Методы решения квадратных уравнений, 8 класс

Организационная информация

Тема урока

Квадратные уравнения: методы решения.

Предмет

Алгебра.

Класс

Автор урока

Шамшина Наталья Васильевна

Республика/край, город/поселение

Воронежская область, п.г.т.Анна

Методическая информация

Тип урока

Урок формирования знаний.

Цели урока

Познакомить учащихся с общими и специальными методами решения квадратных уравнений.

Задачи урока

Образовательные: повторить - определения квадратного уравнения, приведённого квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, алгоритмы их решения - формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и обратную).

знать - виды и суть общих и специальных методов решения квадратных уравнений, фамилии учёных, связанных с открытиями в области квадратных уравнений, уметь - выбирать рациональный способ решения квадрат ных уравнений; делать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и отбор учебного материала.

Воспитательные: воспитывать ответственность, инициативность, настойчи вость, дисциплинированность, взаимопомощь.

Развивающие: развивать логическое мышление, внимание, умение аргу ментировать, делать выводы, умение работать в группе; расширять кругозор, формировать грамотность математи ческой речи, интерес к математике.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

• Повторят определения квадратного уравнения, приведён
ного квадратного уравнения, неполного квадратного урав
нения, алгоритмы их решения - формулы дискриминанта и
корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и
обратную).

• Приобретут знания о видах и сути общих и специальных
методов решения квадратных уравнений; об учёных, сде
лавших открытия в области квадратных уравнений.

• Закрепят коммуникативные умения, умения выбирать
рациональный способ решения квадратных уравнений; де
лать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и
отбор учебного материала.

• Получат развитие: логическое мышление, внимание, уме
ние аргументировать, делать выводы, умение работать в
группе; математическая грамотная речь; такие качества
как ответственность, инициативность, настойчивость, дис
циплинированность.

Необходимое оборудование и материалы

Мультимедийный проектор, компьютер, экран, листы самоконтроля для каждого ученика (образец см. презентацию).

Подробный конспект урока

Мотивация учащихся

В начале урока учитель знакомит учащихся с целями и задачами урока, правилами работы на уроке

Ход и содержание урока

Предварительная подготовка.

За неделю до урока ученики делятся учителем на группы (разноуровневые). Каждая группа получает задание (с комментариями и рекомендациями учителя) - рассмотреть один из специальных или общих методов решения квадратных уравнений, а также сделать презентацию по этому материалу. Перед представлением на уроке проделанной работы группы отчитываются перед учителем (контролируется участие каждого ребёнка), получают у него консультации, а также решают вопрос о том, кто будет представлять группу на уроке.

Ход урока.

I. Организационный момент, (формирование мотивации работы учащихся). Учитель:

приветствует учащихся,
проверяет готовность к уроку,
объявляет тему «Специальные и общие способы решения квадратных уравнений»,
объявляет цели урока,
озвучивает план работы (слайд - 1-3):

• объясняет правила заполнения листа самоконтроля.

Приложения к уроку - «Лист самоконтроля», буклет «Способы решения квадратных уравнений».

П. Теоретическая разминка (актуализация знаний). Форма работы: фронтальная.

Ученики отвечают на вопросы теоретической разминки, которые размещены на слайде 4:

виды квадратных уравнений;
определение неполных квадратных уравнений;
виды неполных квадратных уравнений;
способы решения неполных квадратных уравнений;
приведенное квадратное уравнение.

Проверка ответов осуществляется с помощью слайдов № 12-15 и устное закрепление (слайды №35-37 по ссылкам). После этого ученики ставят отметку в листе самоконтроля.

III. Энциклопедия квадратных уравнений. Рассматриваются общие и специальные методы решения на слайдах №5 и №6. Общие методы:

• Метод выделения квадрата двучлена (слайд 21 и 28).

Суть метода: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Используются формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:(а + b)² = a² + 2ab + b², (a- b)² = a²- 2ab + Ь². Иногда имеет смысл применить формулу разности квадратов.

Пример. Решим уравнение х +6х -9 = 0.

Зх²+6х-9 = 0,

х²+2х-3 = 0,

(х+1)²- 4 = 0,

(x+l)² = 4,

x+ 1=2 и х+ 1 = - 2,

x = 1, x = - 3.

Ответ: - 3; 1.

Примечание: метод можно применять для любых квадратных уравнений, но он не всегда

удобен в использовании.

• С помощью формул дискриминанта (D и D₁) и корней квадратного уравнения (слайд
17-19).

• Метод разложения на множители (слайд 24 и 32).

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)*В(х) = 0, где

А(х) и В(х) - многочлены относительно х.

Способы: вынесение общего множителя за скобки; использование формул сокращенного умножения; способ группировки.

Пример. Решите уравнение Зх² + 6х - 9 = 0.

Зх²+6х-9 = 0,

Зх²+9х-Зх-9 = 0,

(Зх² - Зх) + (9х- 9) = 0,

Зх(х-1) + 9(х-1) = 0,

(х-1)(Зх+9) = 0,

x - 1 = 0 или Зх + 9 = 0,

х=1, Зх = -9,

х = -3.

Ответ: -3, 1.

• Графический метод (слайд 26 - 27).

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций у = f(x), у = g(x) в одной прямоугольной системе координат и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Применение этого метода при решении квадратного уравнения Зх² +6х -9 = 0. Построим график функции у=3х².

-1

-2

-3

-27

Графиком является парабола, "ветви" которой направлены вверх, (0;0) - вершина параболы, график симметричен относительно оси ординат.

Построим график функции у = -6х + 9. Линейная функция. Графиком является прямая.

Точки пересечения: А(1;3) и В(-3;27).

Ответ: -3;1.

Графический метод удобен для нахождения количества корней.

применение теоремы, обратной теореме Виета.

Решить уравнение Зх +6х-9 = 0на доске с помощью теоремы, обратной теореме Виета Зх²+6х-9 = 0,

х² + 2х-3 = 0,

x₁ + х₂ = - 2,

x₁ х₂ = - 3,

х, =-3,

x₂= 1.

Ответ: x₁ = - 3, х₂ = 1.

• Метод "переброски" старшего коэффициента (слайд 22, 29).
Суть метода: известно, что корни квадратных уравнений ax² + bx + c = 0 и у + by + ас = 0 связаны соотношениями: x_{1 =}y₁/a, x₂ = y₂/a

Поэтому иногда удобно решать не данное уравнение ах² + bх + с = 0, а приведённое у²+ by + ас = 0, которое получается из данного "переброской" коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение Зх²+ 6х -9 = 0.

Заменим данное уравнение приведённым квадратным уравнением с "переброской" коэффициента а: у² +6у - 27 = 0. D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 3; - 9, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 1; - 3.

Ответ: - 3; 1.

Примечание: метод применяется для квадратных уравнений с "удобными" коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

• По свойству коэффициентов. Теоремы (слайды 23, 30).

Теорема 1. Если в квадратном уравнении а + b + с = 0, то один из корней равен 1, а второй по

теореме Виета равен c/a.

Пример. Решите уравнение Зх + 6х - 9 = 0.

Зх²+6х-9 = 0,

а= 3,b = 6, с = -9,

а + b+ с = 3 + 6 - 9 =0,

x₁ = 1,

x₂= c/a = - 3

Ответ: - 3; 1.

IV. Физкультминутка (слайд 41 - 44).

V. Исторический справка (начало - слайд 7-9, 46). История алгебры уходит своими корнями в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая...

Сколько ж было обезьянок.

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение: