Кубанский государственный технологический университет

Кафедра автоматизации технологических процессов

Задание на контрольную работу

По дисциплине “Автоматизированное управление дискретными процессами” для студентов заочной формы обучения специальности 21.01 — “Автоматика и управление в технических системах” на тему: “Синтез управляющего автомата модели LEGO — “транспортная тележка” и моделирование её движения вдоль трассы”

Выдано:

Аспирантом каф. АПП 06.09.99 /Напылов Р.Н./

студенту гр. ____________ /____________/

Краснодар 1999

Исходные данные

Управляемый процесс — движение модели LEGO транспортной тележки вдоль заданной траектории в виде белой полосы. Ориентация тележки относительно трассы регулируется датчиками контраста.

Условная схема транспортной тележки приводится на рисунке 1.. Тележка движется за счёт заднего привода, создающего постоянное тягловое усилие . Вращение переднего колеса тележки осуществляется с помощью реверсивного поворотного двигателя, отрабатывающего с постоянной угловой скоростью , где — угол поворота переднего колеса (рисунок 1.)

Транспортная тележка, как объект управления имеет систему дискретных входных и выходных сигналов, структурно представленную на рисунке 1.. Кодировка указанных сигналов следующая:

Таблица 1. – Кодировка управляющих сигналов

Разряд сигнала

X

Управляющее действие

X₀

1 – двигатель тележки включен

0 – двигатель тележки выключен

X₁

1 – поворотный двигатель отрабатывает влево

0 – двигатель влево не отрабатывает

X₂

1 – поворотный двигатель отрабатывает вправо

0 – двигатель вправо не отрабатывает

Таблица 1. – Кодировка выходных сигналов

Разряд сигнала

Y

Событие

Y₀

1 – левый датчик над светлой точкой трассы

0 – левый датчик над тёмной точкой трассы

Y₁

1 – правый датчик над светлой точкой трассы

0 – правый датчик над тёмной точкой трассы

Д

ц

Действие на трассу

— вектор приведенной силы трения;

— вектор реакции трассы (опоры) на переднее колесо;

— центростремительная реакция трассы;

— упрощенная габаритная определяющая;

— расстояние между датчиками контраста.

Рисунок 1. – Динамическая схема транспортной тележки

— двухразрядный выходной сигнал.

Рисунок 1. – Структурная схема управления транспортной тележкой

Тележка

Автомат

Сигналы Y используются в качестве обратной связи управляющего автомата. По изменению этих сигналов возможно судить о текущем положении тележки относительно белой полосы трассы. Сигналы X вырабатываются управляющим автоматом в зависимости от поведения во времени сигналов Y так, что бы обеспечить совпадение траекторий движения тележки и трассы.

Решение о подачи питания на задний привод тележки и, расположенный на ней, управляющий автомат принимает внешний оператор. Поэтому, исходным состоянием тележки является активность двигателя привода. В этом случае задача управляющего автомата состоит только в обеспечении движения тележки вдоль трассы.

Допущения, делаемые при рассмотрении управляемой тележки в динамике:

тягловое усилие постоянное;

приведённая сила трения пропорциональна линейной скорости движения тележки;

сила трения , подменяющая реакцию в момент, когда (переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе тележки;

сила трения , подменяющая реакцию в момент, когда (тележку заносит), также постоянна и пропорциональна массе тележки;

масса тележки и её момент инерции относительно центра масс связаны зависимостью: , как если бы вся масса тележки была сосредоточена в стержне (рисунок 1.).

Основное задание

Сформировать модель управляющего автомата в форме таблицы переходов и выходов автомата Милли, предварительно составив список его возможных состояний и перекодировав входной алфавит автомата во множество многозначной логики (Y - четырёхзначное);

Минимизировать, в случае возможности, таблицу переходов и выходов автомата Милли;

Составить алгебрологические выражения функции переходов и функции выходов минимизированного автомата, используя только двоичное представление входных и выходных сигналов;

Минимизировать полученные функции;

По минимизированным логическим функциям зарисовать цифровую схему управляющего автомата (стандарт условного графического изображения логических элементов — Российский).

Дополнительное задание

Вывести модель динамики транспортной тележки. Положение центра масс тележки в плоской системе координат задавать вектором положения . Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором .

Список источников

Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое управление дискретными процессами. Модели, анализ, синтез. — М.: Машиностроение, 1987. — 176 c.

Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский Г.М. Дискретная математика для инженеров. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 450 c.

Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование компьютеров в регулировании и управлении: Пер. с нем.—М.: Энергоатомиздат, 1990. — 176 с.: ил.

Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования микропроцессорных устройств автоматики. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 304 c.

Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. — Пер. c французского А.П. Сизова — М.: Машиностроение, 1986.

Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сопряжения. Контролирующее и информационно-управляющие системы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В. Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. — М.: Высш. шк., 1986. — 383 c.: ил.

Фиртич В. Применение микропроцессоров в системах управления: Пер. с нем. — М.: Мир, 1984,—464 c., ил.

Решение основного задания

Выходной алфавит транспортной тележки является входным алфавитом управляющего автомата Y. Для возможности применения теории конечных автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии с таблицей 5..

Таблица 5. – Кодировка входного алфавита управляющего автомата

Y₀

Y₁

Y

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

2

3

При определении возможных состояний управляющего автомата будем руководствоваться правилом: — допустимо введение избыточных состояний, которые при последующей минимизации автомата исключаются; недопустим пропуск необходимого состояния, который уменьшает адаптированность автомата к внешним ситуациям.

