Задание 1

В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y (t)

43

54

64

41

45

58

71

43

49

62

74

45

54

66

79

48

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:

_{Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:}

Таблица 1

t

Y (t)

t-tср

(t-tср) 2

Y-Yср

(Y-Yср) х (t-tср)

1

43

-4

12

-9

33

2

54

-3

6

2

-4

3

64

-2

2

12

-17

4

41

-1

0

-11

6

5

45

1

0

-7

-4

6

58

2

2

6

8

7

71

3

6

19

47

8

43

4

12

-9

-33

36

419

0

42

0

36

Произведем расчет:

Получим линейное уравнение вида:

Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t

Y (t)

Y_p (t)

1

43

49,42

2

54

50,26

3

64

51,11

4

41

51,95

5

45

52,80

6

58

53,64

7

71

54,49

8

43

55,33

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

_{Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:}

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:

Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса

t

Y (t)

a (t)

b (t)

F (t)

Yp (t)

Абс. погр.,

E (t)

Отн. погр.,

в%

0

48,57

0,85

0,8612

-

-

1

43

49,57

0,89

0,8650

42,56

0,44

1,03

2

54

50,35

0,86

1,0746

54,39

-0,39

0,72

3

64

50,88

0,76

1,2658

65,43

-1,43

2,24

4

41

51,85

0,82

0,7877

40,44

0,56

1,37

5

45

52,48

0,76

0,8605

45,56

-0,56

1,24

6

58

53,46

0,83

1,0807

57,21

0,79

1,36

7

71

54,83

0,99

1,2833

68,73

2,27

3, 20

8

43

55,45

0,88

0,7803

43,97

-0,97

2,26

9

49

56,52

0,94

0,8644

48,47

0,53

1,07

10

62

57,43

0,93

1,0801

62,09

-0,09

0,15

11

74

58,15

0,87

1,2769

74,89

-0,89

1, 20

12

45

58,61

0,74

0,7728

46,05

-1,05

2,34

13

54

60,29

1,03

0,8832

51,31

2,69

4,99

14

66

61,25

1,01

1,0785

66,23

-0,23

0,34

15

79

62,14

0,97

1,2735

79,50

-0,50

0,63

16

48

62,81

0,88

0,7676

48,77

-0,77

1,61

25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t

E (t)

Точка поворота

E (t) ²

[E (t) - E (t-1)] ²

E (t) xE (t-1)

1

0,44

-

0, 194

-

-

2

-0,39

0

0,150

0,69

-0,17

3

-1,43

1

2,05

1,09

0,55

4

0,56

1

0,32

3,98

-0,81

5

-0,56

1

0,31

1,26

-0,32

6

0,79

0

0,62

1,81

-0,44

7

2,27

1

5,17

2,21

1,79

8

-0,97

1

0,95

10,54

-2,21

9

0,53

1

0,28

2,24

-0,51

10

-0,09

0

0,01

0,38

-0,05

11

-0,89

0

0,78

0,63

0,08

12

-1,05

1

1,11

0,03

0,93

13

2,69

1

7,26

14,03

-2,83

14

-0,23

0

0,05

8,52

-0,61

15

-0,50

0

0,25

0,07

0,11

16

-0,77

-

0,60

0,08

0,38

Сумма

0,41

8,00

20,09

47,57

-4,09

2. Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение :

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.

Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:}

_{Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.}

_{2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):}

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,20 < r_табл. = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней ряда остатков ;

S - среднее квадратическое отклонение.

E_max - E_min = 2,69 - (-1,43) = 4,13

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p (t) на год.

4. Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:

,

где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p (t) для: t = 17, 18,19 и 20.

5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис.1. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни

Цены

макс.

мин.

закр.

1

858

785

804

2

849

781

849

3

870

801

806

4

805

755

760

5

785

742

763

6

795

755

795

7

812

781

800

8

854

791

853

9

875

819

820

10

820

745

756

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R,% К,% D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где k = 2/ (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

,

где - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.

Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Дни

Цены закр

ЕМА_t

МОМ_t

ROC_t

1

804

804,00

-

-

2

849

819,00

-

-

3

806

814,67

-

-

4

760

796,44

-

-

5

763

785,30

-

-

6

795

788,53

-9,0

98,88

7

800

792,35

-49,0

94,23

8

853

812,57

47,0

105,83

9

820

815,05

60,0

107,89

10

756

795,36

-7,0

99,08

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

,

где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Таблица 2. Результаты расчета индекса относительной силы

Дни

Цены закрытия

Изменение (+/-)

RSI

1

804

45

-

2

849

-43

-

3

806

-46

-

4

760

3

-

5

763

32

-

6

795

5

47,3

7

800

53

31,0

8

853

-33

66,9

9

820

-64

73,8

10

756

45

48,1

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

_,

_где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.}

,

_где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

_{L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.}

_{Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины} и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Таблица 3. Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни

Цены

% K_t

% R_t

%D_t

макс

мин

закр

1

858

785

804

-

-

2

849

781

849

-

-

-

3

870

801

806

-

-

-

4

805

755

760

-

-

-

5

785

742

763

16,41

83,59

-

6

795

755

795

41,41

58,59

-

7

812

781

800

45,31

54,69

34,38

8

854

791

853

99,11

0,89

60,33

9

875

819

820

58,65

41,35

66,22

10

820

745

756

8,46

91,54

53,33

Задание 3

3.1 Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:

3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:

3.1 1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.

3.1 2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.

3.1 3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.

3.2 Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.

Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

P = S / (1 + ni) = 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.

3.3 Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

D = S_nd = 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.

P = S - D = 5 000 000 - 687 500,00= 4 312 500,00 руб.

3.4 В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

S = P x (1+i) ⁿ = 5 000 000 х (1+0,55) ⁵ = 44 733 048,44 руб.

3.5 Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m) ^N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) ²⁰ = 65 765 497,67 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.

Решение:

i_э = (1 + j / m) ^{m -} 1 = (1 + 0,55/4) ⁴ - 1 = 0,6742, т.е.67,42%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.

Решение:

j = m x [ (1 + i_э) ^1/m - 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (^1/4) - 1] = 0,46316, т.е.46,316%.

3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.

Решение:

руб.

3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S (1 - d_сл) ⁿ = 5 000 000 x (1 - 0,55) ⁵ = 92 264,06 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.

3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

руб.