Задача № 1

Имеются следующие выборочные данные ( выборка 10 % - тная, механическая ) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб:

№

предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

№ предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

1

65

15.7

16

52

14,6

2

78

18

17

62

14,8

3

41

12.1

18

69

16,1

4

54

13.8

19

85

16,7

5

66

15.5

20

70

15,8

6

80

17.9

21

71

16,4

7

45

12.8

22

64

15

8

57

14.2

23

72

16,5

9

67

15.9

24

88

18,5

10

81

17.6

25

73

16,4

11

92

18.2

26

74

16

12

48

13

27

96

19,1

13

59

16.5

28

75

16,3

14

68

16.2

29

101

19,6

15

83

16.7

30

76

17,2

По исходным данным :

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли : среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

3. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.

4. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение :

1. Сначала определяем длину интервала по формуле :

е=(х_max – x_min)/k,

где k – число выделенных интервалов.

е=(19,6 – 12,1)/5=1,5 млн.руб.

12,1-13,6; 13,6-15,1; 15,1-16,6; 16,6-18,1; 18,1-19,6.

Распределение предприятий по сумме прибыли.

№ группы

Группировка предприятий по сумме прибыли

№ предприятия

Прибыль

I

12,1-13,6

3

12,1

7

12,8

12

13

II

13,6-15,1

4

13,8

8

14,2

16

14,6

17

14,8

22

15

III

15,1-16,6

1

15,7

5

15,5

9

15,9

13

16,5

14

16,2

18

16,1

20

15,8

21

16,4

23

16,5

25

16,4

26

16

28

16,3

IV

16,6-18,1

2

18

6

17,9

10

17,6

15

16,7

19

16,7

30

17,2

V

18,1 -19,6

11

18,2

24

18,5

27

19,1

29

19,6

2. Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу :

Группы предприятий по сумме прибыли; млн.руб

Число предприятий

f

Середина интервала

Х

xf

X²f

12,1 – 13,6

3

12,9

38,7

499,23

13,6 – 15,1

5

14,4

72

1036,8

15,1 – 16,6

12

15,9

190,8

3033,72

16,6 – 18,1

6

17,4

104,4

1816,56

18,1 – 19,6

4

18,9

75,6

1428,84



30

------

481,5

7815,15

Средняя арифметическая : =  xf /  f

получаем : = 481,5 : 30 = 16,05 млн.руб.

Среднее квадратическое отклонение :

получаем :

Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации)

Коэффициент вариации : _х = (_х * 100%) / x

получаем : _х =1,7 * 100% : 16,05 = 10,5%

так как _х = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика.

2. Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле :

если Р=0,954 то t=2

ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие х = 0,6

Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :

получаем : 15,45X 

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах :

2. Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :

Выборочная доля составит :

Ошибку выборки определяем по формуле :

,где N – объем генеральной совокупности.

Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий:

30 предприятий – 10%

Х – 100%

10х=3000

х=300 предприятий, следовательно N=300

подставляем данные в формулу :

Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах:

33% или 16,7 49,3%

Задача № 2

по данным задачи №1

1. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.)

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле :

Где К – число выделенных интервалов.

Получаем :

В итоге у нас получаются следующие интервалы :

41 – 53; 53 – 65; 65 – 77; 77 – 89; 89 – 101

Строим рабочую таблицу.

№ группы

Группировка предприятий по объему продукции, млн.руб.

№ предприятия

Выпуск продукции

млн.руб

Х

Прибыль млн.руб.

У

У²

I

41-53

3

41

12,1

146,41

7

45

12,8

163,84

12

48

13

169

16

52

14,6

213,16



4

186

52,5

692,41

В среднем на 1 предприятие

46,5

13,1

II

53-65

1

65

15.7

264.49

4

54

13.8

190,44

8

57

14.2

201,64

13

59

16.5

272,25

17

62

14.8

219,04

22

64

15

225



6

361

90

1372,86

В среднем на 1 предприятие

60,1

15

III

65-77

5

66

15,5

240,25

9

67

15,9

252,81

14

68

16,2

262,44

18

69

16,1

259,21

20

70

15,8

249,64

21

71

16,4

268,96

23

72

16,5

272,25

25

73

16,4

268,96

26

74

16

256

28

75

16,3

265,69

30

76

17,2

295,84



11

781

178,3

2892,05

В среднем на 1 предприятие

71

16,2

IV

77-89

2

78

18

324

6

80

17,9

320,41

10

81

17,6

309,76

15

83

16,7

278,89

19

85

16,7

278,89

24

88

18,5

342,25



6

495

105,4

1854,2

В среднем на 1 предприятие

82,5

17,6

V

89-101

11

92

18,2

331,24

27

96

19,1

364,81

29

101

19,6

384,16



3

289

56,9

1080,21

В среднем на 1 предприятие

96,3

18,9



ИТОГО

2112

483,1

В среднем

71,28

16,16

Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:

Группы предприятий по объему продукции, млн.руб

Число пр-тий

Выпуск продукции, млн.руб.