Перечень возможных состояний автомата, отождествлённых с ситуационными событиями транспортной тележки, приводится ниже.

Таблица 5. – Перечень состояний управляющего автомата транспортной тележки

Код
состояния S

Описание состояния

0

1

2

3

Исходное состояние неуправляемого движения;

Поворот вправо (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает вправо);

Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает влево);

Конфликт поворотов.

Для возможности формирования математической модели управляющего автомата рассмотрим описательный алгоритм управления транспортной тележки по состояниям:

В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием привода. Ни один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы. Поворотный двигатель остановлен;

При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста включается поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и далее следует движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;

Как только левый датчик контраста “сходит” с белой полосы поворотный двигатель останавливается в текущем состоянии, а привод вновь запускается;

При возникновении белой полосы под правым датчиком — поведение транспортной тележки аналогично;

Возникновение белой полосы под правым и левым датчиком свидетельствует о том, что тележка движется перпендикулярно трассе. Это сбойная ситуация, при которой следует отключение привода и блокировка управляющего автомата. Нормальный ход работы автомата может быть восстановлен только “сбросом”.

Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления модели автомата Милли необходимо построить три таблицы переходов и выходов. Указанные таблицы, эквивалентные описательному алгоритму управления, приводятся ниже.

Таблица 5. – Таблицы переходов и выходов управляющего автомата

Код

S_i

Для X₀

Для X₁

Для X₂

y

y

y

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0

Код

S_i

Для X₀

Для X₁

Для X₂

y

y

y

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

1

2

3

Как видно, состояния S₀, S₁, S₂ явно эквивалентны, причём для каждого из выходов X. Представляется возможным эти эквивалентные состояния обозначить одним состоянием S₀ – состояние управления тележкой. В этом случае, состояние блокировки S₃ удобно переобозначить как S₁ – состояние блокировки автомата. В результате получаем модель несократимого автомата Милли.

Таблица 5. – Таблицы переходов и выходов несократимого автомата

Код

S_i

Для X₀

Для X₁

Для X₂

y

y

y

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным сигналом S, а также учитывая кодировку входных сигналов Y (табл. 5.), составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата, непосредственно по таблице 5. и введя обозначения: S[j] — текущий сигнал состояния, S[j+1] — сигнал состояний на следующем такте автомата.

Судя по таблице 5., минимизации поддаётся только функция переходов . Минимизируем её методом карт Карно (см. рис. 5.).

Таблица 5. – Таблица истинности комбинационной схемы автомата

S[j]

0

0

0

0

1

1

1

1

Y₀

0

0

1

1

0

0

1

1

Y₁

0

1

0

1

0

1

0

1

S[j+1]

0

0

0

1

1

1

1

1

X₀

1

0

0

0

0

0

0

0

X₁

0

0

1

0

0

0

0

0

X₂

0

1

0

0

0

0

0

0

Рисунок 5. – Минимизация функции переходов методом карт Карно

Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы автомата.

Функция переходов:

. (5.)

Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:

. (5.)

Для удобства реализации комбинационной схемы представим рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:

. (5.)

На основе системы (5.), окончательно получаем цифровую схему реализации управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5..

Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блокировки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X на изменение входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состояния возможен только принудительным обнулением линии S единичным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в рассматриваемом автомате не возникает.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

“Сброс”

Рисунок 5. – Цифровая схема управляющего автомата транспортной тележки

Решение дополнительного задания

Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к центру масс тележки и вращающий момент , относительно того же центра масс.

Как видно из рисунка 1. вращающий момент определяется только силой реакции опоры переднего колеса —

, (6.)

— угол поворота переднего колеса.

Зная из рисунка, что

, (6.)

получим:

. (6.)

Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки влево, отрицательные — вправо.

Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется векторной суммой всех сил на рисунке 1.:

. (6.)

Для нашего случая важно знать направление действия силы , которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения габаритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:

, (6.)

— вектор, задающий координаты центра масс тележки;

— вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ;

— габаритная определяющая транспортной тележки.

Вектор представляется в базисе вектора следующим образом:

, (6.)

— единичный вектор, ортогональный вектору ,

или

. (6.)

Если имеет координаты , то имеет координаты . Тогда вектор , выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:

, (6.)

— матрица (оператор) поворота вектора на угол .

Теперь, используя выражение (6.), окончательно найдём, что

. (6.)

Из рисунка 1. очевидным образом вытекают выражения для векторов силы тяги и приведённой силы трения, а именно:

, (6.)

. (6.)

Центростремительная реакция трассы определяется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс, возникающей при закруглении траектории движения:

, (6.)

— центростремительное ускорение.

Если траектория движения центра масс задаётся вектором , то

, (6.)

— вектор скорости центра масс;

— вектор полного ускорения;

— оператор скалярного произведения векторов.

Это физический факт. Вывод его опускаем.

Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы , при этом справедливо:

. (6.)

Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента , за счёт которого ей придаётся угловое ускорение :

, (6.)

— момент инерции тележки относительно центра масс.

Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное в скалярной форме:

,

а затем и в векторной:

, (6.)

— векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.

С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через полное ускорение вектора :

, (6.)

— вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяющей;

В результате имеем связь:

. (6.)

Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости центра масс:

, (6.)

— коэффициент трения,

на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.), (6.), (6.), (6.), (6.), (6.), (6.), (6.), (6.), а второе на основе: (6.), (6.), (6.) Решением первого уравнения является зависимость траектории центра масс тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора .

Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота и четырёх начальных условиях типа:

, (6.)

которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная и вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси .

Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в задании контрольной работы.