Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Цели и задачи урока:

• повторение по теме «Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий базового уровня, умений и навыков по применению арифметического способа отбора корней в тригонометрических уравнениях.

• развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;

• воспитание самостоятельности мышления у учащихся.

Тип урока: урок повторения.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, коллективная

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях».

Ход урока:

1. Организационный момент. (Сообщение темы, целей и задач урока)

2. Устная работа.

1. Расположите в порядке убывания числа:

2. Расставьте в порядке возрастания числа:

3. Сравните числа:

4. Вычислите:

(В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса)

а) arcsin1; б) arccos; в) arcsin (- 2); г) arctg _;

д) arccos; е) arсctg

3. Повторение.

1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений

Вид уравнения

Общая формула серии уравнений

2. Следует отметить внимание учащихся, что в случае отбора корней применение общей формулы серии решений для синуса и косинуса не является удобным. В этом случае удобнее не объединять серии решений, а представлять их совокупностью.

3. При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание учащихся на то, что эти формулы задают множества чисел, которые образуют арифметические прогрессии с разностью для синуса и косинуса и для тангенса и котангенса.

4. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

_{Уравнения имеют решения:}

5. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

_{Уравнения имеют решения:}

6. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

_{Уравнения имеют решения:}

7. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

_{Уравнения имеют решения:}

4. Арифметический способ отбора корней

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов: арифметический, алгебраический, геометрический, функционально-графический. Рассмотрим арифметический способ отбора корней. Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Рассмотрим примеры, в которых используется арифметический способ отбора корней.

1. Непосредственная подстановка в уравнение и имеющиеся ограничения.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение: . Это уравнение равносильно системе _{Решим уравнение системы: или корней нет}

Проверим для полученных значений х выполнение условия . Для первой серии получаем:

_{Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем:}

_{Следовательно, все числа второй серия решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.}

_Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Рассмотрим два множества значений неизвестной х, для которых и соответственно.

1. Пусть , тогда данное уравнение принимает вид:

_{Разделив обе части уравнения на cos x (так как ясно, что cos x не равен нулю), получим:}

_{Из этой серии решений отберём значения х, для которых}

_{Подставляя значения в это неравенство, находим: при к=2n,}

_{при к=2n,+1.}

_{Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа вида}

_{2. Пусть , тогда данное уравнения принимает вид:}

_{Отберём из полученных решений те значения х, для которых}

_{Подставляя значения в это неравенство, находим:}

_{Следовательно, корнями исходного уравнения являются числами вида}

_Ответ:

2. _{Учёт области определения или множества значений функций. Иногда при обобщении уравнений некоторые «посторонние» решения, возникающие в результате замены, могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратно тригонометрических функций (таблица).}

Функция

Область определения

Область значений функции

Пример 1. Решите уравнение

_{Решение: Данное уравнение равносильна системе:}

_{Если 0, то (из основного тригонометрического тождества) sin x=1, или sin x=-1. Так как sin x не равен нулю, то остаётся отобрать те значения х, при которых sin x=-1. Отсюда}

_Ответ:

_{Пример 2. Решить уравнение}

_{Решение: Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получаем:}

_{Так как при всех , то Следовательно, уравнение равносильно системе: отсюда}

_Ответ:

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

1. Найдите корни уравнения удовлетворяющих неравенству

_{Решите уравнения:}

2.

3.

4.

5.