Конспект урока по Алгебре "Решение тригонометрических уравнений" 11 класс
Разработка темы
«Решение тригонометрических уравнений»
в итоговом повторении в 11 классе,
при подготовке к экзаменам.
Цель уроков:
Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
Повторить методы решения уравнений.
Решить сложные уравнения , встречающиеся на ЕГЭ.
Проверить усвоение материала.
1 урок: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).
2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».
4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.
6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Урок №1: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»
Цель:
Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
Решение уравнений, с выбором ответов.
Воспитывать умение применять полученные знания.
Ход урока:
Решение уравнений вида
.
Решение уравнений вида
Решение уравнений вида
и
Итог урока.
Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:
.
и
Вспомним, как они решаются.
Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
.
где
Частные случаи:
Решить уравнения:
Ответ: .
Ответ: .
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ(найти соответствие):
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
1
a
2
b
3
c
4
d
5
e
2.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
, где
если , то
Частные случаи:
Решить уравнения:
1.
Ответ: .
2.
Ответ: .
3.
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
a
b
корней нет
c
d
e
3.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
Решить уравнения:
1.
Ответ: .
2.
Ответ: .
3.
Ответ: .
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
a
b
c
d
Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:
решение аналогичное предыдущему случаю.
4.Итог урока:
Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:
.
Можно обращаться за консультацией.
Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.
Уроки №2-3: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами»
Класс делится на небольшие группы по 2-3 человека, заранее они получают задания по одному из методов решения уравнений, а затем на уроке показывают своё решение. Остальные учащиеся записывают решение и задают интересующие их вопросы, на которые отвечает данная группа.
ЦЕЛИ УРОКА:
систематизировать знания учащихся по теме;
показать различные методы решения тригонометрического уравнения на примере одного уравнения;
воспитание у учащихся культуры мышления;
формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;
показать красоту решения уравнений.
ПЛАН УРОКА:
Решение тригонометрических уравнений различными способами;
Используя формул половинного угла;
Используя формулы приведения
Приведение к однородному квадратному уравнению;
Введение вспомогательного угла;
Используя формулы понижение степени;
Используя универсальные подстановки;
Решение уравнения возведением в квадрат;
Итог урока.
ХОД УРОКА :
1. Постановка целей урока и конечного результата (каждая группа объясняет свое решение, используя кодоскоп, отвечает на возникшие вопросы).
1.
Используя формул половинного угла.
;
;
;
; или
разделим на
;
,
;
;
,
.
,
;
,
.
Ответ: ,
;
,
.
2.
Используя формулы приведения
;
из суммы делаем произведение
;
;
;
;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
,
.
Ответ: ,
;
,
.
3.
Приведение к однородному квадратному уравнению.
;
;
;
; (верно при любых
)
;
; или
;
;
,
.
,
.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: ,
;
,
.
4.
введение вспомогательного угла
;
;
;
;
,
;
,
;
если , то
,
;
,
;
если , то
,
;
,
;
,
.
Второй способ:
разделим на
:
;
;
;
,
;
,
или
,
.
Ответ: ,
;
,
.
5.
Используя формулы понижение степени:
;
Проверка ОДЗ:
;
;
;
.
Возведем уравнение в квадрат:
, умножим на 2;
;
;
;
;
; или
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Если -нечетное,
, то
;
-1=1 – неверно .
Если -нечетное,
, то
;
;
-1=1 – неверно.
Если k – чётное, , то
,
следовательно ,
1=1 верно
если n – чётное, ,то
,
следовательно ,
1=1 верно.
Ответ: ,
;
,
.
6.
Используя универсальные подстановки:
;
;
, при
.
Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней ,
корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.
;
Если ,
, то
;
;
;
– неверно.
Следовательно ,
не является корнем уравнения.
Выполним подстановку:
, пусть
;
;
;
;
; или
;
;
;
,
;
,
;
,
.
,
.
Ответ: ,
;
,
.
7.
Решим уравнение возведением в квадрат. Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.
;
;
;
;
;
,
;
,
.
Проверка корней:
Если ;
;
;
1=1 – верно;
;
;
;
1=1 – верно;
;
;
;
-1=1 – неверно;
;
;
-1=1 – неверно;
Ответ: ,
;
,
.
