Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме

«Методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции»

Аннотация:

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе физико – математического профиля. Цель урока: рассмотреть способы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции и способствовать выработке навыков их решения. На уроке учащиеся анализируют различные методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Автор: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

Контингент: 10 класс физико-математического профиля.

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10 кл. В 2 ч. Ч.1.Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2012.

Уровень образования школьников: предпрофильный уровень

Цель урока:

1. Изучение способов решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

2. Решение более сложных типов уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

3. Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

4. Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.

Задачи урока:

1. Расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

2. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуаль­ных умений на уровне свободного их использования.

3. Развить интерес и положительную мотивацию изучения математики.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: фронтальный, индивидуальный, групповой, наглядно-практический.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Педагогические средства: проблемные задания, работа с раздаточными материалами

Приобретаемые навыки детей: применение знаний к решению уравнений.

Продолжительность: 2 часа

Ход урока

1. Организационный момент

2. Усная работа в группах. Актуализация опорных знаний

Вспомним основные определения и свойства. Работа по группам.

1, 2, 3, 4 группы: рассказать об arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a . (Каждой группе в произвольном выборе достается одно из предложенных понятий).

Примерное время на подготовку ответов групп – 3 мин, после чего заслушиваются ответы.

Предполагаемые ответы групп:

Номер группы

Предполагаемый ответ

1

Функция _ определена и монотонно возрастает на отрезке [- 1; 1];

_.

2

Функция _ определена и монотонно убывает на отрезке [- 1; 1];

3

Функция _ определена и монотонно возрастает на R;

_.

4

Функция _ определена и монотонно убывает на R;

3. Актуализация опорных знаний

Вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.

_;

_{ }

4. Изучение нового материала.

Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и неравенств.

1. Метод замены переменных.

Пример 1. Решите уравнение: _

Решение. Для новой переменной _ исходное уравнение примет вид: _

Замечаем, что _ не удовлетворяет условию _.

Следовательно, _

Ответ: _

2. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями

Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.

1). _

2). _

3). _

4). _

5). _

6)._

7)._

8)._

Пример 2. Решите уравнение: _

Решение. Уравнение равносильно системе

Ответ: 0; 1.

3. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями

При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, пользуются известными тригонометрическими тождествами.

Переходы

Использована формула

1. _

2. _

Корнем каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число х, для которого _ В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.

Пример 3. Решите уравнение _

Решение._

Корень _ является посторонним.

Ответ: 1.

4. Уравнения и неравенства, сводимые к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям и неравенствам

Пример 4. Решите уравнение _

Решение. Пусть _ Тогда _

Пусть _Тогда _

Тогда исходное уравнение примет вид _

Тогда _

Поэтому

Ответ: 0; 1.

5. Работа в группах

Номер группы

Задание . Решите уравнения:

Группа 1

№1

№2

№3

№4

№5

Группа 2

№1

№2

№3

№4

№5

Группа 3

№2

№3

№4

№5

Группа 4

№2

№3

_=_

№4

№5

Ключи

Номер группы

Ответы

Группа 1

№1.

№2

_{ }

№3

_0,25

№4

№5

Группа 2

№1.

№2

№3

№4

№5

Группа 3

№1.

№2

№3

№4

№5

Группа 4

№1.

№2

№3

№4

№5

6. Письменная самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнения:

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Ключи

Вариант 1

Вариант 2

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

7. Итоги урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Дает анализ и оценку успешности достижения цели и намечает перспективу последующей работы. Задает домашнее задание.

Получают информацию о результатах самостоятельной работы. Записывают домашнее задание.

8. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Учитель, побуждает высказаться учащихся о том понравился ли им урок, что они узнали нового, смогут ли применить полученные знания.

Осмысливают свою деятельность на уроке, проводят самооценку своей деятельности

9. Домашняя работа

Алгебра и начала анализа. 10 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2012.

Решить задания №№21.58, 21.59,21.62.

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала анализа. 10 кл. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Алгебра и начала анализа. 10 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2012.

3. Фалин Г.И. Обратные тригонометрические функции. 10 – 11 классы/ Г.И. Фалин, А.И. Фалин. – М.: Экзамен, 2012.

4. Шестаков С., Галицкий М. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.- Математика №13,14, 2000 г.

5. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса/ М.И. Шабунин, Прокофьев А.А. – М.:БИНОМ, 2007.

Макарова Т.П., учитель математики ГБОУ СОШ №618 Страница 10