Задача 15. Найти производную .

15.1.

x'= 6t*t³-3t²(3t²+1) = -t²-1

3t⁶ t⁴

y'= cos(t³/3+t)(t²+1)

y'_x= cos(t³/3+t)(t²+1)t⁴ = -t⁴cos(t³/3+t)

-t²-1

15.2.

x'= -t _

√(1-t2)

y'= 1 _

2√(1+t)cos²√(1+t)

y'_x= -√(1-t²) = -√(1-t²) _

2t√(1+t)cos²√(1+t) 2tcos²√(1+t)

15.3.

x'= 1-t _

√(2t-t²)

y'= 2 _

3 ³√(1-t)⁵

y'_x= 2√(2t-t²) = 2√(2t-t²) _

3 ³√(1-t)⁵(1-t) 3 ³√(1-t)²(1-t)²

15.4.

x'= cost = 1

√(1-sin²t)

y'= sint = 1

√(1-cos²t)

y'_x= 1

15.5.

x'= 1+t/√(t²+1) = 1 _

t+√(t²+1) √(t²+1)

y'= √(t²+1)+ t² = 2t²+1_

√(t²+1) √(t²+1)

y'_x= (2t²+1)√(t²+1) = 2t²+1

√(t²+1)

15.6.

x'= 1-t _

√(2t-t²)

y'= 1 = 1 _

√(1-(t-1)²) √(2t-t²)

y'_x= √(2t-t²) = 1_

√(t2-t²)(1-t) 1-t

15.7.

x'= -2e^t _ = -2e^t _

sin²(2e^t) 4sin²e^tcos²e^t

y'= e^t = e^t _

tge^tcos²e^t sine^tcose^t

y'_x= 4e^t sin²e^tcos²e^t = -2sine^tcose^t

-2e^tsine^tcose^t

15.8.

x'= -1 = -1 _

ctgt sin²t sint cost

y'= 2sint

cos³t

y'_x= -cos³t = -1/2*ctg²t

2sin²tcost

15.9.

x'= e^t/2_

2(1+e^t)

y'= e^t _

2√(1+e^t)

y'_x= 2e^t(1+e^t) = √(e^t+e^2t)

2e^t/2√(e^t+1)

15.10.

x'= √(1+t)*√(1+t)*-1-t-1+t = -1_

√(1-t) 2√(1-t) (1+t)² 1-t²

y'= -t _

√(1-t²)

y'_x= t(1-t²) = t√(1-t²)

√(1-t²)

15.11.

x'= 2t3_

1-t4

y'= (1+t²)(-2t(1+t²)-2t(1-t²)) = -2

√(1+2t²+t⁴-1+2t²-t⁴)(1+t²)

y'_x= -2(1-t⁴) = t⁴-1

2t³ t³

15.12.

x'= -t _

√(1-t²)

y'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) = 1 _

1-t² (1-t²)^3/2

y'_x= -√(1-t²)_ = 1_

t(1-t²)^3/2 t³-t

15.13.

x'= -t = -1 _

√(1-1+t²)√(1-t²) √(1-t²)

y'= -2arccost

√(1-t²)

y'_x= 2arccost√(1-t²) = 2arccost

√(1-t²)

15.14.

x'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) = 1 _

1-t² (1-t²)^3/2

y'= t *-t²/√(1-t²)-1-√(1-t²) = -1

1+√(1-t²) t² t

y'_x= √(1-t²)

t²

15.15.

x'= -4(1+cos²t)costsint

y'= -sin³t-2cos²tsint = -1-cos²t

sin⁴t sin³t

y'_x= 1+cos²t = 1 _

4sin³t(1+cos²t)costsint 4sin⁴tcost

15.16.

x'= (1+t)(-1-t-1+t) = -2_

(1-t)(1+t)² 1-t²

y'= -t _

√(1-t²)

y'_x= -t (1-t²)_ = t√(1-t²)

-2√(1-t²) 2

15.17.

x'= 1 = 1 _

t²√(1-1/t²) t√(t²-1)

y'= t + t = 2t _

√(t²-1) √(t²-1) √(t²-1)

y'_x= 2t²√(t²-1) = 2t²

√(t²-1)

