1. Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние.

2. Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

3. Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

4. Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости.

5. Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.

6. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

7. Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.

8. Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

9. Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

10. Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

11. Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

12. Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

13. Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона.

14. Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

15. Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

16. Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

17. Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

18. Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

19. Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

20. Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении.

21. Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

22. Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

23. Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

24. Расчёт на прочность сварных швов.

25. Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

26. Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

27. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

28. Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

29. Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

30. Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

31. Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

32. Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

33. Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

34. Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения. Объёмная деформация.

35. Обобщённый закон Гука.

36. Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

37. Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений.

38. Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

39. Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)

40. Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)

41. Критерий Мора.

42. Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения.

1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

Р –сосредоточ (а<< h)

q – интенсивность

распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_внеш отсутствует, то F_внут = 0.

R- главный вектор M_R гл векторный момент.

N_я- продольная сила (раст\сжат)

Q_{x или у}поперечная (сдвиг\срез)

М_{к (z)} крутящий момент (кручение)

М_{из (х или у)}изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_и≠0 поперечный М_и≠0 Q≠0

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P₁|=|P₂|

Равнов-е – это состояние

покоя или равномерного

движ-я по отношению к

др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,

сходящихся в 1-ой точке,

изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

2)Гибкие связи – это нити,

цепи, тросы, работают на

растяж-е р-ции напр вдоль нити

3)Жесткие стержни,

работают на растяж\сжа

р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил

(2 или более сил, сход в

1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾P_i). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_y=∑(P_i)=P₁sin(a)+P₂ sin90+P_nsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_z=∑(P_i)=P₁cos(a)+P₂ cos90+P_ncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√R_y²+R_z²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_о. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_о- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_о=m_o(P₁)- m_o(P₂)+M₁-M₂

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_yиR_zдолжны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(P_i)_z=0, ∑(P_i)_y=0); M_o=0 (∑m_o(P_i)+∑M_i=0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М₁=М₂ если P₁*h₁=P₂*h₂

5. Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

1)Чистый изгиб М_изг≠0, Q=0,N=0,M_к=0

2)Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_x J_y имеют экстремальные знач-я J_x=∫y²dF (поF) J_y=∫x²dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=∑(P_i)_y М_и=∑m_o(P_i)+ ∑M_i

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_и-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_и=f(q,P,M) Q и М_и-могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Q_i>Q_j M_иi>М_иj α_i>α_j

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_I=R_a+P-q*z

М_иI=R_a*z+P*(z-a)-q*z²/2+M

Q_II=R_a+P-q*(z+dz)

М_иII=R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M

Q_II-Q_I=dQ

dQ=q*dz

q=dQ/dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_иII-М_иI=dМ_и= R_a*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M- R_a*z-P*(z-a)+q*z²/2-

-M= R_a*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d²z)/2

(q*d²z)/2→0 dМ_и= (R_a+P-q*z)*dz= =Q_I*dz Q=dМ_и/dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Ми≠0(чист из-б)

у-расст-е от

нейтрального слоя

до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

a'b’-удлинились

c’d’=cd

e’f ‘-укоротились

ρ-радиус изгиба

О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0

ε=σ/Е σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

Сила действ-ая

на элемен-ую

площадку σ*dF

1)∑(P_i)_x=0 тожд-

2)∑(P_i)_y=0 ва

3)∑m_z(P_i)=0 0=0

положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑М_i. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_R=∑М_i=0

Момент силы относ

точки= m_o(P_i)=|P|*h

Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_o(P_i)=|P|*h т.к. h=0 <= m_o(P_i)=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

P=P’

∑m_o(P_i)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h => m_o=M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4)

Силу Р можно ||

переместить в

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р+ δ^М+ δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если а<<L то:

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_i)_z=0

8. Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее}=ΔR/ΔF

P_{истинное}= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м²=Па]

σ_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_{(zx или zy)}- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=√σ²+τ²

N=f(σ)→σ_max<=[ σ]

Q=f(τ)→τ_max<=[ τ] условия

M_к=f(τ)→ τ_max<=[ τ] прочности

M_и=f(σ)→ σ_max<=[ σ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l₁-l Δh=h₁-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = М_к*l /(G*J_p) – кручение

k= 1/ρ= M_из/(E*J_x) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

8. Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_i=N_i /F_i<=[σ_c],[σ_p]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

ε'= - μ*ε ε’-относ

попер деф-я, μ- коэф

Пуассона, ε – относ

Продольная деф-я.

