Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к решению задач по атомной физике

для студентов физического факультета

Ростов-на-Дону

2006

Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.

Ответственный редактор канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев

Компьютерный набор и верстка инженер Г.А. Колесников

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Закон Стефана - Больцмана

,

где R_е – энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура;  - постоянная Стефана – Больцмана.

• Энергетическая светимость серого тела в классическом приближении

,

где  – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

• Закон смещения Вина

,

где _m – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b -постоянная закона смещения Вина.

• Энергия фотона

или ,

где h – постоянная Планка; ;  – частота излучения;  – циклическая частота;  – длина волны.

• Формула Планка для спектральной плотности энергии

,

где – спектральная плотность энергетической светимости черного тела;  – круговая частота; с – скорость света в вакууме; к – постоянная Больцмана; – постоянная Планка.

• Формула Эйнштейна для фотоэффекта

,

где  – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Е_max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

• Коротковолновая граница _min сплошного рентгеновского спектра

,

где – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; е – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.

• Давление производимое светом при нормальном падении,

или ,

где E_e – облученность поверхности; с – скорость электромагнитного излучения в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения;  – коэффициент отражения.

• Изменение длины волны  фотона при рассеянии его на свободном электроне на угол 

,

где m – масса покоя электрона отдачи; с – скорость света в вакууме; – комптоновская длина волны.

Задача №1

Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны  = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Энергетическая светимость R черного тела выражается формулой Стефана – Больцмана

.

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина

.

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана – Больцмана, получим

.

Произведя вычисления по этой формуле, получим R_e = 64 МВт/м².

Поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости R на площадь поверхности солнца S

,

где R_C = радиус Солнца. Подставляя в последнюю формулу численные значения, получим Ф_е = 3,910²⁶ Вт.

Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии

.

С другой стороны, энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф_е (мощности излучения) на время

.

Отсюда

.

Произведя вычисления, получим m = 4,310⁹ кг.

Задача №2

Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:

,

где а = 7,6410^-12 Кс. Найти с помощью этой формулы при Т = 2000 К: а) наиболее вероятную частоту _вер длину _вер излучения; б) средние значения частоты <>.

Наиболее вероятную частоту излучения ω найдем из условия

.

Отсюда

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения ω = 0 , ω = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение , обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения _вер

.

Откуда =7,810¹⁴ с^-1.

2. Поскольку связь функций и имеет следующий вид:

,

то в нашем случае

.

Наиболее вероятную длину волны излучения найдем из условия

.

Тогда

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 , λ = ∞ соответствуют минимумам функции . Значение λ, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения λ _вер.

=> =2,40 мкм.

Среднее значение частоты излучения определяется следующим выражением

.

Интегралы, стоящие как в числителе последней дроби, так и в знаменателе сводятся к следующему табличному интегралу:

.

Тогда

=1,0510¹⁴ с^-1.

Задача №3

Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению: а) по линейным частотам; б) по длинам волн.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется следующим выражением:

, (1)

где – функция спектрального распределения энергии излучения, определяемая формулой Планка

. (2)

Чтобы получить распределение по линейным частотам произведем в (1) замену переменных с учетом того, что

.

Тогда

,

,

отсюда

.

Аналогичным образом поступим, чтобы найти распределение по длинам волн. Поскольку

,

то

,

,

отсюда

.

Задача №4

Получить приближенные выражения формулы Планка при << и >> .

Рассмотрим первый случай, когда << . Отсюда

<< 1.

Тогда мы можем воспользоваться следующим тождеством

,

откуда

.

Подставляя полученное выражение в формулу Планка, получим

.

Полученное выражение представляет собой закон Рэлея – Джинса.

Рассмотрим теперь случай, когда >> . В этом случае единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь т.к.

>> 1.

Отсюда

.

Полученное выражение совпадает с законом Вина (см. задачу №2). Здесь

, .

