Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, )

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0, ), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция (t), tR¹, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A₁<A₂<…<A_k+1, такие, что

а) ;

б) знаки функции (t) на множествах A₁, A₂, …, A_k+1 перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R¹. Пишем , если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x₁, …, x_k (-<x₁<…<x_k<) такие, что

(-1)^k-i f(x_i) > (-1)^k-i g(x_i), ;

б) существуют точки y₁, …, y_k (-<y₁<…<y_k<) такие, что

(-1)^k-i f(y_i) > (-1)^k-i g(y_i), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ) и f, g  F.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений: , ,, .

Функция f имеет индекс k^- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k⁺ в F, если выполнено и не выполнено .

Через I_k^- (I_k⁺), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k^- (k⁺) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ).

Через F_U обозначим множество функций fF, для которых интегралы

, uU,

абсолютно сходятся.

В случае положим , fF_U, AF_U, :

, F_i(A)={F_i(f): fA},

, ,

.

Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u₁(t), …, u_n(t) и u₁(t), …, u_n(t), u_n+1(t) образуют T₊-системы на [0, ) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где kn, и A₁, …, A_k – множества строгого знакопостоянства функции g - f. Для векторов рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть

, (1)

где d_i(-1)^k-i, и d_i=0, для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0₁<₂<…<_k<. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .

Пусть теперь и .

Так как

, (3)

где d_i=(-1)^n+1-i, , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством d_n+1=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {f_i}_i1 функций на [0, ) относительно класса U слабо сходится к функции f , если

для всех uU.

Определение 4. Множество AF_U назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .

Множество AF_U назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)L при t0, fF;

2. ;

3. Множества I_k^- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {f_i}_i1I^-_k+1 (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система образует T₊ - систему на [0, ).

Рассмотрим систему функций , такую, что w_i=u_i для и - T₊ - системы для mn (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система образует T₊ - систему на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {f_j}_j1I_k^- такая, что . Зафиксируем произвольное f_l.

Если f_lI_k^-, где kn+1, то положим f_l^*=f_l.

Пусть k>n+1 и ={} – (k-1, W) окрестность f_l в I_k^-.

Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для sk-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в R^k-1, содержащее .

Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x₁, …, x_k-2. Условие _k-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим _k-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>x_k-2.

Имеем

,

где c_lⁱ – i-ая компонента вектора , и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то m_l >-.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

F_k-1(f_lp)>F_k-1(f_lq)=m_l при p<q и

,

Рассмотрим произвольные f_lp и f_lq, где p<q. Так как , то отношения и невозможны для sk-2. Отношения и невозможны, так как f_lp, f_lqI_k^-. Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что F_k-1(f_l^’)=m_l.

Отношение f_l^’I_k^- невозможно, в силу определения числа m_l и принципа инвариативности области. Отношения f_l^’I_m^- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества I_k⁺ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {f_i}_i1I_k⁺ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. I_k⁺F_U для kn+1.

Теорема 2. Пусть система образует T₊-систему на [0, ), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ) функций назовем T₊¹-системой, если она является T₊-системой, и, кроме того, системы u₁, …, u_l-1, u_l+1, …, u_n также являются T₊-системами для .

Лемма 2. Пусть - T₊¹-система на [0, ), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_i(f)  (-1)^n-i F_i(g), .

Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1pn.

Пусть x₁, …, x_p-1 (-<x₁<…<x_p-1<) – точки перемен знака функции ; x_о=-, x_n=; . Выберем точки x_n-1<x_n-2<…<x_p<x_p-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_i=1. Из условия следует, что h_n=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_nⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T₊¹-система на [0, ), то detA>0, detA_nⁱ>0, . Следовательно, h_n0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T₊¹-система на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j₁, такое, что , где  - какая-либо метрика в Rⁿ, и

, .

