = a

X = -⁺arсcos a +2n , n R

3

tg x = a

X = arctg a + n , n R

4

ctg x = a

X = arcctg a +n , n R

1.Решить тригонометрические уравнения : ( образец )

а) cos x = -

x = ^-+ arcos (-.nR

x = ^-+

^b) cos

nR

2.Решите уравнения : ( самостоятельно )

• cos x=

• 2 cos x + = 0

• 

• Sin 2x =

• 2 cos (

• 2sin² x+ sin x -1 = 0

• 2 cos ² x + sin x + 1 =0

При решении тригонометрических уравнений нужно знать определение обратных тригонометрических функций , знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений ,уметь пользоваться таблицей элементарных значений тригонометрических функций.

РАЗДЕЛ 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ,ЛОГАРИФМИТИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: функция , заданная формулой У= а^х ( где а > 0, а≠1) ,называется показательной функцией с основанием а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Логарифмом числа в по основанию а называется показатель , в которую нужно возвести основание а , чтобы получить число в.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ :Функция ,заданную формулой У = Log_xa , называется логарифмической функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции ( их доказательство выходит за рамки общеобразовательной подготовки )

1.Область определения показательной функции есть множество всех действительных чисел.

2.Область значения показательной функции есть множество всех положительных действительных чисел.

3.При любых действительных значениях Х и У справедливы равенства :

• а^ха^у = а^х+у

• =а^х-у

• (ав )^х =а^х в^х

• (=

• (а^х)^у= а^ху

Решение простейших показательных , логарифмических уравнений и неравенств.

При решении простейших показательных уравнений используется определение показательной функции и ее основные свойства.

Решим уравнение :

1. 7^х-2 =

Приведем основание показательной функции правой части уравнения к числу 7, в результате преобразований получаем 7, данное уравнение после преобразований имеет вид 7^х-2 = 7, на основании свойства показательной функции имеем , что х-2 = , следовательно х = 2.

2. 5^х-2х-1 =25

Перепишем его в виде 5^х-2х-1 = 5² на основании свойства показательной функции имеем , что х² -2х-1 = 2. Приходим к квадратному уравнению , решаем его и получаем два действительных корня х =3 и х= -1 , следовательно корнями показательного уравнения являются числа 3 и -1.

При решении простейших логарифмических уравнений используются определения логарифма числа , понятие логарифмической функции , ее области определения и основные свойства логарифмической функции .

Решим уравнение :

1. Log ₂ (x²+4x+3 ) =3

По определению логарифма числа имеем х²+4х+3 = 2³ , получаем , что х²+4х+3 = 8 , или х²+4х +3 -8 = 0 , приводим подобные , получаем квадратное уравнение , решаем его и получаем два два действительных корня х =1 , х = -5 , следовательно корни логарифмического уравнения числа 1 и -5 .

2. Log (2x+3)=Log(x+1)

По свойству логарифмической функции имеем , что 2х+3=х+1 , решаем линейное уравнение и получаем , что х = -2 , которое не обращает данное уравнение в верное равенство.

При решении показательных неравенств используется понятие показательной функции . свойство монотонности показательной функции, свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.

Решим неравенство :

1. 0,5^7-3х , представим основание показательной функции в правой части неравенства в виде числа 0,5^-2 , перепишем неравенство с новым основанием

0,5 ^7-3х , исходя из того , что основание показательной функции число равное 0,5 следовательно показательная функция убывающая и это значит , что 7-3х решаем неравенство первой степени и получаем , что -3х -9 и х .Значит множество ( - ; 3 ) есть решением данного неравенства.

2. Решим неравенство :

6² при данном основании а =6 показательная функция возрастает ,а это значит, что х²+2х 2 или х² +2х -2 решая неравенство 2 степени , вычисляя нули функции получаем х =- 3 и х = 1, а это значит множество чисел ( -; -3 ) и ( 1; ) есть решение данного неравенства.

При решении логарифмических неравенств всегда используются свойство монотонности функции , свойства линейных неравенств и алгоритм их решения.

