Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра системы управления

Курсовая работа

по дисциплине: исследование операций

Вариант 9

_

Челябинск

2004 г.Содержание

Задание 1 3

Задание 2 6

Задание 3 9

Задание 4 11

Литература 17

Задание 1

Задача 9

Условие:

Из трех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее a ед. химического вещества А, b ед. – вещества В и c ед. – вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг. сырья каждого вида, указано в таблице. Там же приведена цена 1 кг. сырья каждого вида. Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость.

Вещество

Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг сырья

1

2

3

А

d₁₁

d₁₂

d₁₃

В

d₂₁

d₂₂

d₂₃

С

d₃₁

d₃₂

d₃₃

Цена 1 кг сырья

D₁

D₂

D₃

№ вар.

d₁₁

d₁₂

d₁₃

d₂₁

d₂₂

d₂₃

d₃₁

d₃₂

d₃₃

9

1

1

0

2

0

3

1

2

4

D₁

D₂

D₃

а

b

c

5

6

7

26

30

24

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через n1, n2, n3 количество кг сырья 1, 2, 3 соответственно.

Тогда, целевая функция будет

L=D1n1+ D2n2+D3n3 = 5n1+ 6n2+7n3 →min

Система ограничений:

_ EMBED Equation.3 ___

Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования. Введем целевую функцию с противоположным знаком L', и новые переменные n4, n5, n6, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

L’=0-(5n1+ 6n2+7n3) →max

_ EMBED Equation.3 ___

Выберем n1, n2, n3 свободными переменными, а n4, n5, n6 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:

L’=0-(5n1+ 6n2+7n3)

_ EMBED Equation.3 ___

Составим симплекс-таблицу.

Это решение не опорное, т.к. свободные члены не положительны.

Выберем в первой строке отрицательный элемент, например на пересечении n1 и n4, тогда разрешающий столбец n1, а разрешающий элемент – n5 (минимальный по отношению свободного члена к элементам разрешающего столбца).

Таблица 1.1

 

b

n₁

n₂

n₃

L’

0

 

5

 

6

 

7

 

 

-75

 

2,5

 

0

 

-8

n₄

-26

 

-1

 

-1

 

0

 

26/1=26

 

15

-1

 

0

 

1,5

n₅

-30

-2

 

0

 

-3

 

30/2=15min

 

15

 

-1

 

0

 

1,5

n₆

-24

 

-1

 

-2

 

-4

 

24/1=24

 

15

 

-1

 

0

 

1,5

Меняем n₁ и n_5.

Таблица 1.2

 

b

n₅

n₂

n₃

L’

-75

 

2,5

 

6

 

-0,5

 

 

-45

 

5

 

-10

 

25

n₄

-11

-0,5

 

-1

1,5

 

11/0,5=22

 

9

 

-1

2

 

-5

n₁

15

 

-0,5

 

0

 

1,5

 

 

9

 

-1

 

2

 

-5

n₆

-9

-0,5

 

-2

-2,5

 

9/0,5=18min

 

18

 

-2

 

4

 

5

Меняем n₅ и n_6.

Таблица 1.3

 

b

n₆

n₂

n₃

L’

-120

 

5

-4

 

25

 

 

-10

5

 

5

 

-18

n₄

-2

-1

1

 

-4

 

 

2

-1

 

-1

2,5

n₁

24

 

-1

 

2

 

-3

 

 

2

 

-1

 

-1

 

3,5

n₅

18

 

-2

4

 

5

 

 

4

 

-2

 

-2

 

7

Меняем n₄ и n₆.

Таблица 1.4

 

b

n₄

n₂

n₃

L’

-130

 

5

 

1

 

7

 

 

 

 

n₆

2

 

-1

 

-1

 

3,5

 

 

 

 

 

n₁

26

 

-1

 

-1

 

0

 

 

 

 

 

n₅

22

 

-2

 

2

 

12

 

 

 

 

 

Т.к. коэффициенты при всех ni положительны, то это и есть оптимальное решение.

Тогда n4 = n2 = n3 =0, n6 =2, n1 =26, n5 =22, L’= -130, следовательно, L=130.

Необходимо взять 26 кг первого сырья, и тогда получим смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость 130.

Ответ: для получения смеси с минимальными затратами необходимо взять 26 кг только первого сырья.