Прибыль, млн.руб

Всего

В среднем на одно пр-тие

Всего

В среднем на одно пр-тие

41-53

4

186

46,5

52,5

13,1

53-65

6

361

60,1

90

15

65-77

11

781

71

178,3

16,2

77,89

6

495

82,5

105,4

17,6

89-101

3

289

96,3

56,9

18,9



30

2112

356,4

483,1

80,8

По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

2. Строим расчетную таблицу :

Группы предприятий по объему продукции, млн.руб

Число пр-тий

f_k

Прибыль, млн.руб

(у_k-у) ² f_k

у²

Всего

В среднем на одно пр-тие

Y_k

41-53

4

52,5

13,1

36

692,41

53-65

6

90

15

7,3

1372,86

65-77

11

178,3

16,2

0,11

2892,05

77,89

6

105,4

17,6

13,5

1854,2

89-101

3

56,9

18,9

23,5

1080,21



30

483,1

80,8

80,41

7891,73

Вычисляем коэффициент детерминации по формуле :

Где - межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле :

• общая дисперсия результативного признака, находится по формуле :

Теперь находим

Для каждой группы предприятий рассчитаем значение

и вносим в таблицу.

Находим межгрупповую дисперсию :

Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать :

где - количество предприятий и

получаем :

Рассчитываем общую дисперсию :

получаем :

Вычисляем коэффициент детерминации :

получаем : , или 70,3 %

Следовательно, на 70,3 % вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7 % зависит от неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составляет :

Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли.

Задача № 3

Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб. :

Год.

Показатель.

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

Капитальные вложения всего :

В том числе

136,95

112,05

84,66

74,7

62,3

производственного назначения

97,35

79,65

60,18

53,10

41,40

непроизводственного назначения

39,6

32,4

24,48

21,6

20,9

Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите :

1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста ( цепные и базисные ) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице.

2. Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения :

а) средний уровень ряда динамики;

б) среднегодовой темп роста и прироста.

3. Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

4. Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год.

5. Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы.

Решение :

Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным.

1. Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу :

Для расчета базисного прироста используем формулу :

Для расчета темпа роста цепной используем формулу :

Для расчета темпа роста базисной используем формулу :

Для расчета темпа прироста цепной используем формулу :

Для расчета темпа прироста базисной используем формулу :

Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели :

Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений.

Показатели

Год

у_ц

_{млрд.руб}

у_б

_{млрд.руб}

Т_ц

_{млрд.руб}

Т_б

_{млрд.руб}

Т_ц

_%

Т_б

_%

1-й

-----

-----

-----

1

-----

-----

2-й

-24,9

-24,9

0,81

0,81

-19%

-19%

3-й

-27,39

-52,29

0,75

0,62

-25%

-38%

4-й

-9,96

-62,25

0,88

0,54

-12%

-46%

5-й

-12,4

-74,65

0,83

0,45

-17%

-55%

По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению.

2. а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу :

Для общего объема капитальных вложений :

Производственного назначения :

Непроизводственного назначения :

б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам :

Среднегодовой темп роста :

для общего объема капитальных вложений :

производственного назначения :

непроизводственного назначения :

Среднегодовой темп прироста :

для общего объема капитальных вложений :

(следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.)

производственного назначения :

(следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%)

непроизводственного назначения :

(следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%)

3. Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы :

Подставив соответствующие значения получим :

Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд. руб. и составит сумму от43,6 млрд. руб. до 51 млрд. руб.

4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой.

Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов.

Показатели

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й



Кап. вложения

136,95

112,05

84,66

74,7

62,3

470,66

t

-2

-1

0

1

2

0

y*t

-273,9

-112,05

0

74,7

124,6

-186,65

t²

4

1

0

1

4

10

Уравнение прямой имеет вид : y(t)=a+bt,

а = 470,66 : 5 = 94,1 b = -186,65 : 10 = -18,7

уравнение имеет вид : y(t) = 94,1 – 18,7 t

По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению.

Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов :

• значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста.

• значение нижней границы выявлено следующим образом : в уравнение прямой y(t) = 94,1 - 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит t_усл= 3

• прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста.

Задача № 4

Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли :

Предприятие

Реализовано продукции

тыс. руб.

Среднесписочная численность рабочих, чел.

1 квартал

2 квартал

1 квартал

2 квартал

I

540

544

100

80

II

450

672

100

120

Определите :

1. Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия.

2. Для двух предприятий вместе :

1. индекс производительности труда переменного состава;

2. индекс производительности труда фиксированного состава;

3. индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда;

4. абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий ) в результате изменения :

1. численности рабочих;

2. уровня производительности труда;

3. двух факторов вместе.

Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями.

Решение :

1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V₀, а во втором как V₁ и среднесписочную численность как S₀ и S₁.

Предприятие

V0=W0*S0

Тыс. руб.

V1=W1*S1

Тыс. руб.

S0

Чел.

S1

Чел.

W0=V0:S0

Руб.

W1=V1:S1

Руб.

Iw=W1:Wo

Руб.

