Функции распределении и уравнение Лиувилля.

Плазмой обычно называют систему, состоящую из N частиц, из которых, по крайней мере, часть обладает электрическим зарядомом. В наиболее общем случае плазма состоит из положительных и отрицательных ионов, свободных электронов и нейтральных молекул, находящихся п различных возбужденных состояниях. Безусловно, такие системы являются очень сложными вследствие разнообразных процессов, протекающих в них.

Далее рассмотрим упрощенную модель—плазму, состоящую из смеси только заряженных частиц. Предположим, что всего имеется s сортов частиц; индексом

или обозначается сорт частиц. Пусть — число частиц сорта , тогда полное число частиц равно:

Электрические свойства частиц сорта характеризуются зарядом , а динамические — массой . Обозначив через положение j-й частицы сорта , а через ее импульс, гамильтониан для такой системы можно записать следую-щим образом:

(1)

где

(2)

Гамильтониан (1) описывает полностью ионизованную плазму, которую можно рассматривать как предельное состояние в том смысле, в каком идеальный газ является предельным состоянием реального газа. Однако для вычислении даже этот гамильтониан является весьма сложным. Эта сложность связана главным образом с громоздкостью записи: наличие нескольких сортов частиц обязательно приводит к очень громоздким выражениям, в которых каждая буква снабжена большим числом верхних и нижних индексов. Такие трудности обычно не являются принципиальными и их можно обойти путем выбора еще более простои модели, рассматривающей плазму как однокомпонентный газ заряженных частиц. Однако, чтобы быть ближе к действительности, мы должны в этом случае предположить, что заряженные частицы двигаются через среду, которая обладает противоположным зарядом и полностью нейтрализует полный заряд газа . Гамильтониан такой системы можно записать в виде:

(3)

Этот гамильтониан описывает систему частиц, взаимодействующих по закону центральных парных сил с потенциалом , где е²—квадрат заряда (валентность частиц для простоты считается равной единице). При этом потенциальная энергия взаимодействия имеет вид:

(4)

Заметим, что рассмотрения, проводимые в данной курсовой, не ограничиваются только случаем плазмы, а могут быть применены к любой системе, гамильтониан которой записывается в виде (3). В общем случае параметр е² не имеет уже смысла электрического заряда; он является просто некоторой величиной, характеризующей силу взаимодействия. Однако оказывается удобным сохранить обозначение е² также и в общем случае.

Следует отметить, что гамильтонианы (1) и (3) описывают газ (или плазму) в отсутствие каких-либо внешних полей. В этой части книги мы будем касаться только таких простых систем. Формальное распространение теории на случай наличия внешних полей обычно осуществляется весьма просто.

Гамильтониан (1) или (3) содержит полное динамическое описание плазмы. Из него можно вывести точные динамические уравнения движения:

(5)

Однако, даже если бы мы попытались решать эти уравнения, нам пришлось бы отказаться от этой мысли с самого начала. В нашем распоряжении имеется система 6N нелинейных дифференциальных уравнений, где N — величина порядка . Следует ясно понимать, что трудности связаны не только с громоздкостью вычи-слений. Даже если бы мы могли представить себе вычислительную машину, которая смогла бы решить уравнения (5), то это решение было бы абсолютно бесполезным. Действительно,чтобы придать смысл уравнениям (5), мы должны дополнить их набором из 6N начальных условий. Одновременно измерить положения и импульсы 10²³ частиц или создать такую систему, в которой положения и импульсы, всех частиц имели бы заранее установленные значения,— это абсолютно невероятно для человеческих возможностей. Поэтому точное формальное решение (5) было бы бесполезным при исследовании любых физических процессов.

Таким образом, нам нужно ввести такое понятие, которое бы возможно ближе соответствовало макроскопическим фактам. Таким понятием является понятие ансамбля, введенное Гиббсом. Вместо рассмотрения одной-единственной системы мы будем исследовать набор систем, которые динамически идентичны (т. о. имеют один и тот же гамильтониан), но отличаются друг от друга начальными условиями. Естественной системой координат для описания таких систем является пространство 6N-измерснии, называемое фазовым пространством, координатами в котором являются положения и импульсы 6N частиц. Такой системе в заданном состоянии движения будет соответствовать точка в фазовом пространстве. Динамическое поведение системы представляется движением этой точки вдоль траектории в фазовом пространстве. Следовательно, ансамблю, представляющему реальную систему, соответствует «облако» точек в фазовом пространстве, которые обычно считаются непрерывно распределенными. Математическое описание ансамбля дается функцией, соответствующей плотности «облака» в каждой точке фазового пространства:

Эту функцию назовем N-частичной функцией распределения. Здесь следует, может быть, подчеркнуть, что это описание движения отличается от описания, основанного на гамильтониане (5). Координаты х_i и импульсы р_i теперь являются независимыми переменными и уже не считаются функциями времени; поведение системы характеризуется изменением во времени плотности в данной точке фазового пространства .