Задание 2

Задача 29

Условие:

Решение задачи линейного программирования.

С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax ( (B,

где (( = ( (1 (2 . . . (6 (( , В( = ( b1 b2 . . . b6 (( ,

(( = ( (1 (2 . . . (6(( , А= ((((( ((=1,6; (=1,3).

№ вар.

С₁

с₂

с₃

с₄

с₅

с₆

b₁

b₂

b₃

29

0

5

1

–1

1

0

2

2

10

Знаки ограничений

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₄

1

2

3







–1

1

1

0

a₁₅

a₁₆

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

a₂₅

a₂₆

0

0

1

–2

0

1

0

0

a₃₁

a₃₂

a₃₃

a₃₄

a₃₅

a₃₆

Тип экстрем.

2

1

1

1

2

0

max

Решение:

Составим систему:

_ EMBED Equation.3 ___

Целевая функция Q= 0x1+5x2+x3 –x4+x5 →max

Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования.

_ EMBED Equation.3 ___

Пусть х1, х2 , х3, х4, х5 – свободные переменные, х6, х7, х8 – базисные.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

Q= 0-(-5x2-x3 +x4- x5)

_ EMBED Equation.3 ___

Составим симплекс-таблицу:

Это опорное решение т.к. коэффициенты bj>0. Будем искать оптимальное решение. Т.к. коэффициенты при свободных членах <0 (кроме при x1), то разрешающим может быть любой столбец. Пусть x2, тогда на пересечении x2 и x6 получим разрешающий элемент.

Таблица 2.1

 

b

x₁

x₂

x₃

x₄

x₅

Q

0

 

0

 

-5

 

-1

 

1

 

-1

 

 

10

 

-5

 

5

 

5

 

0

 

0

x₆

2

 

-1

 

1

 

1

0

 

0

 

2/1=2min

 

2

 

-1

 

1

1

 

0

 

0

x₇

2

 

1

 

-2

 

0

 

1

 

0

 

 

4

 

-2

 

2

 

2

 

0

 

0

x₈

10

 

2

 

1

 

1

1

 

2

 

10/2=5

 

-2

 

1

 

-1

 

-2

 

0

 

0

Меняем x₂ и x_6.

Таблица 2.2

 

b

x₁

x₆

x₃

x₄

x₅

Q

10

 

-5

 

5

 

4

 

1

 

-1

 

 

4

1,5

 

-1

-1

 

0,5

0,5

x₂

2

 

-1

 

1

 

1

 

0

 

0

 

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

x₇

6

 

-1

2

 

2

1

 

0

 

 

0

 

0

 

0

 

0

 

0

0

x₈

8

 

3

-1

 

-1

1

2

 

 

4

 

6

 

-2

 

-2

 

2

 

0,5

Меняем x₅ и x_8.

Таблица 2.3

 

b

x₁

x₆

x₃

x₄

x₈

Q

14

 

-3.5

 

4,5

 

3,5

 

1,5

 

0,5

 

 

21

5,25

 

-2,625

-2,625

 

2,625

 

2,625

x₂

2

 

-1

 

1

 

1

 

0

 

0

 

 

8/3 

 

2/3

 

-1/3

 

-1/3

 

1/3

 

1/3

x₇

6

 

-1

2

 

2

1

0

 

 

8/3

2/3

 

-1/3

 

-1/3

 

1/3

 

1/3

x₅

4

1,5

-0,5

 

-1

0,5

0,5

 

 

8/3

 

2/3

 

-1/3

 

-1/3

 

1/3

 

1/3

Меняем x₅ и x_1.

Таблица 2.4

b

x₅

x₆

x₃

x₄

x₈

Q

35

5,25

1,875

0,875

4,125

3,125

x₂

14/3

2/3

2/3

2/3

1/3

1/3

x₇

26/3

2/3

5/3

5/3

4/3

1/3

x₁

8/3

2/3

-1/3

-1/3

1/3

1/3

Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.

Следовательно Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0; x1=8/3; x2=14/3; x7=26/3.

Ответ: Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0; x1=8/3; x2=14/3; x7=26/3.

Задание 3

Задача 9

Условие:

Решение транспортной задачи:

1. Записать условия задачи в матричной форме.

