Данная разработка может быть использована для проведения внеклассного мероприятия для учащихся 8-11 классов в рамках естественнонаучной предметной недели.

В ней рассматривается история возникновения фракталов, понятие фрактала, принцип его построения. Даются сведения о трех основных классах фракталов: геометрических, алгебраических и стохастических, приводятся их примеры. Так же уделяется внимание окружающим нас фракталам, которые встречаются в природе. Иллюстрации и интересные факты, собранные в презентации, позволят узнать много нового о фрактальной геометрии. Тест и практическая работа помогут закрепить полученные знания.

Цели и задачи

Развить:

• интерес к математике

• стремление познавать окружающий мир

• любознательность

• логику

• информационную культуру

Научить:

• анализировать процессы, происходящие вокруг нас

• выводить некоторую закономерность

• выявлять аналогии

Формировать:

• познавательную компетентность

• личностную компетентность

• самообразовательную компетентность учащихся

Фрактальная геометрия — удивительная область математики, которая таит ключ к познанию природы. В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг нас, мы пытаемся найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

4 слайд

Георг Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств. Он также придумал один из старейших фракталов - множество Кантора (описано им в 1883). На Западе подобные множества называют иногда пылью. Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого фрактала.

Способ построения этого множества следующий. Берётся отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора. Нетрудно заметить, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так как мы исключили в результате длину, равную 1:

5-6 слайды

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot). Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный».

7 слайд

Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе. В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

8-14 слайды

Рассмотрим принцип построения геометрических фракталов.

Фракталы этого класса самые наглядные. В них сразу видна самоподобность.

Их получают путем простых геометрических построений. Поступают следующим образом: берется отрезок или геометрическая фигура, на основании которых будет строиться фрактал. Далее выбирается набор правил, который преобразует наш отрезок в новую геометрическую фигуру. Затем к каждой части получившейся фигуры применяют тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее. И если мы проведем большое количество преобразований, то получим геометрический фрактал.

Для большей наглядности применим принцип построения геометрического фрактала к построению фрактала из цветов. Фракталы – это объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на нас будет смотреть его маленькая копия.

15 слайд

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно

прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса

фракталов: 

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.

Фракталы этого класса самые наглядные.

В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности

в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма

каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-

генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного

повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

16 слайд

Драконова ломаная - это очень стильный геометрический объект. Его татуированное изображение запросто могло бы украсить тело какого-либо прославленного бойца кунг-фу. Глядя на драконову ломаную, сразу вспоминается Шаолиньский монастырь, а в ушах звучит загадочная музыка. Драконова ломаная относится к классу самоподобных геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. Попробуйте "научить" ваш компьютер строить драконовы ломаные n - того порядка (естественно, в разумных пределах значений n). Это умственное упражнение будет способствовать оттачиванию вашего "боевого" искусства алгоритмизации и программирования. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый "дракон" десятого порядка.

17 слайд

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

18-19 слайды

Рассмотрим «Треугольник Серпинского». Для этого берём равносторонний треугольник, затем отмечаем середины сторон. проводим средние линии и исключаем средний треугольник. В оставшихся трёх треугольниках опять проводим средние линии и исключаем средние треугольники и т.д. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его – получим точную копию целого. В данном случае имеем дело с полным самоподобием.

20-21 слайды

Строится ковер Серпинского следующим образом. Вначале берётся квадрат со стороной равной единице, затем каждая сторона квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной равной . Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков

и т. д.

22 слайд

2.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.

Это самая крупная группа фракталов.

Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

Наиболее изучены двухмерные процессы. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Z_n+1 =f (Z_n),

где Z - комплексное число, а f – некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится – на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• с течением времени стремится к бесконечности;

• стремится к 0;

• принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;

• поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Классической иллюстрацией алгебраических фракталов является 

множество Мандельброта

23 слайд

3.СТОХАСТИЧЕСКИЕ (случайные) ФРАКТАЛЫ. 

Ещё одним известным классом фракталов являются стохастические (случайные) фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Плазма - типичный представитель данного класса фракталов в компьютерной графике. Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число, тем более «рваным» будет рисунок. Если, например, сказать, что цвет точки – это высота над уровнем моря, то получим вместо плазмы горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью этого алгоритма строится карта высот

24-25 слайды

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

26-29 слайды

Фрактальное искусство – это одно из направлений цифрового искусства.    Это не нарисовано или раскрашено вручную, а сделано при помощи программного обеспечения, которое основывается на математических расчетах для визуального отображения объектов.

30-39 слайды

«Проверь себя»

Учащимся предлагаются вопросы по теме презентации и затрагиваются темы курса геометрии 8-11 классов.

40-41 слайды

Можно предложить учащимся самим придумать, изобразить фракталы и провести конкурс «Лучший фрактал».

8