Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y(x) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения.

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y"(x₀) можно выразить через производную функции f(x,y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y₁=y₀ + h [β f(x₀,y₀) + α f(x₀ + γh, y₀ + δh)], (3)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h:

y₁=y₀ +( α+ β) h f(x₀,y₀) + αh²[γ f_x(x₀, y₀) + δ f_y(x₀, y₀)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ=0,5, α δ =0,5 f(x₀,y₀).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через параметры α, получим

y₁=y₀ +h[(1 - α) f(x₀,y₀) + α f(x₀+, y₀+f(x₀, y₀)], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x₀,y₀) в (4) подставить (x₁,y₁), получим формулу для вычисления y₂ – приближенного значения искомой функции в точке x₂.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x₀,X] на n частей, т.е. с переменным шагом

x₀, x₁, …,x_n; h_i = x_i+1 – x_i, x_n = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

y_i+1=y_i +h_i f(x_i +, y_i+f(x_i, y_i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n-1.

и α =0,5:

y_i+1=y_i + [f(x_i , y_i) + f(x_i+ h_i, y_i+ h_i f(x_i , y_i))], (6.2)

i = 0, 1,…, n-1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

y_i+1=y_i +(k₁+ 2k₂+ 2k₃+ k₄),

k₁=f(x_i, y_i), k₂= f(x_i +, y_i+k₁), (7)

k₃= f(x_i +, y_i+k₂), k₄= f(x_i +h, y_i+hk₃).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y(x; h) – приближенное значение решения в точке x, полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h, а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R(h) значения y(x; h) можно оценить, используя приближенное значение y(x; 2h) решения в точке x, полученное с шагом 2h:

(8)

где p=2 для формул (6.1) и (6.2) и p=4 для (7).

Уточненное решение пишем в виде

. (9)

В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения y_i+1 подбирают такой шаг h, при котором выполняется неравенство

, (10)

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями

x (x₀, X), (11)

y₁(x₀)=y_1,0, y₂(x₀)=y_2,0,…, y_m(x₀)=y_m,0 . (12)

Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y₁(x), y₂(x),…, y_m(x), удовлетворяющих в интервале (x₀, X) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x₀ – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [x₀, X] разбит на N частей:

x_i= x₀+ i h_i,

Тогда каждую l-ю функцию y_l(x) можно приближенно вычислять в точках x_i+1 по формулам Рунге-Кутта

K_l,1=f_l(x_i, y_1,i, y_2,i,…,y_m,i), i=1, 2, …, m,

K_l,2=f_l(x_i + , y_1,i + K_1,1, y_2,i + K_2,1,…,y_m,i + K_m,1), i=1, 2, …, m,

K_l,3=f_l(x_i + , y_1,i + K_1,2, y_2,i + K_2,2,…,y_m,i + K_m,2), i=1, 2, …, m, (13)

K_l,4=f_l(x_i + h, y_1,i + hK_1,3, y_2,i + hK_2,3,…,y_m,i + hK_m,3), i=1, 2, …, m,

Y_l,i+1 = y_l,i +( K_l,1 + 2 K_l,2 + 2 K_l,3 + K_l,4), i=1, 2, …, m,

Здесь через y_l,i обозначается приближенное значение функции y_l(x) в точке x_i .

Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты K_l,i в следующем порядке:

K_1,1, K_2,1,…, K_m,1,

K_1,2, K_2,2,…, K_m,2,

K_1,3, K_2,3,…, K_m,3,

K_1,4, K_2,4,…, K_m,4,

и лишь затем приближенные значения функций y_1,i+1, y_2,i+1,…, y_m,i+1.

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y', …, y^(n-1)), x (x₀, X), (14)

y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y_1,0, …, y^(n-1)(x₀)=y_n-1,0 (15)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z₀= y, z₁= y',…, z_n-1= y^(n-1). (16)

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций z_l переписываются в виде

z₀(x₀)= y₀, z₁(x₀)= y_1,0,…, z_n-1(x₀)= y_п-1,0. (18)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_l,i+1= z_l,i +(K_l,1+ 2K_l,2+ 2K_l,3+ K_l,4), (19)

i=0, 1, …, N, l=0, 1, …, n-1.