Задача №5

Определить максимальную скорость фотоэлектронов v_max, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны ₁ = 0,155 мкм; 2)  – излучением с длиной волны ₂ = 2,47 пм.

Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

. (3)

Энергия фотона вычисляется по формуле

.

Работа выхода электрона для серебра равна А = 4,7 эВ.

Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле

(4)

или по релятивистской

. (5)

Если энергия фотона  много меньше энергии покоя электрона Е₀, то может быть применена формула (4); если же  сравнима по размеру с Е₀, то вычисление по формуле (4) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо вычислять по формуле (5).

Для ультрафиолетового излучения с длиной волны ₁ = 0,155 мкм энергия фотона равна ₁ = 8 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае формула (4) справедлива, откуда

= 1,0810⁶ м/c.

В случае  – излучения с длиной волны ₂ = 2,47 пм энергия фотона равна ₁ = 0,502 МэВ, тогда работой выхода электрона (А = 4,7 эВ) можно пренебречь и можно принять, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна энергии фотона. Т.к. в данном случае энергия покоя электрона сопоставима с энергией фотона, то для вычисления скорости фотоэлектрона необходимо воспользоваться релятивистской формулой для кинетической энергии

,

где . Произведя математические преобразования, получим

.

Тогда максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых  – излучением равна

= 22610⁶ м/c.

Задача №6

До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны  = 200 нм.

При облучении шарика ультрафиолетовым излучением с длиной волны , из него будут выбиваться электроны с максимальной кинетической энергией Е_max, причём электроны будут покидать шарик до тех пор, пока энергия электростатического взаимодействия (притяжения) W не станет равной максимальной кинетической энергии фотоэлектронов Е_max,т. е.

W = Е_max.

Максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов найдем из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта

,

где A_Zn – работа выхода электрона для цинка. Отсюда

.

Поскольку

,

где е – заряд электрона,  – потенциал шарика, то

.

Отсюда

=2,74 В.

Задача №7

Определить красную границу _кр фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом с длиной волны  = 400 нм максимальная скорость v_max фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с..

При облучении светом, длина волны которого _кр соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна в этом случае будет иметь вид

или ,

где А_Cs – работа выхода электрона из цезия. Отсюда

. (6)

Чтобы получить работу выхода электрона из цезия воспользуемся уравнением Эйнштейна в виде

. (7)

Подставляя (7) в (6), получим

.= 651 нм.

Задача №8

После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в  = 2,0 раза первоначальная длина волны ₀ коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на  = 50пм. Найти ₀.

Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется выражением:

,

где V – напряжение на рентгеновской трубке; а – некоторая постоянная, то при увеличении напряжения на рентгеновской трубке длина волны рентгеновского излучения будет уменьшаться. Тогда

и .

Разделив второе равенство на первое, получим

.

Отсюда находим

.

Задача №9

Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что зеркальное отражение узкого пучка ее излучения от естественной грани монокристалла NaCl наблюдается при уменьшении угла скольжения вплоть до  = 4,1. Соответствующее межплоскостное расстояние d = 281 пм.

Согласно закону Вульфа – Брэгга

, (8)

где d – межплоскостное расстояние,  – угол дифракции (брэгговский угол или угол, под которым наблюдается максимум отраженного от кристалла рентгеновского пучка),  – длина волны падающего рентгеновского излучения, n – порядок дифракции (в данном случае n = 1).

Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется следующим выражением:

,

где V – напряжение на рентгеновской трубке. Подставляя последнее выражение в (8), получим

.

Отсюда

.

Подставляя в последнее выражение численные значения, получим V = 31 кВ.

Задача №10

Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ падает на рассеивающее вещество. Найти λ, если длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами ₁ = 60° и ₂ = 120°, отличаются друг от друга в  = 2,0 раза.

Изменение длины волны фотона при его рассеивании на свободном электроне равно

, (9)

где – комптоновская длина волны электрона. Тогда формула (9) для случаев рассеяния на углы ₁ и ₂ примет соответственно следующий вид:

,

.