2. Определить опорный план задачи.

3. Определить оптимальный план задачи.

4. Проверить решение задачи методом потенциалов.

Таблица 1

№вар.

а₁

а₂

а₃

b₁

b₂

b₃

b₄

b₅

с₁₁

с₁₂

с₁₃

9

300

700

1000

200

100

400

600

200

23

40

10

с₁₄

с₁₅

с₂₁

с₂₂

с₂₃

с₂₄

с₂₅

с₃₁

с₃₂

с₃₃

с₃₄

с₃₅

12

21

25

21

20

50

18

15

30

32

25

50

Решение:

Составим таблицу транспортной задачи.

Таблица 2

 

B1

B2

B3

B4

B5

a

A1

 

 

 

 

 

 

23

40

10

12

21

300

A2

 

 

 

25

21

20

50

18

700

A3

 

 

 

 

 

 

15

30

32

25

50

1000

b

200

100

200

600

200

 

Заметим, что сумма запасов превышает заявки. Это транспортная задача с избытком запасов. Для того чтобы привести к транспортной задаче с правильным балансом, введем фиктивный пункт назначения В5 с нулевыми перевозками. Добавим недостающее число заявок b5=700. Теперь количество заявок равно количеству запасов и равно 2000.

Заполним таблицу. Для этого не будем использовать метод северо-западного угла, т.к. он принесет много хлопот, будем заполнять клетки слева направо от заявок к запасам, исходя из наименьшей цены.

Таблица 3

 

B1

B2

B3

B4

B5

В6

a

A1

 

 

 

 300

 

 

 

23

40

10

12

21

0

300

A2

100

200

 

200

200

 

25

21

20

50

18

0

700

A3

200

 

 

300

 

500

 

15

30

32

25

50

0

1000

b

200

100

200

600

200

700

2000

Это будет опорный план.

Количество заполненных ячеек – 6. r=m+n-1=3+6-1=8>6, значит, план является вырожденным, т.к. не хватает 2 базисных клеток. Добавим их, и сделаем план невырожденным. Для этого изменим в некоторых клетках количество запасов и заявок на малую величину _ EMBED Equation.3 ___

Таблица 4

 

B1

B2

B3

B4

B5

В6

a

A1

 

 

 

 300

 

 

 300

23

40

10

12

21

0

A2

100

200

 

200

200

700

25

21

20

50

18

0

A3

200

 

 

300

 

500

1000 

15

30

32

25

50

0

b

200

100

200

600

200

700

2000

Проверим методом потенциалов:

Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).

Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0

Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.

В результате получим следующую таблицу:

Таблица 5

 

β1=2

β2=8

β3=7

β4=12

β5=6

β6=-13

a

α1=0

 

 

 

 300

 

 

 300

23-2>0

40-8>0

10-7>0

12-12=0

21-6>0

0-(-13)>0

α2=13

100

200

 

200

200

700

25-13-2>0

21-8-13=0

20-7-13=0

50-12-13>0

18-6-13=0

0-13+13=0

α2=13

200

 

 

300

 

500

1000 

15-13-2=0

30-13-8>0

32-13-7>0

25-13-2=0

50-13-6>0

0-13+13=0

b

200

100

200

600

200

700

2000

Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.

Тогда сумма всех перевозок:

L=200*15+10*21+200*20+300*12+300*25+200*18+200*0+500*0=23800

Ответ:

 

B1

B2

B3

B4

B5

В6

a

A1

 

 

 

 300

 

 

 

23

40

10

12

21

0

300

A2

100

200

 

200

200

 

25

21

20

50

18

0

700

A3

200

 

 

300

 

500

 

15

30

32

25

50

0

1000

b

200

100

200

600

200

700

2000

Задание 4

Задача 54

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

( = (11(12+(22(22+(12(1(2+(1(1+(2(2

при условиях:

(11(1+(12(2<=>(1

(21(1+(22(2<=>(2 .

Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

Составить функцию Лагранжа.

Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

1. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.

№

b₁

b₂

c₁₁

c₁₂

c₂₂

extr

a₁₁

a₁₂

a₂₁

a₂₂

p₁

p₂

Знаки огр.

