2

1000

0,20000

100,0000

2.3 Графическое изображение рядов распределения

Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar ).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar

2.4 Точечные оценки средних показателей

Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):

(2.4)

где – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).

(2.5)

Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):

(2.6)

где – середина -го интервала;

– статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):

(2.7)

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка

Математическое ожидание

Дисперсия

Простой ряд

Интервальный ряд

Простой ряд

Интервальный ряд

()

16,254

16,279

27,849

28,517

()

16,189

16,174

26,259

26,598

()

15,950

16,006

27,608

28,330

()

16,668

16,936

31,125

31,113

()

15,989

16,007

30,406

31,242

()

15,792

15,740

27,059

28,636

Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.

Рисунок 2.25 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.26 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.27 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.28 - Зависимость от объема выборки для

Рисунок 2.29 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.30 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.31 - Зависимость от номера эксперимента по

Рисунок 2.32 - Зависимость от номера эксперимента по

В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины и случайной величины .

Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для и

2.5 Доверительные интервалы

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

(2.7)

где – математическое ожидание генеральной совокупности;

- доверительная вероятность;

- оценка математического ожидания;

(2.8)

где - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).

(2.10)

- оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).

Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).

(2.12)

где – дисперсия генеральной совокупности;

– оценка дисперсии.

– квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:

Для равномерного:

Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,378

17,130

15,207

17,301

15,053

17,455

14,739

17,769

14,481

18,027

-грубый метод

Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,376

17,132

15,207

17,301

15,058

17,450

14,753

17,755

14,508

18,000

-точный метод

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,811

16,566

15,738

16,639

15,673

16,704

15,542

16,835

15,408

16,940

-грубый метод

Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,795

16,553

15,722

16,626

15,657

16,691

15,526

16,822

15,420

16,928

-точный метод

Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,677

16,224

15,624

16,276

15,577

16,323

15,483

16,418

15,447

16,565

-грубый метод

Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,729

16,283

15,676

16,336

15,629

16,383

15,533

16,479

15,456

16,556

-точный метод

Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,742

17,595

15,561

17,775

15,399

17,938

15,066

18,270

15,084

18,788

-грубый метод

Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ ,

16,018

17,854

15,843

18,029

15,687

18,185

15,369

18,503

15,112

18,760

-точный метод

Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,583

16,396

15,505

16,474

15,435

16,544

15,294

16,685

15,177

16,837

-грубый метод

Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,596

16,418

15,517

16,497

15,447

16,567

15,305

16,709

15,190

16,824

-точный метод

Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,521

16,063

15,469

16,115

15,423

16,161

15,329

16,255

15,178

16,302

-грубый метод

Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,462

16,018

15,408

16,072

15,361

16,119

15,264

16,216

15,187

16,293

Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов

Длина интервала

()

1,752

2,094

2,402

3,03

3,546

()

0,755

0,901

1,031

1,293

1,532

()

0,547

0,652

0,746

0,935

1,118

()

1,853

2,214

2,539

3,204

3,704

()

0,813

0,969

1,109

1,391

1,66

()

0,542

0,646

0,738

0,926

1,124

В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,059

32,793

24,452

33,693

23,926

34,524

22,914

36,280

22,095

37,873

-грубый метод

Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,084

30,950

25,619

31,415

25,205

31,829

24,362

32,672

23,681

33,353

-точный метод

Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,373

30,586

22,807

31,426

22,316

32,201

21,372

33,838

20,608

35,324

-грубый метод

Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ ,

24,329

28,867

23,895

29,301

23,508

29,688

22,722

30,474

22,088

31,108

-точный метод

Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ ,

22,258

29,128

21,719

29,928

21,252

30,666

20,354

32,225

19,626

33,640

-грубый метод

Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,169

27,491

22,756

27,904

22,388

28,272

21,639

29,021

21,035

29,625

-точный метод

Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,340

35,779

26,678

36,761

26,104

37,667

25,000

39,582

24,106

41,321

-грубый метод

Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ ,

28,459

33,767

27,951

34,275

27,499

34,727

26,579

35,647

25,837

36,389

-точный метод

Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,575

34,777

25,931

35,732

25,374

36,613

24,301

38,474

23,431

40,164

-грубый метод

Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,662

32,822

27,168

33,316

26,729

33,755

25,835

34,649

25,114

35,370

-точный метод

Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,163

32,930

24,554

33,834

24,026

34,668

23,010

36,431

22,187

38,031

-грубый метод

Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,193

31,079

25,726

31,546

25,310

31,962

24,463

32,809

23,780

33,492

В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.

Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов

Величина интервала

()

7,734

9,241

10,598

13,366

15,778

()

7,213

8,619

9,885

12,466

14,716

()

4,322

5,148

5,884

7,382

8,590

()

8,439

10,083

11,563

14,582

17,215

()

8,202

9,801

11,239

14,173

16,733

()

7,767

9,280

10,642

13,421

15,844

Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]

2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)

Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):

(2.13)

где – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

– величина интервала группировки;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.

При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером .

При четном n медиана есть полусумма значений с номерами и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):

(2.14)

где – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина интервала группировки;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):

(2.15)

На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):

(2.16)

(2.17)

С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).

(2.18)

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов);

б) нажать кнопку More statistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

• Mean – выборочное среднее;

• Median – медиана;

• Standard Deviation – стандартное отклонение среднего значения;

• Variance – выборочная дисперсия;

• Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

• Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.

Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка

Медиана

Коэф. ассиметрии

Эксцесс

Коэф. вариации

()

16,587

-0,009

-1,017

0,326

()

16,501

-0,058

-1,160

0,317

()

16,119

0,007

-1,192

0,329

()

16,531

-0,086

-0,449

0,335

()

16,013

-0,022

-0,138

0,345

()

15,795

-0,080

0,170

0,329

Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

Случайная величина имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.

2.7 Оценка однородности выборки

Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины при равном 100, 500, 1000 и при n равном 1000.

Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).

(2.19)

где – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

– значение ряда;

– предыдущее значение ряда;

– среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

Произведя соответствующие расчёты в Microsoft Excel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин и – однородны.

2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения

2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.

Таблица 2.37 – Анализ числовых характеристик положения и вариации

равномерный закон (СВ )

нормальный закон (СВ )

выборка

выборка

100

16,254

16,587

-0,009

-1,017

100

16,668

16,531

-0,449

200

16,369

15,840

0,034

-1,264

200

15,688

15,703

0,712

300

16,355

16,335

-0,092

-1,270

300

15,696

15,655

0,472

400

15,658

15,581

0,056

-1,254

400

16,770

16,954

-0,196

500

16,189

16,501

-0,058

-1,160

500

15,989

16,013

-0,138

600

16,048

15,897

-0,022

-1,158

600

16,049

16,008

-0,077

700

15,964

15,956

-0,017

-1,159

700

16,319

16,576

-0,128

800

15,867

15,649

0,072

-1,218

800

15,990

16,082

0,172

900

16,132

16,028

-0,022

-1,243

900

15,885

15,749

-0,092

1000

15,950

16,119

0,007

-1,192

1000

15,792

15,795

0,170

Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины и имеют практически равное значение. Для выборки значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины нормальному распределению, а случайной величины равномерному.

2.9 Определение закона распределения случайных величин

2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы

По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.

2.9.2 Определение оценок параметров распределений

Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).

(2.23)

(2.24)

где – теоретический начальный момент -того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24):

.

– статистическая оценка соответствующего теоретического момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.25):

(2.25)

– теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):

(2.26)

– статистическая оценка теоретического центрального момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.27):

(2.27)

Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального – одно.

Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):

(2.28)

Из системы 2.28 нужно найти параметры и .

В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.

Таблица 2.38 – Значения параметров и

(метод

моментов)

(метод максимального

правдоподобия)

∆

(метод

моментов)

(метод максимального

правдоподобия)

∆

6,993

6,996

0,003

25,201

25,542

0,341

6,984

7,313

0,329

25,110

25,065

0,045

6,711

6,849

0,138

25,237

25,051

0,186

Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина распределена по равномерному закону.

Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):

(2.29)

где – выборка,

– вектор параметров.

Необходимо найти такие значения вектора , чтобы функция достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции , равной логарифму натуральному от :

(2.30)

Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.

Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)

(2.31)

где и – параметры распределения.

Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):

Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина действительно распределена равномерно.

2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.

: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

В качестве меры расхождения для критерия выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения вычисляется по формуле (2.20)

(2.20)

где – частота попадания в i-тый интервал;

– объем выборки;

– теоретическая вероятность попадания i-тый интервал:

(2.21)

Общая схема применения критерия :

1. Определение меры расхождения по формуле 2.20;

2. Задание уровня значимости ;

3. Определение числа степеней свободы по формуле 2.22.

, (2.22)

где – количество интервалов в интервальном ряду;

– число налагаемых связей, равное числу параметров

предполагаемого закона распределения

4. Область принятия основной гипотезы:

.

Выполнение в пакете STATISTICA.

В модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting. В поле Continuous Distributions представлены непрерывные распределения, а в поле Discrete Distributions - дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью)  Variable (выбрать переменную)  в поле Plot distribution выбираем Frequency distribution (частоты распределения)  в поле Kolmogorov-Smirnov test ставим No → установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии → Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46

Таблица 2.39 – Значения и χ2крит для случайных величин и

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина распределена по нормальному закону, а случайная величина не распределена по нормальному закону.

Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина распределена по равномерному закону, а случайная величина – по нормальному.

Заключение

В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICА.

В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, её однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона.

Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.

Перечень ссылок

случайный величина интервальный выборка

1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

2. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 365 с.: ил.

3. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 509 с.

4. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 397 с.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Unity, 2000. – 544 с.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

7. Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. - СПб.: Питер, 2001. - 656 с.

Приложение А

Генерация исходных данных СВ в пакете STATISTICA

Dim ADS As Spreadsheet

Dim STBReport As Report

Dim SUM As Double

Dim LOOP_CASE As Double

Dim I As Double

Sub Main

Set ADS = ActiveDataSet

Set STBReport = Reports.New

For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)

For I = 1 To n

SUM = 0

For L = 1 To 300

SUM = SUM + Uniform(1)

Next L

ADS.Value (LOOP_CASE, 1) = N * ((1 / 15) * SUM - 9)

Next I

NEXT_CASE:

Next LOOP_CASE

End Sub

Приложение Б

Интервальные ряды для СВ и

Таблица Д.1 - Интервальный ряд СВ ,

Частота

Кумул.

Процент

Кумул.

5,289175