СОДЕРЖАНИЕ

1. Задание.

2. Расчетно-пояснительная записка.

3. Аннотация.

4. Ведение.

5. Теория.

6. Алгоритмы.

7. Программы.

8. Инструкция пользователя.

9. Результаты экспериментов.

10. Заключение.

ЗАДАНИЕ

1. Выписать систему конечно-разностных уравнений.

2. Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала. Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.

3. Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:

1. Исключения Гаусса,

2. Итерационного метода Якоби,

3. Итерационного метода Гаусса-Зейделя.

4. Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.

4. Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.

АННОТАЦИЯ

В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения линейных систем, возникающих в краевых задачах для дифференциальных уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя. Каждый из методов был представлен в виде самостоятельной программы, которая имеет инструкцию для пользователя. Каждая программа работает по определенному управлению, причем программа Гаусса формирует матрицу сама, а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя вводится только количество точек на интервал, исходя из чего формируется столбец неизвестных членов. Начальные значения неизвестных задаются автоматически на основе результатов, полученных в ходе исследования были сделаны соответствующие выводы.

ВВЕДЕНИЕ

Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества. Благодаря универсальности, высокому быстродействию, неутомимостью в работе, простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека.

С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ, поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления, но и способность развивать и закреплять эти навыки.

ТЕОРИЯ

Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными разностями приводит к линейным уравнениям; если рассматривается краевая задача, то уравнения образуют совместную линейную систему.

Прямым методом решения линейной системы называется любой метод, который позволяет получить решение с помощью конечного числа элементарных арифметических операций: сложения, вычитания, деления и т.д. Этот метод основан на сведении матрицы, системы A к матрице простой структуры - диагональной (и тогда решение очевидно ) и треугольной - разработка эффективных методов решения таких систем. Например, если А является верхней треугольной матрицей:

;

решение отыскивается с помощью последовательных обратных подстановок. Сначала из последнего уравнения вычисляется , затем полученные значения подставляются в предыдущие уравнения и вычисляется и т.д.

; ;

или в общем виде:

, i=n, n-1, ..., 1.

Стоимость такого решения составляет сложений умножений(а также и делении, которыми можно пренебречь).

Сведение матриц А к одному из двух указанных выше видов осуществляется с помощью ее умножения на специально подобранную матрицу М, так что система преобразуется в новую систему .

Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом, чтобы матрица МА стала верхней треугольной.

Прямые методы решения СЛУ нельзя применять при очень больших, из-за нарастающих ошибок, округлениях, связанных с выполнением большого числа арифметических операций. Устранить эти трудности помогают итерационные методы. С их помощью можно получить, начиная с вектора , бесконечную последовательность векторов, сходящихся к решению системы( m- номер итерации )

.

Метод является сходящимся, если это состояние справедливо для произвольного начального вектора .

Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в виде А=М-N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно решаются системы

.

Формально решением системы является:

где - обратная матрица. Решение итерационным методом упрощается еще и потому, что на каждом шагу надо решать систему с одними и теми же матрицами. Очевидно, что матрица М должна быть легко обращаемой, а для получения желаемой точности надо выполнить определенное число итераций.

Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение соотношения:

или ,

где - вектор невязок уравнений , ии - допустимая погрешность СЛУ по неувязке или приращению вектора неизвестных на итерации.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями, например :

которые не могут быть решены аналитически. Приближение этих уравнений конечными разностями основано на дискредитации интервала [0,1] как показано на рис.1 и замене производной.

простой разностью, например :

где, 0,2=1/5=X₄-X₃.

Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:

В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое приводит к линейной системе для приближенных значений решения дифференциального уравнения.

Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;

Найти

y’(0); y’’(0)=1; y’’’(0)=1;

обозначим у’(0) как С.

Решение:

Решение:

Система конечно-разностных уравнений

интервал [0,2] разделим на 10 точек

-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04

1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0.04

0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0.04

0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0.04

0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0.04

0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0.04

0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0.04

0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0.04

0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0.04

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -2+0.04

5 точек.

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

АЛГОРИТМ ГАУССА

Назначение: Решить относительно Х.

Входные параметры: masheps R, n Z,

Вектор правых частей .

Входно - выходные параметры ,

после разложения в А сохраняются ее верхние треугольные сомножители,.

Код возврата retcode=0 при успешном решении и retcode=1 при вырождении матрицы.

Выходные параметры: .

