БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

кафедра ЭТТ

РЕФЕРАТ на тему:

«Дифракционная структура изображения. Критерии качества оптического изображения»

МИНСК, 2008

Функция рассеяния точки в случае отсутствия аберраций

Предположим, что в оптической системе аберрации отсутствуют . Тогда зрачковая функция оптической системы будет выглядеть следующим образом:

, (1)

где – область зрачка в канонических координатах.

Будем считать, что пропускание равномерно по зрачку, то есть . Тогда, поскольку в канонических координатах зрачок всегда круглый, выражение (1) можно записать следующим образом:

. (2)

То есть зрачковая функция равна единице в пределах круга, и нулю на всей остальной области, и следовательно, математически описывается при помощи функции :

. (3)

Чтобы получить функцию рассеяния точки при отсутствии аберраций, нужно взять обратное преобразование Фурье от безаберрационной зрачковой функции, то есть от функции :

, (4)

где – функция Бесселя первого рода, первого порядка.

Картина ФРТ для безаберрационной оптической системы (рис.1) состоит из центрального максимума диаметром 1.22 канонических единиц и побочных максимумов – колец с шагом, постепенно приближающимся к 0.5 канонических единиц. Безаберационная ФРТ симметрично относительно оптической оси. Центральный максимум содержит 83.8% всей энергии (его высота равна единице), первое кольцо – 7.2% (высота 0.0175), второе 2.8% (высота 0.0045), третье 1.4% (высота 0.0026), четвертое 0.9%.

1.0

^h₀ ^

^_y

_x

1.22



A_y

_

-1.62 -1.12 -0.61 0 0.61 1.12 1.62

а) сечение

б) общий вид распределения

интенсивности (картина Эри)

Рисунок 1 - Функция рассеяния точки в отсутствие аберраций

Центральный максимум ФРТ называется диском Эри (Airy). Диаметр диска Эри в реальных координатах на изображении:

, (5)

где – апертура осевого пучка.

Диск Эри в общем случае может быть не круглым, если меридиональная и сагиттальная апертуры различны.

Из выражения (9.39) следует, что поскольку апертура для изображения ближнего типа не может быть больше показателя преломления, изображение точки для ближнего типа не может быть меньше длины волны.

Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ

На рис.2 показан вид ФРТ для различных функций пропускания. Если пропускание уменьшается к краям зрачка (2), то центральный максимум ФРТ расширяется, а кольца исчезают. Если пропускание увеличивается к краям зрачка (3), то центральный максимум сужается, а интенсивность колец увеличивается. Эти изменения по-разному влияют на структуру изображения сложного объекта, и, в зависимости от требований, используются различные функции пропускания, “накладываемые” на область зрачка. Это явление называется аподизацией.

1.0

_{}

1

1.0

h__

2

₁ ²

3



3

-1.12 -0.61 0 0.61 1.12



а) функция пропускания по зрачку

б) функция рассеяния точки

Рисунок 2 - Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ

Безаберационная ОПФ. Предельная пространственная частота

Оптическая передаточная функция вычисляется при помощи выражения для автокорреляции зрачковой функции. Для безаберрационной оптической системы волновая аберрация W=0, тогда интеграл автокорреляции будет выглядеть следующим образом:

, (6)

где – область интегрирования, показанная на рис.3.

_{ }

x

,

y

^_y

_



0

_

x

_-

x

,

y

_-

y

_

0

^_x

_

y

_x



0

_

x

,

y

_

Рисунок 3 - Области зрачков, смещенные относительно друг друга на

Таким образом, безаберрационная ОПФ пропорциональна площади перекрытия двух зрачков , которая является функцией пространственных частот. Из рис. 3 следует, что максимальная каноническая пространственная частота . Для более высоких частот площадь становится нулевой (рис.4).

Максимальной канонической пространственной частоте соответствует предельные реальные пространственные частоты:

. (7)

ОПФ

1

идеальная о.с.

безаберрационная о.с.

0

_

2

Рисунок 4 - Безаберрационная ОПФ.

Таким образом, для реальной оптической системы при отсутствии аберраций ОПФ не соответствует ОПФ идеальной системы, и всегда ограничена предельными частотами, обусловленными дифракцией света.