ИТОГ УРОКА:
Сегодня на уроке мы с вами решили одно уравнение семью способами и это ещё не предел методов решения. При решении уравнений вы можете использовать один из предложенных способов, самое главное каждое уравнение имеет решение и его надо найти!
оценивается работа каждого учащегося, подчеркивается самостоятельность, грамотность при выполнении заданий, взаимопомощь, активность.
ЗАДАНИЕ НА ДОМ:
Решите уравнение всеми предложенными способами и попытайтесь найти ещё хотя бы один другой способ решения.
Уроки №4-5: «Решение более сложных уравнений, предложенными способами»
ЦЕЛИ УРОКА:
обобщить полученные знания;
научить нахождению чужих ошибок и не делать своих;
показать красоту решения тригонометрических уравнений.
ПЛАН УРОКА:
Разбор ошибок (с использованием кодоскопа);
Решение тригонометрических уравнений различными способами;
Решение уравнений разложением на множители;
Решение с помощью замены переменных;
Решение однородных уравнений;
Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения;
Преобразование произведения в сумму;
Введение вспомогательного угла;
Решение линейных уравнений;
Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей;
Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ.
Итог урока.
1. Разбор ошибок (с использованием кодоскопа)
1. sinx=0.5
x=(-1)narcsin0.5+2n,
x=(-1)n +
,
.
2. cos3x=0.5
3x=arccos0.5+2n,
,
3x= +2
n,
,
x=
.
3. sin4x=2
4sinx=2,
sinx=0.5,
x=(-1)narcsin0.5+ n,
,
x=(-1)n+
.
4. tg2x=5
2x=arctg5+ n,
,
x=arctg2.5+ n,
.
2. Решение тригонометрических уравнений различными способами.
1. Решение уравнений разложением на множители:
а) sin2x-cosx=0,
2sinx cosx cos x=0,
cosx(2sin x – 1 =0,
2sin x-1 =0 или cos x =0
sinx=0.5 x=+
k,
.
x=(-1)n+
n,
.
Ответ: (-1)n+
n,
,
+
k,
.
Для домашней работы: sinx+cosx=sinxcosx + 1
2. Решение с помощью замены переменных:
а) 6cos 2x+5sinx-7=0,
6(1-sin 2x)+5sinx-7=0,
6-6sin 2x +5sinx-7=0, sinx=t, ItI 1,
6t2 -5t+1=0,
t= t=
sinx= или sinx =0.5
x=(-1)narcsin +
n,
x=(-1)k
+
k,
Ответ: (-1)narcsin +
n,
, (-1)k
+
k,
Для домашней работы: 1) cos 2x + cosx – 2=0;
2) tg 2x – 3tgx + =0.
б) sin 4x+cos 4x – 2sin2x + sin 22x=0,
прибавим и вычтем 2sin2x·cos2x для выделения полного квадрата
(sin2x + cos 2x)2- 0.5(4sin2 xcos2x) + sin22x - 2sin2x = 0,
1- sin22x – 2sin2x +
sin22x=0,
sin2 2x – 2sin2x + 1 =0, sin2x = t, -1
t
1
t2 – 8t + 4 = 0,
D=64- 16 = 48 , D>0, 2 корня
t = 4- 2,
t = 4 +2, (не удовлетворяет условию -1
t
1)
sin2x = 4-2 ,
2x = (-1)k arcsin(4-2 ) +
k,
x = (-1)karcsin(4 - 2
)+
k,
.
Ответ: (-1)karcsin(4 - 2
)+
k,
.
3. Решение однородных уравнений
asin x +bcosx = 0
asin 2x + bcosxsinx + c cos 2x = 0
Метод: разделив обе части уравнения на sinx( sin 2x) или на cosx(cos 2x) отличных от нуля, иначе не выполняется основное тригонометрическое тождество, получим уравнение линейное или квадратное относительно новой переменной:
atgx + b = 0, a tg 2x + btgx + c =0
Решим уравнение:
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x = 2,
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x -2 sin 2x – 2 cos 2x =0,
4sin 2x + sinxcosx -3cos 2x = 0 /Разделим на cosx, cosx отличен от нуля
4tg 2x + tgx – 3 =0
tgx=t,
4t2 + t -3=0,
t= -1, t =
tgx = -1, tgx=
x= - + Пn,
. x = arctg
+ Пk,
.