3. Решим неравенство :

1.log _(5-2x) 2 число -2 представим в виде логарифма числа -2 = log _1/39 .Поэтому данное неравенство можно записать в виде log _1/3( 5-2x ) log _1/3 9 .Логарифмическая функция с основанием 1/3 определена и убывает на множестве R₊ .Следовательно составляя систему из двух неравенств получаем : 5-2х и 5-2х , решаем данную систему и получаем , что х принадлежит множеству ( -2 ; 2,5 ).

РАЗДЕЛ 6 . Аксиомы и их простейшие следствия.

СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии , в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии , так же как и в планиметрии , свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем, При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в стереометрии являются точка , прямая и плоскость.

Группа аксиом состоит из трех аксиом.

С₁ Какова бы ни была плоскость , существуют точки принадлежащие этой плоскости, и точки , не принадлежащие ей.

С₂ Если две различные плоскости имеют общую точку , то они пересекаются по прямой , проходящей через эту точку.

С₃ Если две различные прямые имеют общую точку , то через них можно провести плоскость , и притом только одну.

Существует группа теорем , которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

ТЕОРЕМА15.3 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость , и при том только одну.

ТЕОРЕМА 15.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости , то вся прямая принадлежит этой плоскости .

ТЕОРЕМА 15.3 Через три точки, не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну .

При изучении данного раздела вы должны знать аксиомы стереометрии и уметь доказывать теоремы ( следствия из аксиом стереометрии).

РАЗДЕЛ 7 . ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.

В пространстве существует несколько видов расположения прямых : пересекающие , параллельные , скрещивающиеся.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямые , которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости , называются скрещивающимися.

Теорема 16.1 доказывает свойства параллельности прямых :

Через точку вне данной прямой можно провести прямую , параллельную этой прямой , и притом одну.

Так же существует признак параллельности прямых .

ТЕОРЕМА 16.2 Две прямые , параллельные третьей прямой , параллельны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : прямая и плоскость называются параллельными , если они не пересекаются.

А теорема 16.3 является признаком параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не принадлежащая плоскости , параллельна какой–нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА 16.4 Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

На ряду с этим вы должны уметь доказывать теоремы о существовании плоскости , параллельной данной плоскости.

ТЕОРЕМА 16.5 Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость , параллельную данной , и притом только одну.

Нужно так же отметить о существовании свойств параллельных плоскостей это следующие утверждения :

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей , то прямые пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых , заключенные между двумя параллельными плоскостями ,равны.

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Атанасян Л.С. Геометрия (10-11) – М., Просвещение, 1994.

2. Афанасьева О.Н., Бродкий Я.С., Гуткин И.И., Павлов АЛ. Cборник задач по математике для

техникумов. – М.: Наука, 1987.

3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

4. Колмогоров А. Н. Абрамов А. М. и др. Алгебра и начала анализа (10 – 11) – М., Просвещение, 1995

5. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.1. – М., Наука, 1987.

6. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа./ под ред. Яковлева Г.Н. Ч.2. – М., Наука, 1988.

7. Математика для техникумов. Геометрия./ под ред. Яковлева Г.Н. – М., Наука, 1989.

8. Погорелов А.В. Геометрия (7 – 11) – М. Просвещение, 1997.

9. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др.– 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.

Дополнительная

1. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С. , Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1991

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1997.

1 Упростите выражение 4 sin²α + 5 – 4cos²α

1) 1

2) 9

3) 5 + 4cos2α

*4) 5 - 4cos2α

2 Решите неравенство:

1) [3:+)

2) (-: 1]

*3) [1 : +)

4) R

3 Найдите корень уравнения

*1) 5

2) 1/3

3) ø

4) -2

4 Решите уравнение tg x = 1

1) +n

*2) n

3) ø

4) R

5 Упростите выражение (2а ^0,3) ³ + 3а ^0,9

*1) 11а ^0,9

2) 5а ^2,7

3) 5а ^0,9

4) 11а ^2,7

6 Найдите область определения функции у=log₂х²

*1) (-: + )

2) (0: 1)

3) (-:1)

4 ) (1: + )

7 Найдите значение выражения log₂36 – log₂144

1) -4

2) 4

*3) -2

4) 2

8 Найдите значение выражения log_1/22 + log_1/216

*1) -5

2) 5

3) 0

4)