Критерии качества оптического изображения

Предельная разрешающая способность по Релею

Разрешающая способность определяет способность оптической системы изображать раздельно два близко расположенных точечных предмета.

Предельная разрешающая способность – это минимальное расстояние _R между двумя точками, при котором их изображение отличимо от изображения одной точки.

Критерий Релея гласит, что при провале в распределении интенсивности в изображении двух близких точек в 20% точки будут восприниматься как раздельные. Для этого необходимо, чтобы центральный максимум в изображении одной точки приходился бы на первый минимум в изображении другой (рис. 5). Для оптических систем при отсутствии аберраций канонических единиц.

20%



^_R

Рисунок 5 - Разрешение по Релею.

Разрешение по Релею удовлетворительно характеризует качество изображения астрономических телескопов, спектральных приборов, для которых предметами являются близко расположенные точки или линии, а также визуальных приборов (предназначенных для работы с глазом).

Разрешающая способность по Фуко

Критерий Фуко применяется для оценки качества изображения оптических систем, передающих объекты сложной структуры. Разрешающая способность R определяется как максимальная пространственная частота периодического тест-объекта, состоящего из черно-белых штрихов (миры Фуко), в изображении которого еще различимы штрихи. Разрешающую способность обычно определяют для миры единичного (абсолютного) контраста по графику ЧКХ оптической системы (рис. 6). Разрешающая способность R определяется для заданного контраста (обычно для контраста k=0.2).

1

k 

0.2

0

R

^R₀ ^2

_

Рисунок 6 - Разрешающая способность по Фуко

Предельная разрешающая способность R₀ для оптических систем определяется размерами зрачка, длиной волны и аберрациями.

Влияние аберраций на ФРТ и ОПФ

Влияние малых аберраций (волновая аберрация составляет доли длин волн) на ФРТ проявляется в том, что часть энергии из центрального максимума переходит в кольца. В результате в центральном максимуме остается около 60-70% вместо 84%, при этом размеры центрального максимума сохраняются, а интенсивность в центре уменьшается (рис. 7).

_{h}

1.0



1.22

Рисунок 7 - Влияние аберраций на ФРТ.

Аберрации разных типов по-разному влияют на вид пятна рассеяния (картину Эри). В случае симметричных аберраций (расфокусировка, сферическая) сохраняется радиальная симметрия пятна (рис. 8а). В случае несимметричных аберраций (кома, астигматизм) симметрия пятна нарушается (рис. 8б, рис. 8в).

^_y

^_y

^_y

^_x

^_x

^_x

а) симметричные аберрации

б) кома

Рисунок 8 - Картины Эри для аберраций различных типов

При дальнейшем увеличении аберраций сходство ФРТ с безаберрационной полностью теряется, и ее форма определяется картиной поперечных аберраций (точечной диаграммой). Практически вся энергия из центрального максимума перекачивается в кольца (в центральном максимуме остается меньше 40% энергии). Однако при этом сохраняется дифракционный узор с шагом 0.5 в канонических координатах.

Число Штреля

Поскольку при малых аберрациях часть энергии из центрального максимума перекачивается в кольца, уменьшается интенсивность в центральном максимуме. Обозначим значение ФРТ в ее максимуме при отсутствии аберраций h₀(0), а при наличии аберраций h(0) (рис. 9).

1.0

h__

_h0

^h₀ ^0

_

Рисунок 9 - Число Штреля.

Число Штреля (критерий Штреля, Strehl ratio) показывает влияние аберраций на ФРТ:

. (8)

Значение числа Штреля находится в пределах , энергия в кольца перекачивается в таком же соотношении. Если – оптическая система безаберрационная, если – система практически безаберрационная, поскольку уменьшение центрального максимума на 20% почти незаметно.

Критерий Релея для малых аберраций

Критерий или допуск Релея заключается в том, что если величина волновой аберрации (при условии что в системе присутствует только сферическая аберрация) не превосходит /4 (рис. 10), то число Штреля . Отсюда Релей распространил свой критерий и на другие типы аберраций.

_

W

/4W

Рисунок 10 - Величина волновой аберрации.

