Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3»

Островского района Псковской области

Конспект урока по алгебре
в 9 классе

«Арифметическая прогрессия»

подготовила

учитель математики

Фадеева Любовь Анатольевна

г. Остров

2013

Урок обобщения, систематизации знаний по алгебре в 9 классе

(урок рассчитан на 2 часа)

Тема урока: «Арифметическая прогрессия»

Цель урока:

• Oбеспечить повторение материала темы,

• проверить усвоение определения арифметической прогрессии, знание основных формул арифметической прогрессии,

• закрепить умение применять формулы при решении различных задач.

• совершенствовать умение учащихся применять полученные знания при подготовке в ГИА по математике.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Устная работа.

1. Какие из приведенных ниже последовательностей являются арифметическими прогрессиями, объясните свой ответ.

а) –2; 0; 2; 4; …

б) –5; 5; –5; 5; …

в) 2; 2,5; 3; 3,5; 4; …

г) 1; 4; 9; 16; …

д) 1; …

е) 0; 10; 20; 30; 40; …

ж) а; а + 3; а + 6; а + 9; …

Ответ: а), в), е), ж)

2. Являются ли следующие примеры арифметическими прогрессиями? Поясните свой ответ.

- последовательные натуральные числа,

- последовательность положительных нечетных чисел,

- последовательность отрицательных четных чисел,

- постоянная последовательность, например 5, 5, 5, 5,

Ответ: все примеры являются арифметическими прогрессиями.

На доске записаны основные формулы арифметической прогрессии, назовите, что это за формулы:

–Ответ: формула п-го члена

арифметической прогрессии.

а_{п + 1} – а_п = d.

Ответ: Формула для нахождения разности арифметической прогрессии

Ответ: свойство арифметической прогрессии

Ответ: аналитическая формула арифметической прогрессии

Ответы: – формулы суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

3. Выполнение упражнений.

Задания на «прямое» применение формул арифметической прогрессии:

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а) х_п = 2п + 1;

б) у_п = п² – п;

в) z_n = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

а) 17; 13; 9; …

б) (х_п), если х₁₀ = 4, х₁₂ = 14;

в) (у_п), если у_п = 3п – 0,5.

3. (а_п) – арифметическая прогрессия, вычислите:

а) а₇, если а₁ = 1, d = –2;

б) а₁₀, если а_п = 17 · п – 100;

в) а₁₂, если а₁ = 0, а₂ = 3.

4. Вычислите сумму первых n членов арифметической прогрессии:

а) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а₁ = 16,5; d = –1,5.

б) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой а_п = 3п + 2.

в) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 8, а₇ = 26.

Задания на нахождение различных величин арифметической прогрессии при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Решение: (а_п) – арифметическая прогрессия;

а_п = 4п, а_п ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а₁ = 4; а₇₅ = 4 · 75 = 300;

S₇₅ = = 11400.

О т в е т: 11400.

2. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (c_n), если c₇=18,5 и c₁₇=-26,5

Решение: (с_п) – арифметическая прогрессия;

с₇ = 18,5; с₁₇ = –26,5.

S₂₀ = · 20; S₂₀ = · 20 = 55.

О т в е т: 55.

Решение задач на применение арифметической прогрессии:

1. Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?

Решение: а₁=80, d=17, а₈=?

а₈=а₁+d(n-1)

a₈=80+17(8-1)

a₈=199

Ответ: 199 деталей изготовит бригада в августе.

2. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.

Решение. а₁=5, d=10, S₅=?

а₅=а₁+4d; а₅=45.

S₅=(a₁+a₅)·n:2; S₅=(5+45)·5:2=125;

Ответ: 125м глубина шахты.

3. При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение. 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, где а₁=1, d=1,а_n=12. Надо найти n.

а_n=a₁+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.

S_n=(a₁+a_n)∙n:2; S_n=(1+12)·12:2; S_n=78.

Ответ: В одной кладке находится 78 бревен.