В дальнейшем нам часто будет необходима более простая запись этой функции, или вообще любой функции F,зависящей от N импульсов и N координат. Мы будем постоянно пользоваться следующей записью:

В тех случаях, когда не могут возникнуть недоразумения, для обозначения совокупности всех импульсов от p_i до p_N мы будем использовать букву р.

Согласно хорошо известной в классической механике [1] теоремы Лиувилля, «облако», соответствующее ансамблю, движется как несжимаемая жидкость и, следовательно, удовлетворяет уравнению непрерывности в фазовом пространстве:

или, используя уравнения Гамильтона (5),

(6)

Второй член в этом уравнении представляет собой скобки Пуассона и определяется соотношением:

(7)

Подставляя гамильтониан для однокомпонентного газа (3) в уравнение (6), получаем следующее уравнение Лиувилля:

(8)

где v_j = p_j/m. Заметим, что в то время как в гамильтоновом формализме естественными переменными являются импульсы р_j, в формулах, связывающих микроскопические величины с макроскопическими,более удобными оказываются скорости v_j . Поэтому в дальнейшем всюду мы будем пользоваться переменными v_j вместо р_j. Если отсутствует магнитное поле и релятивистскими эффектами можно пренебречь, эта замена является тривиальной. N-частичная функция распределения считается функцией координат, скоростей и времени:

Соответствующая замена переменных произведена непосредственно в уравнении (8). В дальнейшем мы всегда будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями:

(9)

Уравнение Лиувилля в этих обозначениях записывается в виде:

(10)

Из уравнения (10) следует, что интеграл от функции f_N по всем координатам и скоростям является постоянным во времени. Поэтому функцию f_N можно нормировать следующим образом:

(11)

После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разногласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сомнения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблюдателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено «макроскопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения f_N . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построена так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к среднему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N^-1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.

Из этого обсуждения можно сделать следующий вывод: наблюдаемое значение любой макроскопической динамической вeличины есть среднее значение соответствующей микроскопической величины с весом f_N:

(12)

Заметим теперь, что информация, заключенная в f_N , в действительности оказы-вается излишней. Для всех величин, характеризующих макроскопическое состояние системы, таких, как плотность, гидродинамическая скорость и т. д., величина А (х, v) является функцией положения и скорости очень небольшого числа частиц (скажем, одной, двух и т. д.) по сравнению с полным числом частиц системы. Поэтому весом для функции А в (12) в действительности является интеграл от f_N , по всем частицам, за исключением тех, от которых зависит А. Такие интегралы называются приве-денными, s-частичными функциями распределения. Определяются они формулой:

(13)

Множитель N!/(N-s)! является удобным по следующим причинам. Если интерпретировать f_N как вероятность, то функция f_s определенная без такого множителя, соответствовала бы вероятности нахождения определенной частицы 1 в точке (x₁,v₁), частицы 2 в точке (x₂,v₂) и т. д. Однако в больших физических системах из одинаковых частиц все частицы равноправны; данные макроскопические свойства определяются набором частиц в целом независимо от их нумерации. Поэтому удобно умножать интеграл от функции f_N на такой множитель, который представлял бы число способов выбора s частиц из полного числа частиц N.

Наиболее важные макроскопические величины выражаются через эти функции так [4, 5]:

Плотность в точке x

(14)

Локальная (гидродинамическая) скорость в точке х

(15)

Локальная плотность энергии в точке x

(16)

Корреляция плотности между точками x и x’

(17)

В дальнейшем будут определены другие средние величины:

В многокомпонентных системах необходимо дополнительно определить приведенные функции распределения. В системе, состоящей из s компонент, имеется s типов одночастичных распределений:

Это обозначение, очевидно, относится к частице 1 типа . Аналогично имеется всего 1/2s (s + 1) типов двухчастичных распределений:

Эта функция соответствует распределению частицы 1 типа  и частицы 2 типа ’. Обобщение определений (14) — (16) в этом случае приводит к следующим соотношениям:

(14a)

Локальная скорость в точке х

(15a)

Локальная плотность энергии в точке х

(16a)

Рассмотрим еще три других типа приведенных функций распределения: приведенную s-частичпую функцию распределения по скоростям,_s ; приведенную s-частичную функцию распределения по координатам, n_s; приведенную г-частичиую по скоростям и s-частичную по координатам функцию распределения (sr).Эти функции определяются следующим образом:

(18)

(19)

(20)

Литература:

1.Р.Балеску “Статистическая механика заряженных частиц.”;

М.,”Мир” 1967г.