Для вычисления коэффициентов K_l,1, K_l,2, K_l,3 и K_l,4 имеем следующие формулы:

K_0,1=z_1,i,

K_1,1=z_2,i,

…………

K_n-1,1= f(x_i, z_0,i, z_1,i,…, z_n-1,i,),

K_0,2= z_1,i+ K_1,1,

K_1,2= z_2,i+ K_2,1,

…………………

K_n-1,2= f(x_i+ , z_0,i+ K_0,1, z_1,i+ K_1,1,…, z_n-1,i+ K_n-1,1),

K_0,3= z_1,i+ K_1,2,

K_1,3= z_2,i+ K_2,2,

……………………

K_n-1,3= f(x_i+ , z_0,i+ K_0,2, z_1,i+ K_1,2,…, z_n-1,i+ K_n-1,2),

K_0,4= z_1,i+ hK_1,3,

K_1,4= z_2,i+ hK_2,3,

……………………

K_n-1,4= f(x_i+ h, z_0,i+ hK_0,2, z_1,i+ hK_1,2,…, z_n-1,i+ hK_n-1,2).

Задания лабораторной работы 1

1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.

2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)

3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.

Задача №1. Решить задачу Коши на отрезке [x₀,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.

Варианты заданий в табл.1.

Табл.1.

№ варианта

Уравнение

Начальное условие

[x₀,X]

N

1

y'(x)=sin(xy²)

y(0)=1

[0,2]

10

2

y'(x)=cos(x) + y²

y(0)=2

[0,2]

20

3

y'(x)= cos(xy²)

y(0)=3

[0,2]

30

4

y'(x)=sin

y(0)=1

[0,2]

40

5

y'(x)=tg

y(0)=2

[0,2]

50

6

y'(x)=x + y²

y(1)=3

[1,2]

10

7

y'(x)=

y(1)=1

[1,2]

20

8

y'(x)=cos

y(1)=2

[1,2]

30

9

y'(x)=sin (x)

y(1)=3

[1,2]

40

10

y'(x)=

y(1)=1

[1,2]

50

11

y'(x)=x ln(1+y²)

y(1)=2

[1,3]

10

12

y'(x)=y cos(x+y²)

y(1)=3

[1,3]

20

13

y'(x)=e^x x+y²

y(1)=1

[1,3]

30

14

y'(x)=sin(x(1+y²))

y(1)=2

[1,3]

40

15

y'(x)=lg

y(1)=3

[1,3]

50

16

y'(x)=x+y² 3^x

y(-1)=1

[-1,1]

10

17

y'(x)=|x-y|(1+x²+y²)

y(-1)=2

[-1,1]

20

18

y'(x)=

y(-1)=3

[-1,1]

30

19

y'(x)=x+

y(-1)=1

[-1,1]

40

20

y'(x)=

y(-1)=2

[-1,1]

50

21

y'(x)=

y(0)=3

[0,π]

10

22

y'(x)=sin(x) ln(1+y²)

y(0)=1

[0,π]

20

23

y'(x)=sin(y) cos(x+y²)

y(0)=2

[0,π]

30

24

y'(x)=e^x sin(y)+x² e^y

y(0)=3

[0,π]

40

25

y'(x)= cos(x) (x+y²)

y(0)=1

[0,π]

50

26

y'(x)=

y(π/2)=2

[π/2,π]

10

27

y'(x)=x 2y+y 2x

y(π/2)=1

[π/2,π]

20

28

y'(x)= |x - y| cos(x² + y²)

y(π/2)=3

[π/2,π]

30

29

y'(x)=

y(π/2)=2

[π/2,π]

40

30

y'(x)=(y + x )

y(π/2)=3

[π/2,π]

50

Задача №2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.

Табл.2.

