РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z₀ коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z₀= = a cos t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

l_z = — m₀ = m²a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —l_zz = —mla² cos cos,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L = + mgl cos + mla²cos t cos,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань ( 1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де = g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція (t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2/. У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t — Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,

₁ (t + T)= а₁₁₁ (t) + а₁₂₂ (t),

₂ (t + T) = а₂₁₁ (t) + a₂₂₂ (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій ₁ (t + T) і ₂ (t + T) дійсний, то ₁ (t + T) і ₂ (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а₁₁ в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції ₁ (t + T) і ₂ (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а₁₁=, а

₁ (t + T) = ₁ (t) + а₁₂₂(t + T) =[a₂₁₁ (t) +a₂₂₂ (t)] = ₂ (t + T)

що означає лінійну залежність функцій ₁ (t + T) і ₂ (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні t на t + Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай ₁ (t) і ₂ (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:

^’ (t + T)

Підберемо числа і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин і , розв'язок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини : ₁ і ₂, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = ₁ , знаходимо Тоді із співвідношення

₁^’ (t + T)

Аналогічно для = ₂, маємо

₂^’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні t на t + Т зводилась до множення на сталий множник:

₁^’ (t + T), ₂^’ (t + T)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

₁^’ (t + T), ₂^’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П₁(t) = ; П₂(t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

₁ (t + T), ₂^’ (t + T),

Сталі ₁ і ₂, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції ₁ і ₂,

;

відповідно на ₁ і ₂ і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l (t) = = const не залежить від часу. Тому l (t + Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = ₁ (t +T) ₂ (t + T) = _{1 2}l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

_{1 2}=1

Оскільки коефіцієнти визначника а_іj дійсні, то величини ₁ і ₂, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо ₁ = е^zT , ₂ = е^-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом (t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):

₁ (t + T), ₂^’ (t + T),

Тут П₁ (t) і П₂ (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є

П (t) =

Якщо Re z 0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.