По условию задачи

,

отсюда

.

Используя тригонометрическое тождество , получим

.

Отсюда

.

Подставляя в последнее выражение численные значения получим  = 1,2 пм.

Задача №11

Фотон с энергией Е = 0,75 Мэв рассеялся на свободном электроне под углом  = 60. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить : а) энергию Е рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона отдачи; в) направление его движения.

Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

.

Выразив длины волн  и  через энергии Е и Е соответствующих фотонов, получим

.

Разделив обе части полученного равенства на , получим

. (10)

Отсюда

.

Подставив численные значения величин, получим Е = 0,43 МэВ.

Кинетическая энергия электрона отдачи Е_к, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона Е и энергией рассеянного фотона Е:

МэВ.

Направление движения электрона отдачи можно определить воспользовавшись законом сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона и электрона отдачи :

.

Векторная диаграмма импульсов показана на рис.1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол  определяет направление движения электрона отдачи.

Из треугольника OCD находим

Рис.1

Или

Так как и , то

. (11)

Из (10) следует, что

. (12)

Заменяя в (11) отношение Е/E по формуле (12), получим

.

Учитывая, что

и ,

получим

.

Подставив численные значения, получаем , откуда  = 35

Задача №12

Пучок монохроматического света с длиной волны  = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток энергии Ф_е = 0,6 Вт. Определите силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов N, падающих на нее за время t =5с.

Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:

.

Световое давление может быть найдено по формуле

.

Тогда

. (13)

Поскольку произведение облученности поверхности Е_е на площадь поверхности S равно потоку Ф_е энергии излучения, падающего на поверхность, то (13) можно переписать в виде

.

После подстановки численных значений и с учетом того, что  = 1 (поверхность зеркальная), получим F = 4 нН.

Число фотонов, падающих за время t на поверхность, определяется по формуле

,

где W – энергия получаемая поверхностью за время t, – энергия одного фотона. Отсюда

=10¹⁹ фотонов.

Задача №13

Параллельный пучок света с длиной волны  = 500 нм падает нормально на зачерненную плоскую поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n₁ фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1с.

Концентрация фотонов в пучке n может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию одного фотона 

. (14)

Из формулы, определяющей давления света

,

выразим w и, подставив в (14), получим

Поскольку энергия одного фотона определяется выражением

,

то

Коэффициент отражения  для зачерненной поверхности равен нулю. Тогда подставляя численные значения, получаем n = 2,5210¹³ м^-3.

Число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1с найдем из соотношения

,

где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но так как

,

следовательно

.

После подстановки численных значений, получаем = 7,5610²¹ м^-2с^-1.

Задача №14

Лазер излучает в импульсе длительностью  = 0,13 мс узкий пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее за время  давление такого пучка света, если его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10мкм на поверхности, перпендикулярной пучку, с коэффициентом отражения  = 0,5.

Так как давление света определяется выражением

,

а произведение облученности поверхности Е_е на площадь поверхности S равно потоку Ф_е энергии излучения, падающего на поверхность, то

.

Поток Ф_е энергии излучения, падающего на поверхность равен

,

тогда с учетом того, что

,

получим

.

Подставляя численные значения, получим р = 5 МПа  50 атм.

ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Постоянная Планка

Скорость света в вакууме

с = 2,99810⁸ м/c

Масса электрона

Заряд электрона

Электрическая постоянная

_o = 8,8510^-12 Ф/м

1/4_o=910⁹ м / Ф

Постоянная Стефана - Больцмана

 = 5,6710^-8 Вт/(м² К⁴)

Постоянная закона смещения Вина

b = 2,9010^-3 мК

Постоянная Больцмана

ЛИТЕРАТУРА

1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.

2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.

3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк., 2006. – 591с.

4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.

5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.

6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.

7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –271с.