Алгоритм

1. retcode=0

2. if n=1 then

1. if A[1,1]=0 then retcode=1

2. return

(*Гауссово исключение с частичным выбором ведущего элемента*)

3. for k=1 to n do (*найти ведущий элемент*)

1. Amax <= |A[k,k]|

2. Imax <= k

3. for i=k+1 to n do

1. if |[i,k]| > Amax then

1. Amax <= |A[i,k]|

2. Imax <= 1

(*проверка на вырожденность*)

4. if Amax < masheps*n then

1. retcode<=1

2. return

5. if Imax<> k then

1. Amax <= A[Imax,k]

2. A[Imax,k] <= A[k,k]

3. A[Imax,k] <= Amax

7. for i=k+1 to n do A[i,k] <= A[i,k]/Amax

(*перестановка и исключение по столбцам*)

8. for j=k+1 to n do

3.8.1. Amax<=A[Imax,j]

2. A[Imax,j]<=A[k,j]

2. A[k,j]<=Amax

3. if Amax<>0 then

for i=k+1 to n do

A[i,j]<=A[i,j]-A[i,k]*Amax

4. if retcode=0 then (*разложение успешно*)

(*решить СЛУ Ly=b и Vx=y *)

5. for i=2 to n do

5. for k=n downto 1 do

return

end.

АЛГОРИТМ ЯКОБИ

Входные параметры: - вектор начальных значений Х, после окончания решения с заданной точностью.

Код возврата: retcode=0 при успешном решении u=1, при не успешном решении превышение допустимого числа итераций.

Память: Требуется дополнительный массив для хранения невязок.

Алгоритм

retcode=1

for Iter=1 to maxiter do (*расчет вектора невязок*)

rmax=0

for i=1 to n do

(*проверка на окончание итерационного процесса*)

if rmax

return

(*найти улучшенное решение*)

for i=1 to n do

x[i]=x[i]+r[i]/A[i,j]

АЛГОРИТМ ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ

Входные параметры:

( релаксационный коэффициент )

- точность решения,

maxiter- максимальное число итераций.

Входно- выходные параметры: - вектор начальных значений X, после окончания; решение с заданной точностью.

Алгоритм

retcode=1

for iter=1 to maxiter do

rmax=0

(*улучшить решение*)

for i=1 to n do

(*проверка на окончание итерационного процесса*)

if rmax

retcode=0

return

program GAUS1(input,output);

type

matrix=array[1..100,1..100] of real;

vektor=array[1..100] of real;

var

a:matrix;

x,b,y:vektor;

n:integer;

ret_code:integer;

procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;var n:integer);

var

s:real;j,i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

for j:=1 to (i-1) do

s:=s+a[i,j]*y[j];

y[i]:=b[i]-s;

end;

end;

procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;var n:integer);

var

s:real;i,j:integer;

begin

s:=0;

for i:=n downto 1 do

begin

s:=0;

for j:=(i+1) to n do

s:=s+a[i,j]*x[j];

x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];

end;

end;

procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;var n:integer);

var

i,j:integer;

q:real;

begin

writeln('Введите количество точек на интервал: ');

readln(n);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

a[i,j]:=0;

a[i,i]:=(-2);

end;

for i:=1 to (n-1) do

a[i,i+1]:=1;

for i:=2 to n do

a[i,i-1]:=1;

q:=sqr(2/n);

for i:=1 to n do

if i<>n then b[i]:=q else b[i]:=(q-2);

end;

procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;

var ret_code:integer;n:integer);

label 1;

var

eps,buf,max,c:real;

k,imax,i,j:integer;

begin

ret_code:=1;

eps:=1;

buf:=1+eps;

while buf>1.0 do

begin

eps:=eps/2;

buf:=1+eps;

end;

buf:=n*eps;

for k:=1 to (n-1) do

begin

max:=a[k,k];

imax:=k;

for i:=k to n do

if a[i,k]>max then

begin

max:=a[i,k];

imax:=i;

end;

if a[imax,k]>buf then

begin

for j:=1 to n do

begin

c:=a[imax,j];

a[imax,j]:=a[k,j];

a[k,j]:=c;

end;

c:=b[imax];

b[imax]:=b[k];

b[k]:=c;

for i:=(k+1) to n do

begin

a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=(k+1) to n do

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

end;

end

else

begin

ret_code:=0;

goto 1

end;

1: end;

end;

procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to n do

writeln('x',i:1,'=',x[i],' ');

end;

begin

vvod(a,b,n);

triangul(a,b,ret_code,n);

if ret_code=1 then

begin

geradlini(a,b,y,n);

ruckgang(a,y,x,n);

vivod(x,n);

end

else

writeln('Матрица вырожденна');

end.