μ хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_i)_z=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x=y_ц.т.*F т.к.Е/ρ≠0, то S_x=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_y(P_i)=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_x(P_i)=0 ∫yσdF=М_и Е/ρ∫у²dF=М_и ∫у²dF=J_x- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_x=М_и 1/ρ=М_и/(Е*J_x) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x=max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_{max pас}=σ_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

σ_{max pас}<=σ_{max сж}

т.к. [σ_сж]=(3-5)*[σ_рас]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_{max pас}=σ_{max сж}=М_и*0.5*h/J_x=М_и/W_x W_x=J_x/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ]

2)хруп мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ_рас]

Ассиметричные сеч-я:

σ_{max рас} =М_и*y_{max рас}/J_x<=[σ_рас]

σ_{max сж} =М_и*y_{max сж}/J_x<=[σ_сж]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш=М₁*θ₁/2 dA_внут= - М_и*dθ/2

ρ – радиус крив-ны k –кривизна

dz=ρ*dθ

dθ=dz/ρ

k=1/ρ=М_и/(Е*J_x)

dθ= М_и*dz/(Е*J_x) dA= - М_и²*dz/(2*Е*J_x) U= -A_внут=

= -∫-М_и²*dz/(2*Е*J_x)=∫М_и²*dz/(2*Е*J_x) (от0 до L). – для попер изг-а М_и≠const.

Для чистого изгиба: М_и=const

U= М_и²*L/(2*Е*J_x)

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τ_zy=τ=Q_y*S_x/(J_xb_y)

Q_y-попер сила в рассматр сеч-и S_x-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси b_y-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max<=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θ_A-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θ_A=tg θ_A при α<<

θ_A=dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_max<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)²)^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_и/(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)²)^3/2= M_и/(ЕJ_x)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)²-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и/(ЕJ_x)

M_и= y’’ЕJ_x- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d²y/dz²=dy’/dz

аналитическое решение: M_и= y’’ЕJ_x ЕJ_x=const ЕJ_xd(y’)=M_иdz

ЕJ_xy’= ∫M_иdz+C y’=θ=(∫M_иdz+C)/( ЕJ_x)

ЕJ_x dy/dz= ∫M_иdz+C

ЕJ_x dy= dz(∫M_иdz+C)

ЕJ_x = ∫dz∫M_иdz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_A=0 θ_A=0

y_A=0 y_B=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_xθ= ЕJ_xθ₀+∑M(z-a)+(∑P(z-b)²)/2+ +(∑q(z-c)³)/6+…

2) ЕJ_xy= ЕJ_xy₀+ ЕJ_xθ₀z+(∑M(z-a)²)/2+ +(∑P(z-b)³)/6+ +(∑q(z-c)⁴)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_x=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴)/24

∑-алгеб сумма 4) y₀ и θ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

σ₁≠0

σ₂≠0

σ₃≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V₁-V₀)/V₀ υ-относит изменение объёмаV₁-объем после деф-ииV₀-до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_стали=2*10⁵МПа.

8. Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ A_внеш=

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

dA_внут= - N*Δ(dz)/2

Δ(dz)=N*dz/(E*F)

dA_внут= -N²*dz/(2*E*F)

A_внут=-N²*dz/(2*E*F)

A_внут= -N²*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут=N²*l/(2*E*F), U=N²*dz/(2*E*F) A_внут= -А_внеш, U=A_внеш

8. Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z₁<=a a<=z₂<= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁=P₁ N₂= - P₂+P₁строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_i=N_i/F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_i=N_i*l/(E*F_i) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-i=Σ(Δl_i)

8. Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_xz τ_yx τ_yz τ_zx τ_zy

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ₁ >σ₂ >σ₃(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

σ_3или1≠0,

σ₂=σ_1или3=0

F_α=F/ cosα

1) ∑(Р_i)_{площадка}=0 σ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

σ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

σ_α=σ₁*cos² α

2) ∑(Р_i)_{площадка}=0 τ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

τ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

τ_α=σ₁*cos α * sin α = 0.5* σ₁* sin 2α

τ_max|_α=45= σ₁/2 τ_min| _{α=0, α=90}= 0

σ_α+π/2=σ₁*cos²(α+π/2)=

=σ₁*sin²α т.о.