Выберем j₂ так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть  – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -<a<b<; (t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем ^(k)(t)>0 для t[a, b] и ; c₁, …, c_n – вещественные константы; [a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве ФР из , удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов _o - всех ФР на [a, b] и В_L – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -<x<y<, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что  - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, _o, B_L, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k A, ): I_k⁺ (I_k^-) –множество всех ФР из , имеющих индекс k⁺ (k^-);- пространство моментов порядка k;, .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок  обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для  и для .

Пусть и , где , a, b.

Функция _ непрерывна слева на [a, b] и _(a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то _ не убывает по .

Далее, из _k при k следует _. Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B₀(f)<…<B_m(f) (под X<Y (X, YR¹) понимаем x<y для всех xX, yY) из [a, b] такие, что (-1)^j f(x)>0 (или (-1)^j+1f(x)>0 при xB_j(f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения  () и для любого _, , функция _ - (_ - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция _ - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x₀<x₁<…<x_n+3b такие, что (-1)ⁱ [_ -] > 0, . Кроме того, _(a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y₀[a, x₀), y₁[x₀, x₁), …, y_n+3[x_n+2, x_n+3) такие, что функция (-1)ⁱ [t - _(t)] возрастает в точке y_i, , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

_tc_i, ,

где , , с₀ = 1.

Очевидно, что последовательности u₀, …, u_k, , образуют T₊ - системы на [a, b]. Из условия ^(k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u₀, …,-u_k , также образуют T₊ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция _ - не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_i(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P₀(f)=(-, infB₁(f)], P_i(f)=[supB_i-1(f), infB_i+1(f)],

, P_k(f)=[supB_k-1(f), +).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{__ - :[0,1]} и {__ - :[0,1]}.

Число  (число ) назовем: параметром первого типа, если функция _ (_) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция _ (_) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция _ (_) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция _ (_) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X₀(), …, X_n+2() (Y₀(), …, Y_n+2()) следующим образом. Если  () есть:

1. параметр первого типа, то

X_i()=P_i(_), (Y_i()=P_i(_), );

3. параметр второго типа, то

X_i()=P_i-1(_), , X₀()=(-, infB₀(_)],

(Y_i()=P_i(_), , Y_n+2()=(supB_n+1(_), +));

4. параметр третьего типа, то

X_i()=P_i(_), , X_n+2()=[supB_n+1(_), +)),

(Y_i()=P_i-1(_), , Y₀()=(-, infB₀(_)]).

Таким образом:

(-1)^n-i_(t)0 при tIntX_i(), , (1)

(-1)^n-i_(t)0 при tIntY_i(), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntX_i() и (-1)^n-i_(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntY_i() и (-1)^n-i_(t)0 при tY.

Заметим также, что X_i(0)=Y_i+1(0), X_i+1(1)=Y_i(1).

Определение 2. Отображение Z(): [0, 1]Z()R¹ непрерывно, если из _i⁰, x_ix⁰, где ⁰, _i [0, 1], x_iZ(_i), i1, следует x⁰Z(⁰).

Лемма 2. Отображения X_i(), Y_i(), непрерывны.

Доказательство. Пусть _j, j. Обозначим через границы отрезка X_i(_j). Определим a₀=-. Возьмем произвольную точку a₁ сгущения последовательности {a₁^(j)}_j1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_i^(j)}_j1, и {b_i^(j)}_j1, . Положим b_n+2=+.

Итак,

, , (2)

причем -=a₀₁b₀a₂b₁…a_n+1b_na_n+2b_n+1n+2=+.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-i_(t)0 (3)

при t(a_i, b_i), если a_ib_i.

Из (3) и следует, что a_ib_i, , так как в противном случае функция _ имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_i() следует [a_i, b_i]X_i(),. Для любого i из x_j[a_i^(j), b_i^(j)] и x_jx⁰ вытекает, что x⁰[a_i, b_i]. Следовательно, x⁰X_i().

Непрерывность отображений Y_i() доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР и любой точки [a, b] существует ФР такая, что _v(t)_(t) (_v(t)_(t)) в некоторой окрестности точки .

Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Y_i(0), то в некоторой окрестности точки  имеет место ₀0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и Y_i(0).

Случай I, in+2. a) Предположим, что Y_i(1). Пусть . Согласно лемме 2, Y_i(^). В силу сделанного предположения, <1 и, следовательно, существует последовательность {_j}_j1 такая, что Y_i(_j) и _j. Пусть для некоторого _l не существует такого k, что n-k четно и Y_k(_l). Тогда в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем . Если же для всех _j, j1, существует k_j такие, что n-k_j четны и , то существует m, mi, такое, что n-m четно и Y_m(_j) для бесконечного числа элементов последовательности {_j}. По лемме 2 Y_m(). Так как n-i и n-m четны, то mi-1, mi+1. Вместе с mi это противоречит включению Y_i().

б) Предположим, что Y_i(1)=X_i+1(1). Пусть inf{X_i+1()}. Согласно лемме 2, X_i+1(). Если , то X_i+1(0)=Y_i+2(0). Это противоречит условию X_i+1(). Поэтому  и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При Y_n+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть Y_n+2(1). Так как Y_n+2(1)Y_n+1(1), то Y_n+1(1). Точка  не может совпадать с левым концом отрезка Y_n+1(1), так как в этом случае множества Y_n+1(1) и Y_n+2(1) совпадают, что невозможно. Так как Y_n+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Y_n+1(1), то ₁(t)0 в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что _-_ в некоторой окрестности точки . Случай _-_ рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

_() и _(+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=_() . Пусть последовательность ФР , i, такова, что . Выберем подпоследовательность последовательности {_i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что _d. Для произвольного >0 выберем < такое, что _-_< и - точка непрерывности _. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ()-_()<, из которого следует, что _() - ()<, j>N. Так как ()  (), то _() - ()<, откуда следует _( - d. Последнее неравенство влечет _d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, )

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть  - выпуклый класс ФР на [0, ), системы u₀1 на [0, ) функций образуют T₊-системы на [0, ).

Положим (1in, ):

, ,

- моментное пространство класса  относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

1⁰. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе _х решается, и в переносе предельным переходом x решения на класс .

Для любого x>0 введем подкласс класса : _х={:x+0)=1}.

Очевидно, для любых x₁<x₂

(1)

Предположим, что для любого x>0 _х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ), класс ФР вогнутых на [0, ),класс ФР  на [0, ), удовлетворяющих при 0x<y< неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

(-замыкание множества XRⁿ),

где I_i^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в .

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

(2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа _>0, …, _n>0, _n+1>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс _x является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где , () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе _x.

Так как ФР имеет индекс (n+1)^- в  и , то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].

2⁰. Второй подход продемонстрируем на примере класса ₀ всех ФР на 

Лемма 2. Если u₀, u₁, …, u_n – T₊-система на , то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T₊-системы следует, что для произвольных i, j и чисел  функции u_j(t) и u_j(t)+u_j(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения u_j(t)=0. Рассмотрим уравнение

u_j(t)+u_j(t)=0, t>x. (3)

Уравнение (u_i(t)0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ) при любых .

Пусть , .

Допустим, что не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {t_i}_i1, {_i}_i1, удовлетворяющие условиям:

а) t_k_k при k;

б) , ;

в) t₁<_<t₂<_<…<t_m<_m<… .

Пусть c(A, B).

Из-за непрерывности функции на (x, ) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ).

Выберем 0j₀n так, чтобы для всех и обозначим .

Пусть число t₀ таково, что при t>t₀.

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v₀, v₁, …, v_n и v₀, v₁, …, v_n,  являются T₊-системами на [0, ).

Предположим, что эти системы являются T₊-системами также на [0, ], т. е. для любых 0t₀<t₁<…<t_n-1<t_n<

, ,

где .

Через обозначим множество ФР ₀, для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть - моментное пространство класса относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем .

Таким образом, - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (₀^U)

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .

Таким образом, задача в классе ₀ сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

 - величина скачка функции в точке .

Литература

1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.