Где f(x_k-1) и f(x_k) - соответственно основания трапеций; x_k - x_k-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции соответствующей первым двум отрезкам [x₀x₁] и [x₁x₂] и ограниченной заданной кривой y=f(x) заменим площадью криволинейной трапеции которая ограничена параболой второй степени проходящей через три точки M(x₀y₀) M₁(x₁y₁) M₂(x₂y₂) и имеющей ось параллельную оси Oy. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью параллельной оси Oy имеет вид

Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.

Лемма: Если криволинейная трапеция ограничена параболой

осью Ох и двумя ординатами расстояние между которыми равно 2h то ее площадь равна

(1)

где y₀ и y₂ – крайние ординаты а y₁ – ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство: Расположим вспомогательную систему координат так как показано на рисунке

Коэффициенты в уравнении параболы определяются из следующих уравнений:

Если то

Если то (2)

Если то

Считая коэффициенты ABC известными определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла:

Но из равенства (2) следует что

.

Следовательно

что и требовалось доказать.

Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис). Пользуемся формулой (1) мы можем написать следующие приближенные равенства():

Складывая левые и правые части получим слева искомый интеграл справа его приближенное значение:

или (3)

В конечном итоге мы получили формулу Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно но чем больше это число тем точнее сумма в правой части равенства (3) дает значение интеграла.

1.2 Входные данные

В данном программном модуле входных данных нет. Все необходимые данные изначально заложены в программу.

1.3 Выходные данные

Выходными данными является значение интеграла .

Требования к выходным данным:

1. Все выходные данные выводятся на форму;

2. Ко всем выходным данным запрещен доступ со стороны пользователя.

1.4 Обработка ошибок.

В данной программе количество ошибок пользователя сведено к минимуму, т. к. пользователь не вводит данные. Все необходимые данные заложены в программу.

2 Проектирование программного модуля

2.1 Структурная диаграмма программного модуля

UserForm1

UserForm_Initialize()

CommandButton1_Click()

UserForm_QueryClose()

Simp(a As Double, b As Double)

f(x As Double)

Trap(a As Double, b As Double)

Рисунок 1. Структурная диаграмма программного модуля.

UserForm1 – пользовательская форма.

UserForm_Initialize() – процедура начальной инициализации пользовательской формы.

CommandButton1_Click() – процедура, срабатывающая при нажатии кнопки «Вычислить интеграл», которая производит вычисление и записывает результат.

Simp(a As Double, b As Double) – функция вычисления интеграла по формуле Симпсона.

Trap(a As Double, b As Double) – функция вычисления интеграла по формуле трапеции.

f(x As Double) – функция вычисляющая значение функции .

Разработка схемы программного модуля и её описание

НАЧАЛО

КОНЕЦ

Label3.Caption = Trap(0, 1)

Label5.Caption = Simp(0, 1)

1

2

Рисунок 2. Блок схема основной программы.

1 – происходит вызов функции вычисления интеграла методом трапеции.2 – происходит вызов функции вычисления интеграла по формуле Симпсона.

-

n = 2

i2 = 0

h = 0.1

With ListBox2

.ColumnCount = 2

.ColumnWidths = "30;30"

.AddItem "x"

.List(0, 1) = "Результат"

FunctionSimp()

+

-

(Abs(i1 - i2) < 0.005)

i = 0 To n

n = n * 2

h = (b - a) / n

i1 = i2

i2 = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

End Function

9

10

11

x = a + h * i

.AddItem x

i = 0 Or i = n

i Mod 2 = 0

i Mod 2 <> 0

End With

Simp = i2

+

+

-

12

i2 = i2 + f(x) * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

i2 = i2 + f(x) * 2 * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

i2 = i2 + f(x) * 4 * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

Рисунок 3. Блок схема функции вычисления интеграла по формуле Симпсона.

1 – происходит присвоение переменным начальных значений.

2 – происходит присвоение переменным очередных значений.

3 – описан цикл от 0 до n.

4 – вычисляется аргумент.

5 – проверяется условие.

6 – происходит вычисление интеграла.

7 – проверяется условие.

8 – происходит вычисление интеграла.

9 – проверяется условие.

10 – происходит вычисление интеграла.

11 – проверяется условие.

12 – функции присваивается значение интеграла.

n = 2

i2 = 0

h = 0.1

With ListBox1

.ColumnCount = 2

ListBox1.AddItem "x"

ListBox1.ColumnWidths = "30;30"

ListBox1.List(0, 1) = "Результат"

Function Trap()

(Abs(i1 - i2) < 0.005)

i = 0 To n

n = n * 2

h = (b - a) / n

i1 = i2

i2 = 0

1

2

3

4

5

6

End Function

End With

Trap = i2

x = a + h * i

ListBox1.AddItem x

i2 = i2 + h * (f(x) + f(a + h * (i - 1))) / 2

ListBox1.List(i, 1) = i2

Рисунок 4. Блок схема функции вычисления интеграла по формуле трапеции.

1 – происходит присвоение переменным начальных значений.

2 – происходит присвоение переменным очередных значений.

3 – описан цикл от 0 до n.