σ_α + σ_α+π/2= σ₁*cos²α +

+ σ₁*sin²α = σ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ₁

τ_α+π/2=0.5*σ₁*sin2(α+π/2)=0.5*σ₁sin(2α+ +π)= - 0.5*σ₁sin(2α)

τ_α+ τ_α+π/2=0.5*σ₁sin(2α)- 0.5*σ₁sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

τ_xy= - τ_yx

τ_zy= - τ_yz

τ_xz= - τ_zx

8. Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

9. Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_i=N_i/F_i<=[σ]–для пластично

σ_ic<=[ σ_с] σ_iр<=[ σ_р] –для хрупкого

8. Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

9. Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

10. Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]= σ_u/n [σ]-допускаемое напяж-е

σ_u- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

8. Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_x или Q_y) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G

V₀=1

l₁=l₂=l₃=1

для ед длины:ε₁=Δl₁/l₁= Δl₁/1= Δl₁ =>

V₁= (1+ ε₁)* (1+ ε₂)* (1+ ε₃)=1+ +ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃+…+ ε₁+ ε₂+ ε₃

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃ε₂+…можно пренебречь.=> V₁= 1+ ε₁+ ε₂+ ε₃

υ=(V₁-V₀)/V₀=(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃-1)/1= ε₁+ +ε₂+ ε₃

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{12 1-}направление деф-ии _2-причина деф

ε₁₁= σ₁ /Е ε₂₂= σ₂ /Е

ε₂₁= -μ*ε₁₁= -μ* σ₁ /Е ε₁₂= -μ*ε₂₂=

= -μ* σ₂ /Е =>

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂= σ₁ /Е - μ* σ₂ /Е=

=1/E *(σ₁-μσ₂)

ε₂= ε₂₂ +ε₂₁= σ₂ /Е - μ* σ₁ /Е=

=1/E *(σ₂-μσ₁)

2)Для объёмного н.с.:

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

удельная потенц энергия е_р=U/V₀

Полная энергия U=∫е_рdV(по V)

V₀=1 е_р=U/1=U= - A_внут= - (A_{внут 1}+

+ A_{внут 2}+ A_{внут 3})

A_{внут 1}= - (σ₁* ε₁)/2 A_{внут 2}= - (σ₂* ε₂)/2 A_{внут 3}= - (σ₃* ε₃)/2

е_р=(σ₁* ε₁)/2+(σ₂* ε₂)/2+(σ₃* ε₃)/2

подставив ε₁ ε₂ ε₃ получим:

е_р=

е_р= е_р^{формоизменения}+ е_р^{объёмоизменения}

е_р^ф зависит от угловых деф-ий

е_р^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р^ф=(1+μ)(σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₁σ₃-

-σ₂σ₃)/3Е

е_р^о=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)²/6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

σ_α=σ₁*сosα+σ₂*sinα

τ_α=((σ₁-σ₂)/2)*sinα

τ_max|_α=45=(σ₁-σ₂)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_α σ_β τ найти σ₁ σ₂

а) tg2ψ₀=2τ/(σ_β-σ_α)-

положение

глав площ-ки

σ_{1(max)/3(min)}= (σ_α-σ_β)/2±(√((σ_α-σ_β)²+4τ²))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_1(max) -для

σ_3(min))

б)для кручения

с изгибом

tg2ψ₀=2τ/σ

σ_1/3=σ/2±(√(σ²+4τ²))/2

(+для σ_1(max) -для σ_3(min))

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_экв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σ_экв выр-ся ч/з напряж-я σ₁ σ₂ σ₃ т.о. σ_экв=f(σ₁ σ₂ σ₃) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_экв<=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_1/3<=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_1/3<=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_max(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τ_max =(σ₁-σ₃)/2 [τ]=[σ]/2

(σ₁-σ₃)/2<=[σ]/2 σ₁-σ₃<=[σ] =>

σ_{экв III}= σ₁-σ₃ т.к. не уч-ет σ₂ то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р^ф) не превосходит допустимой е_р^ф установленной для одноосного н.с.