program GAUS2(input,output);

type

matrix=array[1..100,1..100] of real;

vektor=array[1..100] of real;

var

a:matrix;

x,b,y:vektor;

n:integer;

ret_code:integer;

procedure geradlini(var a:matrix;var b,y:vektor;

var n:integer);

var

s:real;j,i:integer;

begin

for i:=1 to n do

begin

s:=0;

for j:=1 to (i-1) do

s:=s+a[i,j]*y[j];

y[i]:=b[i]-s;

end;

end;

procedure ruckgang(var a:matrix;var y,x:vektor;

var n:integer);

var

s:real;i,j:integer;

begin

s:=0;

for i:=n downto 1 do

begin

s:=0;

for j:=(i+1) to n do

s:=s+a[i,j]*x[j];

x[i]:=(y[i]-s)/a[i,i];

end;

end;

procedure vvod(var a:matrix;var b:vektor;

var n:integer);

var

i,j:integer;

q:real;

begin

writeln('Введите количество точек на интервал: ');

readln(n);

q:=(-2+sqr(0.5/n)*(sqr(4*arctan(1))/4));

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

a[i,j]:=0;

a[i,i]:=(q);

end;

for i:=1 to (n-1) do

a[i,i+1]:=1;

for i:=2 to n do

a[i,i-1]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then b[i]:=0 else b[i]:=(-sqr(2)/2);

end;

procedure triangul(var a:matrix;var b:vektor;var ret_code:integer;

n:integer);

label 1;

var

eps,buf,max,c:real;

k,imax,i,j:integer;

begin

ret_code:=1;

eps:=1;

buf:=1+eps;

while buf>1.0 do

begin

eps:=eps/2;

buf:=1+eps;

end;

buf:=n*eps;

for k:=1 to (n-1) do

begin

max:=a[k,k];

imax:=k;

for i:=k to n do

if a[i,k]>max then

begin

max:=a[i,k];

imax:=i;

end;

if a[imax,k]>buf then

begin

for j:=1 to n do

begin

c:=a[imax,j];

a[imax,j]:=a[k,j];

a[k,j]:=c;

end;

c:=b[imax];

b[imax]:=b[k];

b[k]:=c;

for i:=(k+1) to n do

begin

a[i,k]:=a[i,k]/a[k,k];

for j:=(k+1) to n do

a[i,j]:=a[i,j]-a[i,k]*a[k,j];

end;

end

else

begin

ret_code:=0;

goto 1

end;

1: end;

end;

procedure vivod(var x:vektor;var n:integer);

var i:integer;

begin

for i:=1 to n do

writeln('x',i:1,'=',x[i]);

end;

begin

vod(a,b,n);

triangul(a,b,ret_code,n);

if ret_code=1 then

begin

geradlini(a,b,y,n);

ruckgang(a,y,x,n);

vivod(x,n);

end

else

writeln('Матрица вырождена ');

end.

program jakobi1(input,output);

type

vektor=array[1..100] of real;

var

r,y:vektor;

z,ret_code,maxiter:integer;

eps:real;

procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln('Введите кол-во точек на интервал');

readln(z);

writeln('Введите точность');

readln(eps);

writeln('Введите кол-во итераций');

readln(maxiter);

end;

procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

iter,i:integer;

rmax,q:real;

begin

q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do

y[i]:=1;

ret_code:=0;

for iter:=1 to maxiter do {c.1}

begin

rmax:=0;

for i:=1 to z do {c.2}

begin

if i=1 then

begin

r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);

if rmax

rmax:=abs(r[i]);

end;

if i=z then

begin

r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if rmax

rmax:=abs(r[i]);

end;

if(i<>1)and(i<>z) then

begin

r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if rmax

rmax:=abs(r[i]);

end;

end;{c.2}

if rmax<=eps then

goto 1

else

for i:=1 to z do

y[i]:=y[i]+r[i]/(-2);

end; {c.1}

ret_code:=1;

1:

end;

procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);

var

i:integer;

ch:char;

begin

for i:=1 to z do

writeln('y',i:1,y[i]);

end;

begin

vvod(z,maxiter,eps);

ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);

if ret_code=0 then

vivod(y,z)

else

writeln('Превышено допустимое число итераций');

end.

program jakobi2(input,output);

type

vektor=array[1..100] of real;

var

r,y:vektor;

z,ret_code,maxiter:integer;

eps:real;

procedure vvod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln('Введите кол-во точек на интервал');

readln(z);

writeln('Введите точность');

readln(eps);

writeln('Введите кол-во итераций');

readln(maxiter);

end;

procedure ren(var r,y:vektor;var z,ret_kode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

iter,i:integer;

rmax,q:real;

begin

q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do

y[i]:=1;

ret_code:=0;

for iter:=1 to maxiter do

begin

rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

r[i]:=q-(-2*y[1]+y[2]);

if rmax

rmax:=abs(r[i]);

end;

if i=z then

begin

r[z]:=(-2+q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if rmax

rmax:=abs(r[i]);

end;

if(i<>1)and(i<>z) then

begin

r[i]:=q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if rmax

end;

end;

if rmax<=eps then goto 1

else

for i:=1 to z do

y[i]:=y[i]+r[i]/q;

end;

ret_code:=1;