15.18.

x'= 1_

tln²t

y'= t *-t²/√(1-t²)-1-√(1-t²) = -1

1+√(1-t²) t² t

y'_x= -tln²t = -ln²t

t

15.19.

x'= 1 _

2√t√(1-t)

y'= 1 _

4√t√(1+√t)

y'_x= 2√t√(1-t) = √(1-√t)

4√t√(1+√t) 2

15.20.

x'= 2arcsint

√(1-t²)

y'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) = 1 _

1-t² (1-t²)^3/2

y'_x= √(1-t²) = 1 _

2(1-t²)^3/2arcsint 2(1-t²)arcsint

15.21.

x'= √(t²+1)+t²/√(t²+1) = 2t²+1

√(t²+1)

y'= t *-t²/√(1-t²)-1-√(1-t²) = -1

1+√(1-t²) t² t

y'_x= -√(t²+1) = -1 _

(2t²+1)√(t²+1) 2t²+1

15.22.

x'= 1/(1+t²)

y'= (t+1)(t(t+1)/√(t²+1)-√(1+t²)) = t-1 _

√(1+t²)(1+t) √(t²+1)(1+t)

y'_x= (t-1)(1+t²) = (t-1)√(1+t²)

√(1+t²)(t+1) 1+t

15.23.

x'= -2t/(1-t²)

y'= -t = -1/√(1-t²)

√(1-1+t²)√(1-t²)

y'_x= 1-t² = √(1-t²)

2t√(1-t²) 2t

15.24.

x'= (t-1)²(t-1-t-1) = -1_

((t-1)²+(t+1)²)(t-1)² t²+1

y'= -t = -1/√(1-t²)

√(1-1+t²)√(1-t²)

y'_x= t²+1_

√(1-t²)

15.25.

x'= √(1+sint)√(1+sint)(-cost(1+sint)-cost(1-sint)) = -1_

2√(1-sint)√(1-sint)(1+sint)² cost

y'= tgt/cos²t-tgt= tg³t

y'_x= -tg³tcost

15.26.

x'= 1-2t _ t√t(-t-1+t) = √(1-t)

2√(t-t²) 2(t+1-t)√(1-t)t² 2√t

y'= 1 + arcsin√t _ √(1-t) = arcsin√t

2√t 2√(1-t) 2√t√(1-t) 2√(1-t)

y'_x= 2√t arcsin√t = √t arcsin√t

2(1-t) (1-t)

15.27.

x'= 1 = 1 _

tgtcos²t sintcost

y'= -2cost

sin³t

y'_x= -2cost = -2_

sin⁴tcost sin⁴t

15.28.

x'= (2tlnt+t)(1-t²)+2t³lnt – 2t = 2tlnt

(1-t²)² 2√(1-t²) (1-t²)

y'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) arcsint + t/(1-t²) – t/(1-t²) = arcsint

1-t² (1-t²)^3/2

y'_x= arcsint(1-t²)² = arcsint√(1-t²)

2tlnt(1-t²)^3/2 2tlnt

15.29.

x'= 2e^{sec^2t}sec²t tgt= 2e^{sec^2t}sint

cos³t

y'= lncost _ sint + 1/cos²t-1= lncost-sintcost+sin²t

cos²t cost cos²t

y'_x= 1/2*e^{-sec^2t}ctgt(lncost-sintcost+sin²t)

15.30.

x'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) arcsint + t/(1-t²) – t/(1-t²) = arcsint

1-t² (1-t²)^3/2

y'= √(1-t²)+t²/√(1-t²) = 1 _

1-t² (1-t²)^3/2

y'_x= (1-t²)^3/2 = 1 _

(1-t²)^3/2 arcsint arcsint

15.31.

x'= 1+t/√(t²+1) = 1 _

t+√(t²+1) √(t²+1)

y'= t _ t *-t²/√(1-t²)-1-√(1-t²) = t + 1 = t²+2√(1-t²)

2√(1+t²) 1+√(1-t²) t² 2√(1+t²) t 2t√(1-t²)

y'_x= (t²+2√(1-t²))√(1+t²)

2t√(1-t²)