№ варианта

Дифференциальное уравнение

Начальное условие

[x₀,X]

N

1

y(x)=x y(x)+ sin(x)

y(0)=1,

y'(0)=2

[0,2]

10

2

y"'(x)=2x² y(x) y"(x)

y(0)=2,

y'(0)=2,

y"(0)=1

[0,2]

20

3

y"(x) – 3cos(x) y(x)=tg(x)

y(0)=3,

y'(0)=2

[0,2]

30

4

"'y(x)=x y'(x)

y(0)=1,

y'(0)=1,

y"(0)=1

[0,2]

40

5

y"'(x)=-cos(x) y"(x) – y(x) sin(x)

y(0)=2,

y'(0)=2,

y"(1)=1

[0,2]

50

6

y"(x)– sin(x) y(x)=sin(x)

y(1)=3,

y'(1)=1

[1,2]

10

7

y"(x) – 2x² y(x)=cos(x)

y(1)=1,

y'(1)=1

[1,2]

20

8

y"'(x)=(x – 1) y(x) + x y"(x)

y(1)=2,

y'(1)=1,

y"(1)=1

[1,2]

30

9

y"(x) - sin(x) y(x)=sin³(x)

y(1)=3,

y'(1)=1

[1,2]

40

10

y"'(x)=x y(x) - sin(x) y'(x)

y(1)=1,

y'(1)=1,

y"(1)=1

[1,2]

50

11

y"(x)-cos(x) y(x)=x

y(1)=2,

y'(1)=1

[1,3]

10

12

y"'(x) – 2x² y(x)=x²

y(1)=3,

y'(0)=1,

y"(0)=1

[1,3]

20

13

y"(x) - lgx y(x)=2^x

y(1)=1,

y'(1)=1

[1,3]

30

14

y"'(x) - 2|sin(x)| y'(x)=3x³

y(1)=2,

y'(1)=1,

y"(1)=1

[1,3]

40

15

y"(x) – 2lnx y(x)=1+x

y(1)=3,

y'(1)=1

[1,3]

50

16

y"'(x) - |cos(x)| y(x)=x

y(-1)=1,

y'(-1)=1,

y"(-1)=1

[-1,1]

10

17

y"(x) - 2|x| y(x)=cos²(x)

y(-1)=2,

y'(1)=1

[-1,1]

20

18

y"'(x) - y(x)=e^2x

y(-1)=3,

y'(-1)=1,

y"(-1)=1

[-1,1]

30

19

y"(x) – ln(1+x²) y(x)=sin(2x)

y(-1)=1,

y'(1)=1

[-1,1]

40

20

y"'(x) – sin|x| y(x)=sin(x)

y(-1)=2,

y'(-1)=1,

y"(-1)=1

[-1,1]

50

21

y"(x) - 2y(x)=sin(x)

y(0)=3,

y'(0)=2

[0,π]

10

22

y"'(x)=3y(x)+y"(x) cos(x)

y(0)=1,

y'(0)=1,

y"(0)=1

[0,π]

20

23

y"(x) - 2x y(x)=x³

y(0)=2,

y'(0)=2

[0,π]

30

24

y"'(x) - x y(x)=x⁴y'(x)

y(0)=3,

y'(0)=1,

y"(0)=1

[0,π]

40

25

y"(x) - 2x² y(x)=x²

y(0)=1,

y'(0)=2

[0,π]

50

26

y"'(x)=cos(x) y(x)+e^x y"(x)

y(2)=2,

y'(2)=1,

y"(2)=1

[2,π]

10

27

y"(x) - 2x² y(x)=2x e^x

y(2)=3,

y'(0)=2

[2,π]

20

28

y"'(x) - 5y"(x)=3^2x

y(2)=1,

y'(2)=1,

y"(2)=1

[2,π]

30

29

y"(x) - 2sin(x) y(x)=sin(3x)

y(2)=2,

y'(0)=2

[2,π]

40

30

y"'(x) - lnx y'(x)=1

y(2)=3,

y'(2)=1,

y"(2)=1

[2,π]

50

Задача №3.

Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10^-8 решение задачи Коши y'(x)=2x(1+y²), y(0)=0 в точке x=1.

(Точным решением является функция y(x)=tg(x²))

Задача №4.

Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши

y'(x)= , y(1)=0.

(Точным решением данной задачи является функция y(x)=tg(ln).

Контрольные вопросы:

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?

2. Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?

3. В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?

4. Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.