По кругу записаны 77 натуральных чисел.
[email protected] в категроии Математика, вопрос открыт 24.03.2018 в 23:54
Известно, что если у двух чисел есть общий сосед (то есть, между ними расположено ровно одно число), то одно из них делится на другое. Докажите, что найдутся два числа, у которых нет общего соседа, но при этом одно из них делится на другое.
1 ответ
Евгения , ответ добавлен 25.03.2018 в 00:06
Смотри,напишу подробно
Пройдём по кругу, шагая через одно число. Из-за нечётности, пройдя круг первый раз, мы число, с которого начали, пропустим. Но продолжая, к концу второго круга мы за 77 шагов «наступим»на каждое из чисел ровно по разу и вернёмся на число, с которого начали. Шагая с числа aна число b, мы перешагиваем через их общего соседа. Поэтому одно из чисел aи bделится на другое. Значит, каждый раз мы шагаем с некоторого числа либо на его делитель, либо на его кратное. Поскольку общее число шагов нечётно, мы не можем каждый раз чередоваться: на делитель, на кратное, на делитель... Найдутся два однотипных шага подряд. Можно считать, что мы два раза подряд шагнули на делитель (иначе пройдём в обратную сторону). Итак, нашлись 5 подряд записанныхчисел a, b, c, d, eтаких, что сделитель a, а eделитель с. Но тогда e–делитель a, и у них нет общего соседа, что и требовалось.
0
Зарегистрируйтесь или авторизируйтесь на сайте чтобы оставить ответ на вопрос.