1 2

–7

–2

4

1.5

–2

min

–2

1.5

4

–3

18

9





Решение:

1) Целевая функция: F=4x12-2x22 +1,5x1x2-7x1-2x2→min

Рассмотрим F’=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2→max

Ограничения g1(x) и g2(x): _ EMBED Equation.3 ___ →_ EMBED Equation.3 ___

Определим относительный максимум функции F’, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

_ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___→ _ EMBED Equation.3 ___

2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции:

F’11 (х10, х20) = -8 < 0

F’12 (х10, х20) = -1,5

F’21 (х10, х20) = -1,5

F’22 (х10, х20) = 4

_ EMBED Equation.3 ___

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L(x,u)=F’(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=

=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2+u1(_ EMBED Equation.3 ___)+u2(_ EMBED Equation.3 ___)

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

_ EMBED Equation.3 ___ i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А:

_ EMBED Equation.3 ___

Система В:

_ EMBED Equation.3 ___

Перепишем систему А:

_ EMBED Equation.3 ___

4)Введем новые переменные

V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0

в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

_ EMBED Equation.3 ___

Тогда

_ EMBED Equation.3 ___.

Значит , система В примет вид:

_ EMBED Equation.3 ___ - это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

_ EMBED Equation.3 ___

Затем создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min

Y’=-Y= -My1-My2→max.

Пусть свободные переменные: х1, х2, v1, v2, u1, u2;

а базисные y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

_ EMBED Equation.3 ___

_ EMBED Equation.3 ___

Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:

 

b

x1

x2

u1

u2

v1

v2

Y'/M

-9

 

-9,5

 

2,5

 

0,5

 

1

 

1

 

1

 

 

8,3125

1,1875

 

1,7813

-2,375

 

-4,75

-1,188

 

0

y1

7

 

8

 

1,5

 

-2

 

-4

 

-1

 

0

 

 

0,875

0,125

 

0,1875

-0,25

 

-0,5

-0,125

 

0

y2

2

 

1,5

 

-4

 

1,5

 

3

 

0

 

-1

 

 

-1,313

-0,188

 

-0,281

0,375

 

0,75

0,1875

 

0

w1

18

 

-2

 

1,5

 

0

 

0

 

0

 

0

 

 

1,75

 

0,25

 

0,375

 

-0,5

 

-1

 

-0,25

 

0

w2

9

 

-4

3

 

0

0

 

0

0

 

 

3,5

 

0,5

 

0,75

 

-1

 

-2

 

-0,5

 

0

 

b

y1

x2

u1

u2

v1

v2

Y'/M

-0,69

 

1,1875

 

4,2813

 

-1,875

 

-3,75

 

-0,188

 

1

 

 

0,6875

-0,188

 

-4,281

1

 

3,75

0,1875

 

-1

x1

0,875

 

0,125

 

0,1875

 

-0,25

 

-0,5

 

-0,125

 

0

 

 

0,0917

 

-0,025

 

-0,571

0,1333

 

 

0,025

 

-0,133

y2

0,688

 

-0,188

 

-4,281

 

1,875

 

3,75

 

0,1875

 

-1

 

 

0,3667

 

-0,1

 

-2,283

 

0,5333

 

2

 

0,1

 

-0,533

w1

19,75

0,25

1,875

 

-0,5

-1

 

-0,25

 

0

 

 

0,1833

 

-0,05

 

-1,142

 

0,2667

 

1

 

0,05

 

-0,267

w2

12,5

 

0,5

 

3,75

 

-1

-2

 

-0,5

0

 

 

0,3667

 

-0,1

 

-2,283

 

0,5333

 

2

 

0,1

 

-0,533

 

b

y1

x2

y2

u2

v1

v2

Y'/M

0

 

1

 

0

 

1

 

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

0,967

 

 

 

 

 

0,1333

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1

0,367

 

-0,1

 

-2,283

 

0,5333

 

2

 

0,1

 

-0,533

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

19,93

 

 

0,2667

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w2

12,87

 

 

 

0,5333

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т. о, u2=x2=y1=y2=v1=v2=0; x1=0,967; u1=0,367; w1=19,93; w2=12,87;

б) Условия дополняющей нежесткости выполняются (u2w2=0), значит решения исходной задачи квадратичного программирования существует.

ОТВЕТ: существует.

Литература

Курс лекций Плотникова Н. В.