Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Общеобразовательная Хетовская средняя школа»

Виноградовского района Архангельской области

Конспект урока по алгебре и началам анализа
в 11 классе

«Методы решения логарифмических уравнений»

подготовила

учитель математики

Воробьева Любовь Михайловна

п.Хетово

2014

Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений»

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Цели урока:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о логарифме и его свойствах; умения решать логарифмические уравнения различными методами.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать формированию навыков коллективной работы, развивать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные: формирование интереса к предмету.

1.Повторение определения и свойств логарифмов. Поставьте в соответствие:

1

log_a^pb

1

log_ab

2

log_ab+log_ac

2

nlog_ab

3

log_ab-log_ac

3

log_a(bc)

4

a^log_ab

4

b

5

log_abⁿ

5

log_cb

6

log_ab/log_ac

6

log_ab

Методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые по определению.

log_ab=c,тогда а^с=в,а>0, b>0,а.

Примеры

а)log₂4=Х б) log_x64=3

х³=64

2^х=2^5/2 х=4

х=5/2

2. Метод потенцирования. Он основан на теореме: Если f(х)>0и g(х)>0,то логарифмическое уравнение log_af(х)=log_ag(х), (а>0,а) равносильно уравнению f(х)=g(х).

Решите уравнение:

lg(х+4)+lg(2х+3)=lg(1-2х).

Решение: Данное уравнение равносильно:

lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х), 2х²+13х+11=0,

, >х>-

Ответ: -1.

3. Метод введения новой переменной.

Решите уравнение: а) 4-lgх=3.

Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть =t,тогда данное уравнение примет вид t²+3t-4=0,откуда t₁=1,t₂=-4(посторонний корень).

Следовательно, =1, lgx=1, х=10.

Ответ:10

б) lg²x-3lgx+2=0, О.Д.З.х>0.

Пусть lgx=t, tR,

t²-3t+2=0, t₁=1,t₂=2.

Если t₁=1,то lgx=1,х=10., если t₂=2,то lgx=2,х=100.

Ответ: х₁=10, х₂=100.

4. Функционально-графический метод.

Решите уравнение: lgx=11-х.

Так как функция у=lgx возрастает, а функция у=11-х убывает , то заданное уравнение имеет только один корень, который легко можно найти. При х=10 данное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1.

Ответ:х=10.

5. Метод приведения к одному основанию.

log_ab=log_cb/log_ca, а>0, в>0, с>0, а, с.

Решите уравнение: log₂х+log₄х+log₁₆х=7.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

log₂х+0,5log₂x+0,25log₂x=7log₂x+2log₂x+log₂x=28log₂x=4.

Ответ: 16.

6. Метод логарифмирования.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)^g(x),при этом чаще всего подразумевается, что f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решите уравнение: х^х+2=х⁵.

Решение: х^х+2=х⁵ lgx^x+2=lgx⁵(x+2)lgx=5lgx(x-3)lgx=0

Ответ:1;3 .

7. Использование свойств монотонности функции.

Пример: log₃(x+1)+log₄(5x+6)=3 О.Д.З. х>-1,2.

у=log₃(х+1)-возрастающая функция, у=log₄(5х+6)-возрастающая функция, 3-const. Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.

Используем утверждение: если возрастающая функция равна const или убывающей функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора.

Ответ:х=2.

8. Использование свойств ограниченности функции.

Пример: log₂(17-│sin0,5пх│)=²,

Рассмотрим левую часть: так как 0≤│sin0,5пх│≤1,то log₂(17-│sin0,5пх│)≥log₂16=4,то есть л.ч.≥4 при х=1 достигается равенство.

Рассмотрим правую часть ²=² ≤=4, ²≤4,при х=1 достигается равенство.

Ответ:х=1.

9. Однородные уравнения 2 степени.

ах² + вху + су²=0 │:у²≠0, а(х ∕у)²+в(х ∕ у)+с=0, аt²+вt+c=0 .

Пример: 3log₂²(х+1)-4log₂(2x+1)log₂(x+1)+log₂²(2x+1)=0, О.Д.З.х>-0,5, делим на log₂²(2x+1) и log₂(x+1) ∕log₂(2х+1)=t, получаем уравнение вида: 3t²-4t+1=0, t₁=1, t₂=.

log₂(x+1) ∕ log₂(2x+1)=1, log₂(x+1)=log₂(2x+1), х+1=2х+1, х=0.

log₂(x+1)/ log₂(2x+1)=, 3log₂(x+1)=log₂(2x+1), (х+1)³=2х+1,

х³+3х²+3х+1=2х+1 , х(х²+3х+1)=0 х₁=0, х₂=, х₃₌О.Д.З.

Ответ: х=0, х =^.

10. Использование формулы: а^log_c^b=b^log_c^a, в>0, а.>0, с>0, в≠1,а≠1,с≠1.

Пример: 3х^log₅²+2^log₅^x=64, О.Д.З. х>0,

3∙2^log₅^x+2^log₅^x=64, 2^log₅^x=16 , log₅х=4 , х=625.

Ответ: х=625.

Подведение итогов.

Домашнее задание. Решите уравнения:

1).log₂₊log₂(х²-25)=0. Ответ:х=6.

2) 3^х+1=5^х-1. Ответ: log_5∕315.

3)log_2x+1(5+8x-4x²)+log_5-2x(1+4x+4x²)=4.Ответ: 0,5; 1.

4)2+6log₈x=log₂(6х+18).

5)log₃x+log₉x+log₂₇x=.

Литература

1.А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа» -учебник, задачник 10-11 классы.

2. «Тренировочные задания ЕГЭ повышенной сложности». Г.И.Ковалева и др. «Учитель» Волгоград

3. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», лекции 5-8.

4. «Математика ЕГЭ. Эффективная подготовка» Л.Д.Лаппо, М.А.Попов «Экзамен» Москва.