4. Дифференцированная самостоятельная работа.

Учащиеся сами выбирают задания определенного уровня из предложенных и работают за партами самостоятельно, при необходимости обращаясь к учителю. После выполнения всех заданий, производится самопроверка. Выставляются баллы в соответствии с выбранным уровнем.

Базовый уровень (на «3»)

Пусть (в_n) - арифметическая прогрессия;

1) в₁=11, d=3. Найдите в₁₁.

2) в₁=137, d= -7. Найдите S₁₀.

3) в₄₃= - 208, d= - 7. Найдите в₁.

4) в₁=28, в₁₅= - 21. Найдите d.

Задания на "4".

1. Найти разность арифметической прогрессии: а₁ = 12, а₅ = 40

2. Найти первый член арифметической прогрессии: а₇ = 9, d = 40

3. Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13,: Найдите номер этого члена.

4. Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии. а₁₃ = 10, а₂₀ = 38

Задания на "5".

1. Найти а_n, если а₁ = 40, n = 20, S₂₀ = 40 арифметической прогрессии.

2. В арифметической прогрессии 59, 55, 51,: Найти сумму всех её положительных членов.

3. Составьте формулу n - го члена арифметической прогрессии. а₃ = 12, а₁₀ = 40

4. Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (а_n), заданной формулой n - го члена а_n = - 2n + 8

Ответы к самостоятельной работе:

№ задания

Базовый уровень

На «4»

На «5»

1

41

7

-36

2

1055

-231

465

3

86

11

4n

4

-3,5

34

-690

5. Итоги урока.

В ходе беседы с учащимися обсуждаются следующие вопросы:

- какие основные формулы необходимо знать при решении задач на арифметическую прогрессию?

- какие задания вызвали затруднения при решении?

VI. Домашнее задание: выполнить тест (тесты оформлены на отдельных листах для каждого учащегося).

Задание №1

Укажите пятый член арифметической прогрессии:
6; 7; 8; 9; 10; 11; ...
1) 11
2) 10
3) 8
4) 7
Задание №2
Укажите разность арифметической прогрессии:
6; 6,1; 6,2; ...
Запишите число:
___________________________
Задание №3
Укажите члены арифметической прогрессии, заданной формулой a_n = 4n - 1:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) -1
2) 7
3) 11
4) 13
Задание №4
Запишите четвертый член арифметической прогрессии, если a₁ = 2, d = 3
Запишите число:
___________________________

Задание №5
Запишите шестьдесят первый член арифметической прогрессии, если а₁ = 20, d = 1,5:
Запишите число:
___________________________
Задание №6
Найдите сумму первых восьмидесяти членов арифметической прогрессии, если a₁ = 2, a₈₀ = 58 :
Запишите число:
___________________________
Задание №7
Арифметические прогрессии заданы формулами n-го члена. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) x_n = 4n - 9
2) x_n = -4n + 1
3) x_n = 2n + 4
4) x_n = 38 + 4n
Задание №8
Вопрос: В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 28
2) 28 + n
3) 26 + 2n
4) 26n

Задание №9
Дана арифметическая прогрессия: 20; 15; 10; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) -5
2) 0
3) -10
4) -1
Задание №10
Вопрос:
Дана арифметическая прогрессия: -50; -25; 0; … . Найдите первый положительный член этой прогрессии.
Запишите число:
___________________________

Ответы к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

0,1

2,3

11

110

2400

1,4

3

1

25

Список использованной литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Алгебра 9 класс. – М.: «Просвещение» 2010 г.

2. Ященко И.В, Шестаков С.А. ГИА 2013 Математика 9 класс. – М.:»Экзамен» 2013

3. Семенов А.В., Трепалин А.С., Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2013., - М.:»Интеллект-центр» 2013 г.

4. Под ред. Мальцева Д.А., Математика 9 класс. Итоговая аттестация 2013 – М.: «Народное образование», 2013 г.