4 – вычисляется аргумент и происходит вычисление интеграла.

5 – проверяется условие.

6 – функции присваивается значение интеграла.

Function f(x As Double)

End Function

1

f = 1 / Sqr(1 + x ^ 2)

Рисунок 5. Блок схема вычисления значения функции.

1 – происходит вычисление значения функции.

2.3 Разработка пользовательского интерфейса

При запуске программы появляется следующее окно:

Рисунок 6. Окно программы.

В окне программы расположены исходные данные в элементе управления Label, результат (элемент управления Label), таблицы значений на элементе управления ListBox и кнопка «Вычислить».

3 Реализация программного модуля

3.1 Код программы

Dim n As Integer 'количество делений отрезка

Dim i As Integer 'счетчик итераций

Dim i1 As Double 'переменная для нахождения интеграла

Dim i2 As Double 'переменная для нахождения интеграла

Dim x As Double 'значение аргумента

Dim h As Double 'шаг

Private Sub UserForm_Initialize()

Application.Visible = False 'делаем Excel невидимым

End Sub

Private Sub CommandButton1_Click()

Label3.Caption = Trap(0, 1) 'вычисление интеграла методом трапеции

Label5.Caption = Simp(0, 1) 'вычисление интеграла методом Симпсона

End Sub

Public Function Trap(a As Double, b As Double) As Double ' нахождение интеграла методом трапеции

n = 2

i2 = 0

h = 0.1

With ListBox1

.ColumnCount = 2

ListBox1.AddItem "x"

ListBox1.ColumnWidths = "30;30"

ListBox1.List(0, 1) = "Результат"

Do

n = n * 2

h = (b - a) / n

i1 = i2

i2 = 0

For i = 1 To n

x = a + h * i

ListBox1.AddItem x

i2 = i2 + h * (f(x) + f(a + h * (i - 1))) / 2

ListBox1.List(i, 1) = i2

Next i

Loop While (Abs(i1 - i2) < 0.005)

End With

Trap = i2

End Function

Public Function Simp(a As Double, b As Double) As Double ' нахождение интеграла методом Симпсона

n = 2

i2 = 0

h = 0.1

With ListBox2

.ColumnCount = 2

.ColumnWidths = "30;30"

.AddItem "x"

.List(0, 1) = "Результат"

Do

n = n * 2

h = (b - a) / n

i1 = i2

i2 = 0

For i = 0 To n

x = a + h * i

.AddItem x

If (i = 0 Or i = n) Then

i2 = i2 + f(x) * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

Else

If (i Mod 2 = 0) Then

i2 = i2 + f(x) * 2 * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

Else

If (i Mod 2 <> 0) Then

i2 = i2 + f(x) * 4 * (b - a) / (3 * n)

.List(i + 1, 1) = i2

End If

End If

End If

Next i

Loop While (Abs(i1 - i2) < 0.005)

End With

Simp = i2

End Function

Public Function f(x As Double) As Double ' нахождение значения функции

f = 1 / Sqr(1 + x ^ 2)

End Function

Private Sub UserForm_QueryClose(Cancel As Integer, CloseMode As Integer) 'Закрытие формы

Select Case MsgBox("Закрыть окно?", vbYesNo + vbQuestion, "Завершение работы")

Case vbYes

Cancel = 0

Application.Quit

Case vbNo

Cancel = -1

End Select

End Sub

3.2 Описание используемых операторов и функций

При разработке программы были использованы следующие операторы и функции:

Оператор присваивания – задает переменной значение другой переменной, выражения или объекта.

Условный оператор (If…Then…Else…End If) – позволяет выбирать и выполнять действия в зависимости от истинности некоторого условия.

Оператор цикла For – позволяет повторять группу операторов заданное число раз.

Цикл с постусловием (Do…Loop While) – используются, когда заранее неизвестно, сколько раз будет выполняться тело цикла, но хотя бы раз тело цикла выполнится.

Функция f(x As Double) – функция, которая вычисляет значение функции в зависимости от аргумента.

Функция Abs(x) – функция, которая возвращает значение аргумента по модулю.

4 Тестирование программного модуля

После нажатия на кнопку «Вычислить интеграл» появляется результат.

Рисунок 7. Результат выполнения программы.

Заключение

Целью данной курсовой работы является разработка программного модуля для вычисления интеграла по формуле трапеции и формуле Симпсона с заданной точностью , определяя шаг интегрирования по оценке остаточного члена. Тестирование показало, что результаты, полученные разработанным программным модулем, соответствуют теоретическим расчётам, но расчет по формуле Симпсона оказался точнее.

Список использованных источников

1. Гарнаев А. Ю. Самоучитель VBA. – СПб: БХВ – Санкт-Петербург, 2002.

2. Гарнаев А. Ю. Разработка приложений. – СПб: БХВ – Санкт-Петербург, 2004.

3. Павловская Т. Учебник по программированию С/С++. – СПб, 2001.

4. Васильев А. VBA в Office 2000: учебный курс – СПб: Питер, 2002.

5. Кузьменков В.Г. VBA 2002. – М.: Издательство БИНОМ, 2002.