9 Найдите корень уравнения log₂(х-1)=4

*1) 17

2) -

3) -17

4) ø

10 Найдите значение выражения

*1)

2)

3) 7

4) -7

11 Найдите корень уравнения 2sinх – 1 =0

*1)

2) n

3)

4)

12 Найдите корень уравнения lg(3x-2) = lg4

1) - ½

*2) 2

3) ø

4) R

13 Решите неравенство

1) R

*2) (- : ½)

3) ( ½ : +)

4) (0 : ½)

14 Формула sin2α

1) sin α ∙ cos α

2) 2sin α

*3) 2sin α ∙ cos α

4) cos² α

15 Стереометрия –это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются на

1) плоскости

2) прямой

*3) пространстве

4) треугольнике

16 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести …, и притом только одну

*1) плоскость

2) прямую

3) треугольник

4) окружность

17 Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются

*1) скрещивающиеся

2) параллельными

3) перпендикулярными

4) пересекающимися

18 Две прямые, параллельные третьей прямой, …

1) равны

*2) параллельны

3) перпендикулярны

4) не пересекаются

19 Упростите выражение 1 – sin²t

*1) cos²t

2) sin2t

3) cos2t

4) tg²t

20 Вычислите

1) 7

*2) 10

3) -10

4) 1/10

21Вычислите log₂2⁴

1) ¼

2) -2

3) 2

*4) 4

22 Найдите значение числового выражения

1) -32

*2) 32

4) 4

4) -4

23 Какая из перечисленных функций показательная

*1) 2^х

2) х⁴

3) sin x

4) log₂x

24 Какая функция четная

1) sin x

*2) cos x

3) a ^x

4) log_ax

25 Упростите выражение 6-6sin ²+6cos²

1) 6

2) 12cos²

*3) 6+6cos²

4) 0

26 Решите неравенство:

1)[3:+)

*2)(- :+3]

3)[9:+ )

4)R

27 Найдите корень уравнения: =3-х

*1) 2,5

2) -2,5

3) ø

4) 2

28 Решите уравнение:ctg x=1

*1)

2)

3) ø

4) - +

29 Найдите значения выражения : в ^2,5: в ^-0,5 при в=

1)

2)

3) 36

*4) 6

30 Найдите область определения функции у=log(х-1)

1. R

*2)

3. (-2;3)

4)

31 Найдите значения выражения 5sin²+2,2-5cos².если10 sin²=3

1. 4

2. 3

3. 2,8

*4) 0,2

32 Найдите значения выражения : log3+ log27

*1) – 4

2) 4

3) 1/4

4. -1/4

33 Найдите корень уравнения log(х-2)= -4

*1) 18

2. –18

3. 

4. ø

34 Найдите значение выражения 9^log₉

*1)

2)

3) 9

5. –9

35 Найдите корень уравнения 2cos х-1=0

*1) +2n

2) 2n

3) ø

5. (-1)ⁿ +

36 Найдите корень уравнения lg(3х-2)=1

*1) 4

2) -

3) -4

4) ø

37 Решите неравенство

1)

2)

*3)

4) R

38 Формула cos, есть выражение

*1)

2)

3)

4)

39 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести..., и притом только одну.

1) прямую

2) угол

3) трапецию

*4) плоскость

40 Две прямые в пространстве называются ..., если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

1) перпендикулярными

*2) параллельными

3) пересекающимися

4) скрещивающимися

41 Через точку вне данной прямой можно провести …, параллельную этой прямой, и притом только одну

1) плоскость

2) угол

*3) прямую

4) многоугольник

42 Две прямые называются перпендикулярными если, они пересекаются под углом

1) 180

2) 45

*3) 90

4) 270

43 Упростите выражение

1)

*2) 2

3)

4) -1

44 Вычислите

*1) 8

2)

3) 5

4) 3

45 Вычислите ₈8^-2

1) -8

2) 8

3) 2

*4) -2

46 Найдите значения числового выражения

1) -7

*2) 7

3)

4) -

47 Какая из перечисленных функций степенная

1)

2)

3) sin2х

*4)

48 Какая функция нечетная

*1) tg^х

2) х²

3) х²+2

4) 2х²+4

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