1:end;

procedure vivod(var y:vektor;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

writeln('y',i:1,y[i]);

end;

begin

vvod(z,maxiter,eps);

ren(r,y,z,ret_code,maxiter,eps);

if ret_code=0 then vivod(y,z)

else

write('Превышено допустимое число итераций');

end.

program zeidel1(input,output);

type

vector=array[1..1000] of real;

var

y:vector;

z,retcode,maxiter:integer;

eps:real;

procedure wod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln;

writeln('введите количество точек на интервал ');

readln(z);

writeln('введите точность ');readln(eps);

writeln('введите количество итераций ');readln(maxiter);

writeln('коофицент релаксации W,принят равный 1');

end;

procedure reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real;

begin

Q:=sqr(2/z);

for i:=1 to z do y[i]:=1;

retcode:=1;

for Iter:=1 to maxiter do

begin

Rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

R:=Q-(-2*y[1]+y[2]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+R/(-2);

end;

if i=z then

begin

R:=(-2+Q)-(y[z-1]-2*y[z]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+r/(-2);

end;

if (I<>1) and (i<>z) then

begin

r:=Q-(y[i-1]-2*y[i]+y[i+1]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+R/-2;

end;

end;

if Rmax<=eps then

begin

retcode:=0;

goto 1;

end;

end;

1: end;

procedure vivod(var y:vector;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

write('y',i:2,'=',y[i]);

end;

begin

wod(z,maxiter,eps);

reshen(y,z,retcode,maxiter,eps);

if retcode=0 then vivod(y,z)

else

write('число итераций');

end.

program zeidel2(input,output);

type

vector=array[1..1000] of real;

var

y:vector;

z,retcode,maxiter:integer;

eps:real;

procedure wod(var z,maxiter:integer;var eps:real);

begin

writeln;

writeln('введите количество точек на интервал ');

readln(z);

writeln('введите точность ');readln(eps);

writeln('введите количество итераций ');readln(maxiter);

writeln('коофицент релаксации W,принят равный 1');

end;

procedure reshen(var y:vector;var z,retcode,maxiter:integer;var eps:real);

label 1;

var

Iter,I:integer;R,Rmax,Q:real;

begin

Q:=(-2+sqr(0.5/z)*sqr(4*arctan(1))/4);

for i:=1 to z do y[i]:=1;

retcode:=1;

for Iter:=1 to maxiter do

begin

Rmax:=0;

for i:=1 to z do

begin

if i=1 then

begin

r:=-(q*y[1]+y[z]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+R/q;

end;

if i=z then

begin

r:=-sqrt(z)/2-(y[z-1]+q*y[z]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+r/q;

end;

if (I<>1) and (i<>z) then

begin

r:=-(y[i-1]+q*y[i]+y[i+1]);

if Rmax

y[i]:=y[i]+R/q;

end;

end;

if Rmax<=eps then

begin

retcode:=0;

goto 1;

end;

end;

1: end;

procedure vivod(var y:vector;var z:integer);

var

i:integer;

begin

for i:=1 to z do

writeln (i:1,'=',y[i],);

end;

begin

wod(z,maxiter,eps);

reshen(y,z,retcode,maxiter,eps);

if retcode=0 then vivod(y,z)

else

write('число итераций');

end.

ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

Программа Jacobi1 предназначена для решения уравнений . Jacobi2 для решения уравнений ,методом конечных разностей находят значение в точках интервала (0.2) максимальное количество точек на интервал 1000. Используется массив для хранения значений вектора невязок . В процедуре reshen находится вектор невязок r [ i ]. Для первого и последнего уравнения системы находят вектора невязок различными способами. Для остальных уравнений системы вектор невязок находится одинаково. Сама матрица не формируется , т.е. для нахождения вектора невязок ее не нужно, это видно из текста программы.

Программы Zeidel1 и Zeidel2, также решают уравнения и . Отличия от Jacobi состоит только в том, что отсутствует массив для вектора невязок. Программы Gaus1 и Gaus2 также решают эти уравнения, только методом Гаусса. В процедурах vvod задается количество точек на интервал(max=100) и формируются матрицы в зависимости от уравнения. Процедура triangul разлагает матрицу А на две треугольные. Процедура geradlini- прямой ход метода Гаусса. Процедура ruckgang- обратный ход. Процедура vivod- выводит значения .

Вычисление уравнений с помощью итерационного метода Якоби требует времени t=0(maxiter Z), где Z- количество точек на интервал, а maxiter- количество итераций.

Вычисление уравнений с помощью метода Гаусса требует времени t=0( ), где N- количество точек на интервал.

Решение с помощью метода Гаусса требует больше времени чем решения другими двумя приведенными способами.