W0S0

D0=S0:T0

Чел

D1=S1:T1

Чел

W0D0

W1D1

W0D1

I

540

544

100

80

5,4

6,8

1,3

432

0,5

0,4

2,7

2,72

2,16

II

450

672

100

120

4,5

5,6

1,2

540

0,5

0,6

2,25

3,36

2,7



990

1216

200

200

972

1

1

4,95

6,08

4,86

2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава используем следующую формулу :

получаем : J_w=6,08 : 4,95=1,22

Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов :

1. изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий;

2. изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности.

(б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу :

получаем :

Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре.

(в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу :

получаем : J_w(d)=4,86 : 4,95 = 0,98

Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой :

получаем : J_w=6,08 : 4,95=1,22

(г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов :

• численность рабочих :

 q(S) = (S₁-S₀)W₀

получаем : q(S) = (80 – 100) * 5,4 = -108

• уровень производительности труда :

q(W) = (W₁-W₀)S₁

получаем : q(W) = (6,8 – 5,4) * 80 = 112

• обоих факторов вместе :

q = q(S) +q(W)

получаем : q = -108 + 112 =4

Вывод : Поскольку индекс производительности труда переменного состава равен 1,22 или 122%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 22%. Индекс производительности труда фиксированного состава равен 1,25 или 125%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 25%. Индекс структурных сдвигов равен 0,98 или 98%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям снизилась на 2% за счет изменения структуры.

При условии, что произошедшие изменения производительности труда не сопровождались бы структурными перераспределениями среднесписочной численности рабочих в 1-м и 2-м квартале, то средняя производительность труда по двум предприятиям возросла бы на 25%. Изменение численности рабочих привело к снижению производительности труда на 2%. Но одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю производительность труда по двум предприятиям на 22%.

Задача № 5

Средние запасы материала на предприятии, составившие в первом квартале 200 м², сократились во втором на 30%. При этом, если ранее расход материала в среднем за сутки составлял 40 м²,то теперь он снизился до 32 м².

Определите :

1. За каждый квартал :

а) коэффициенты оборачиваемости производственных запасов;

б) продолжительность одного оборота в днях;

в) относительные уровни запасов (коэффициенты закрепления)

2. За второй квартал в сравнении с первым :

а) ускорение (замедление) оборачиваемости запасов в днях;

б) величину среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости.

Решение :

1. (а) Для расчета коэффициента оборачиваемости производственных запасов

используем формулу :

Для нахождения средних запасов во втором квартале мы воспользуемся данными задачи :

СЗ₀ = 200

i_сз =1 - 0,3 = 0,7

СЗ₁ = ?

СЗ₁ = i_сз * СЗ₀ =0,7 * 200 = 140 кв.м.

Коэффициент оборачиваемости за I квартал :

40*90=3600 кв.м. – квартальный расход материалов.

К_обор= 3600 : 200 = 18 оборотов.

Коэффициент оборачиваемости за II квартал :

32*90=2880 кв.м. – квартальный расход материалов.

= 2880 : 140 = 20,6 оборотов.

(б) Для расчета продолжительности одного оборота в днях используем формулу :

Д = Период : К_обор

В 1-ом квартале : Д = 90 : 18 = 5 дней.

Во 2-ом квартале : Д = 90 : 20,6 = 4,37 дней.

(в) Для расчета относительных уровней запасов (коэффициент закрепления) воспользуемся формулой :

К_закреп= Средние запасы за период : Расход материала за период.

В 1-ом квартале : К_закреп= 200:3600=0,055 кв.м. запасов на 1 руб расход. матер.

Во 2-ом квартале : К_закреп= 140:2880=0,0486 кв.м. запасов на 1 руб расход. матер.

2. (а) Для расчета ускорения (замедления) оборачиваемости запасов в днях используем формулу :

Д_отч. - Д_баз.=если знак « - » то произошло ускорение оборачиваемости.

« + » то произошло замедление оборачиваемости.

Произведем вычисления : 4,37 – 5 = -0,63 дня, следовательно произошло ускорение оборачиваемости.

(б) Для расчета величины среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости используем следующие формулы :

Произведем вычисления :

Аналитическая таблица.

Средние запасы материала на предпр.

Расход матер. в среднем за сутки.

Коэф. оборач запасов.

Продолж. одного оборота в днях.

Коэф. закр.

запасов

Ускор. Или замедл обор вдня

Величина среднего запаса.

I кв.

200

40

18

5

0,055

-0,63

-20 кв.м.

II кв.

140

32

20,6

4,37

0,0486

Вывод : При условии что оборачиваемость производственных запасов не изменится, то во 2-ом квартале расход материалов составит 2880 кв.м., но в следствие того, что оборачиваемость возросла ( 20,6 : 18 = 1,144) на 14,4% то производственных запасов понадобилось на 20 кв.м. меньше.

Список использованной литературы.

• « Общая теория статистики » Учебник М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. Москва «Инфра-М» 1998г.

• « Теория статистики » В.М. Гусаров. Москва «Аудит» « ЮНИТИ» 1998г.

• « Теория статистики » Учебник под редакцией профессора Р.А. Шамойловой. Москва «Финансы и статистика» 1998г.

11 / IV / 2000 г.