е_р^ф(для слож н.с.)<=[е_р^ф](для линей н.с.

σ_эквIV==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃<=[σ_р] или [σ_сж]

ν=[σ_р] / [σ_сж] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ₁= σ₃=

σ_{экв III}= σ₁- σ₃==

=<<=[σ]

σ_эквIV===

=

σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃=1/2*=

==

σ_экв=М_прив/W_x<=[σ] W_x=0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш= -А_внут U= -A_внут= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q²*a/(2*G*F)

8. Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр)

Внеш скруч

мом-ы: М_скр

М_кi= ΣM_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_кр = f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γ_max=tg γ_max=NN’/dz=r dφ/dz γ_ρ= tg γ_ρ=kk’/dz= ρ dφ/dz τ_ρ =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0 S= r → τ_max

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dM_к= τ_ρ*dF *ρ M_к=∫dM_к(по F) = =∫ ρ *τ_ρ*dF = ∫ ρ²*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ²dF ∫ ρ²dF=J_p- полярный момент инерции поперечного сечения.

dφ/dz=М_к/(G*J_p)

τ_ρ= G* ρ* М_к/(G*J_p)= М_к* S/J_p

J_p(для круга)=0.1*d⁴

J_p(пусто-ого вала)=0.1*D⁴*(1-c⁴) c=d/D

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

W_p=J_p/r W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³

W_p(пустотел вал)= 0.2*D³*(1-c³) c=d/D

dφ =М_к* dz /(G*J_p) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

М_к/(G*J_p)=const φ= М_к*l/(G*J_p) – з-н Гука

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

8. Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19)

9. Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_внеш=М_скр1*φ₁/2 dА_внут= - М_к*φ/2

U= -А_внут=∫ М_к²* dz /(2*G*J_p(от0 доL) U=М_к²* l/(2*G*J_p)

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

8. Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

9. Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_зак-диам заклёпк d≈d_зак+(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{1-й зак}=P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном

τ=Q/F

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd²)<=[τ_cp] [τ_cp]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd²[τ_cp]) n-числ зек из расчёта на прочность.

Расчёт на смятие:

F_смят=d*δ_min

δ_min-min толщина места. σ_смят=Q/F_смят=P/(n’dδ_min)<=[σ_cм]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σ_cм]*d* δ_min) из n и n’выбир >

8. Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/F_шва<=[σ]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τ_мах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_лоб =b_∑*0.7*кат-т F_фронт =l_∑*0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l_∑+b_∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P

8. Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

α<=10-12град

D-сред диамет

пружины

d-диам проволок

h-шаг

с=D/d-индекс пруж

с=4-12

n-число раб витков

n_пол=n+1.5-2.5

λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_к-крутящ момен

Q=P M_к=P*D/2

M_к: τ_max=М_к/W_p=P*D/2*W_p

W_p=π*d³/16 τ_max =8PD/πd³

Q: τ=Q/F=4P/ πd²

Условия проч в опасной точке: τ_max= τ_max(Мк)+ τ_max(Q)= 8PD/πd³+4P/ πd²= =(8PD+4Pd)/ πd³= =8PD/πd³*(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τ_max=8PD/πd³<=[τ]

d>= λ=8PD³n/Gd⁴

хар-ка пруж-ы график P=f(λ)

k-жёсткост k=P/ λ [H/мм]

8. Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками

Виды изгиба по внутр-м усилиям:

d_проч=

39 Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)(В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38)

41 Критерий Мора.(в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

1)строим эпюры

М_к1=0 М_к2=М

М_и1,2=Р*z_1,2|₀=0|_L=P*l

2)опасные сечения:

М_к2=М М_и2=P*l

3)исследу-ые напр-я:

τ_max(М_и)=М_к/W_p

σ_max(M_и)=М_и/W_x

τ_max(Q)=Q*S_x/(b*J_x)

4)опасная точ на

поверхности вала:

σ=М_и/W_x

τ_max=М_к/W_p= М_к/2W_х

W_p=J_p/r=2*J_x/r W_x= J_x/r= W_p/2

J_p=