Релеевский допуск на остаточные аберрации:

. (9)

Однако расчеты показывают, что не для всех типов аберраций это справедливо. Кроме того, для более строгого анализа нужно проверить на сколько изменится число Штреля при или . Релеевский допуск точного ответа на этот вопрос не дает.

Формула Марешаля. Допуск Марешаля для малых аберраций

Французский оптик Марешаль получил свое аналитическое выражение и свой допуск в виде среднеквадратичного по зрачку значения волновой аберрации. Критерий Марешаля более универсальный, чем допуск Релея, он подходит для любых типов аберраций.

Рассмотрим вывод формулы Марешаля. Функция рассеяния точки:

. (10)

Значение ФРТ в ее центральном максимуме:

. (11)

Воспользовавшись выражением для зрачковой функции, получим:

. (12)

В случае малых аберраций , следовательно . Тогда при разложении функции в ряд, можно оставить только три члена, а остальные отбросить , отсюда:

. (13)

Тогда можно записать приближенное выражение для ФРТ:

. (14)

Введем обозначение для среднего значения волновой аберрации по зрачку:

(15)

и среднего квадрата волновой аберрации:

. (16)

Тогда выражение (9.48) запишется в виде:

. (17)

Модуль комплексного числа вычисляется как сумма квадратов вещественной и мнимой частей , следовательно:

. (18)

Значение ФРТ в максимуме при отсутствии аберраций определяется выражением:

. (19)

Тогда формула Марешаля:

. (20)

Величина называется дисперсией волновой аберрации по зрачку (дисперсия – это разность среднего квадрата и квадрата среднего значения):

. (21)

Формула Марешаля показывает, что важна не сама волновая аберрация, а ее изменение (деформация волнового фронта) по зрачку.

Средний квадрат деформации волнового фронта – это квадратный корень из дисперсии:

. (22)

Формула Марешаля дает возможность приблизительно оценить число Штреля, если известен средний квадрат деформации волнового фронта:

. (23)

Если , то, следовательно, , а допуск Марешаля на средний квадрат деформации волнового фронта:

. (24)

Марешалевский допуск на остаточные аберрации справедлив для любых типов аберраций малой величины.

Влияние аберраций на ОПФ. Геометрически-ограниченные и дифракционно-ограниченные оптические системы

При наличии аберраций ОПФ оптической системы становится меньше, чем ОПФ безаберрационной системы. На графике ЧКХ можно показать, как аберрации влияют на форму кривой контраста (рис.11). Кривые ЧКХ в присутствии аберраций могут иметь сложную форму, но они никогда не превышают кривую безаберрационной ЧКХ.

k^′

1

геом.

ограниченная о.с.

0.2

0

дифр. ограниченная о.с.

безаберрационная о.с.

_

0.5

1

2

Рисунок 11 - Влияние аберраций на ЧКХ.

Дифракционно-ограниченные оптические системы имеют рабочий интервал частот, превышающий половину от предельной, то есть >1 (рис.11). Качество изображения в таких системах определяется в основном явлениями дифракции и непосредственно зависит от отношения апертуры к длине волны A/. Остаточные аберрации должны оцениваться по критерию Марешаля. К дифракционно-ограниченным системам относятся, в частности, измерительные системы, проекционные оптические системы для микроэлектроники и системы, работающие с глазом.

К геометрически-ограниченным относятся оптические системы, рабочий интервал частот для которых не превосходит =0.5 в канонических частотах (рис. 11). Качество изображения таких систем определяется картиной поперечных аберраций и непосредственно не зависит от длины волны и апертуры. Степень коррекции геометрически-ограниченных систем оценивается поперечными аберрациями. К таким системам относятся, в частности, кино-, фото- и телевизионные объективы.

ЛИТЕРАТУРА

1. 1. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. М.: Машиностроение, 2004.

2. 2. Заказнов Н.П. и др. Прикладная оптика. М.: Машиностроение, 2000.

3. 3. Дубовик А.С. и др. Прикладная оптика. М.: Недра, 2002.

4. 4. Русинов М.М. и др. Вычислительная оптика. Справочник. Спб.: Машиностроение, 2004.

5. 5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 2000.

6. 6. Матвеев А.Н. Оптика. М.: Высшая школа, 2001.

7. 7. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высшая школа, 2002.