По кругу записаны 77 натуральных чисел.

[email protected] в категроии Математика, вопрос открыт 24.03.2018 в 23:54

Известно, что если у двух чисел есть общий сосед (то есть, между ними расположено ровно одно число), то одно из них делится на другое. Докажите, что найдутся два числа, у которых нет общего соседа, но при этом одно из них делится на другое.

1 ответ

Евгения , ответ добавлен 25.03.2018 в 00:06

Смотри,напишу подробно
Пройдём  по  кругу,  шагая  через  одно  число. Из-за  нечётности,  пройдя  круг первый  раз,  мы  число,  с  которого  начали,  пропустим.  Но  продолжая,  к  концу  второго круга мы за 77 шагов «наступим»на каждое из чисел ровно по разу и вернёмся на число, с которого начали. Шагая с числа aна число b, мы перешагиваем через их общего соседа. Поэтому  одно  из  чисел aи bделится  на  другое.  Значит,  каждый  раз  мы  шагаем  с некоторого  числа  либо  на  его  делитель,  либо  на  его  кратное.  Поскольку  общее  число шагов  нечётно,  мы  не  можем  каждый  раз  чередоваться:  на  делитель,  на  кратное,  на делитель...  Найдутся  два  однотипных  шага  подряд.  Можно  считать,  что  мы  два  раза подряд  шагнули  на  делитель  (иначе  пройдём  в  обратную  сторону).  Итак, нашлись  5 подряд записанныхчисел a, b, c, d, eтаких, что сделитель a, а eделитель с. Но тогда e–делитель a, и у них нет общего соседа, что и требовалось.

 0   

Оставлять ответы могут только авторизированные пользователи.
Зарегистрируйтесь или  авторизируйтесь на сайте чтобы оставить ответ на вопрос.