Ответ: - + Пn,
, arctg
+ Пk,
.
Для домашней работы: sin 5x +cos5x = 0,
3sin 2x – 2sinx cosx – cos 2x = 0.
4. Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения
Необходимо действовать по принципу: «увидел сумму, делай произведение»
cos3x + sin2x – sin4x =0,
cos3x + 2 cossin
= 0,
cos3x- 2 cos3x sinx = 0,
cos3x (1 – 2sinx) = 0,
cos3x = 0 sinx = 0.5
3x = + П n,
, x= (-1)k
+ Пk,
.
x=+
n,
первая серия корней содержит полностью вторую серию корней, следовательно
Ответ: +
k,
.
5. Преобразование произведения в сумму:
sin5x cos3x = sin6xcos2x,
0.5(sin2x + sin8x) = 0.5(sin8x + sin4x),
sin2x + sin8x =sin8x + sin4x,
sin2x – sin4x = 0,
-2 sinx cos3x =0,
sinx = 0 cos3x = 0
x = П n, 3x =
+П k,
,
x = +П k,
.
Ответ: П n, ,
+П k,
.
6. Введение вспомогательного угла:
(a,b,c отличные от нуля)
;
.
Решим следующее уравнение
разделим на
(так как
)
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
Ответ:
Для домашней работы: 1),
2)
3).
7. Решение линейных уравнений:
1 способ:
Используя универсальную подстановку:,
,
, но применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, не является ли
корнем данного уравнения ( иначе будет потеря корня). Это делается путем подстановки данной серии корней в первоначальное уравнение.
Подставим и убедимся, что это корень уравнения
,
0-1= -1,
- 1= -1(верно).
пусть
2 способ решения этого уравнения:
sinx+cosx= -1,
если
если
Ответ:
8. Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей:
а) 2sin3x+4cosx=7
Следовательно:
Мы доказали, что данная сумма не должна превосходить 6, а по условию она равна 7, значит уравнение не имеет решения.
б) 3cos3x+cosx=4,
,
то равенство возможно, если имеет решение система:
,
подставим во второе уравнений значение переменной первого уравнения:
, получили верное равенство, следовательно
, является решением системы уравнений.
Ответ:
9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ
Чаще всего при решении уравнения используется несколько способов, например С1 из ЕГЭ 2002г.
D<0, решений нет.
Ответ: .
Домашнее задание:
Задание В3 из ЕГЭ 2003:
Найти сколько корней имеет уравнение:
Домашнее задание:
Решить уравнение: ЕГЭ-2006:
Домашнее задание:
Задание С2 из демоверсии 2007 года:
Домашнее задание:
Итог урока
Сегодня на уроке мы повторили и разобрали различные способы решения тригонометрических уравнений.
Домашнее задание было выдано в течение урока, а так же вам необходимо подготовиться к контрольному тесту по данной теме, который будете сдавать на компьютерах.
Каждый отвечающий получил оценку.
Урок №6: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Тест по теме «Тригонометрические уравнения». Для запуска программы выполните следующие действия:
На диске CD-ROM открыть папку «ТРИГОНОМ_УРАВНЕНИЯ»
Запустить программу trigon.exe
В появившемся окне выбрать нужный вариант.
Решить предложенное уравнение и выбрать вариант ответа. Нажав на кнопку соответствующую варианту ответа, произойдет переход к следующему заданию. Всего заданий для каждого варианта семь.
После выполнения всех заданий компьютерная программа выдаст результат на экран. Программа ставит следующие оценки:
«ОТЛИЧНО» – при всех правильных ответах;
«ХОРОШО» – при одном неверном ответе;
«УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при двух неверных ответах;
«НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при трех и более неверных ответах;
Для выхода из программы нажмите кнопку «Выход».

Нравится материал? Поддержи автора!
Ещё документы из категории алгебра:
Чтобы скачать документ, порекомендуйте, пожалуйста, его своим друзьям в любой соц. сети.
После чего кнопка «СКАЧАТЬ» станет доступной!
Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо!
Кнопки:
Скачать документ