Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

(1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками прямых соответственно – и характеристиками:

уравнения (1).

Пусть ;– интервал прямой ;

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки , с характеристиками и соответственно;

(2)

(3)

– операторы дробного интегрирования порядка - при и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка при , причем

где – единичный оператор, а – целая часть .

Под регулярным в области решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что может обращаться в бесконечность порядка ниже на концах А и В интервала I.

Задача Н. Найти регулярное в области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

, (4)

, (5)

где ,

(5`)

. (6)

Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши , дается формулой [1]:

(7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное на из [2]:

, (8)

где

(9)

Из постановки задачи Н следует, что функция непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

, (10)

. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное из области на :

(12)

Подставляя в (9) вместо функции её выражение (12), получаем :

где

.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

(14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

, , ,

, .

В интегралах сделаем подстановки

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

соответственно. В результате получим равенства:

,

Подставляя значения в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

(15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

(16)

где обозначено

(17)

2 Труды молодых ученых № 3, 2007

(18)

(19)

Введем вспомогательную функцию по формуле :

(20)

Легко заметить, что функция и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше , а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция :

(21)

Учитывая значение функции из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

.

Обозначим

. (22)

Тогда окончательно имеем:

.

Аналогично находим, что

,

где обозначено , (23)

; (24)

. (25)

Используя известное тождество [3],

,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

(26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

,

, ,

,

, , – известные функции, ограниченные соответственно на 0  t  x  1, 0  x  t  1, 0  x  1, причем , .

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

, (27)

где причем ядро и функция ограниченные соответственно при, 0 x, t 1, 0 x 1.

Следуя [2], обозначим через – множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию где , – целая часть , – целая часть [1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе .

Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения , функция задаётся формулой (12). Таким образом, в области приходим к задаче [6]: найти регулярное в области решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной в замкнутой области и удовлетворяющее граничным условиям (4) и .

Решение этой задачи задается формулой :

где – функция Грина этой задачи для уравнения

. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

где ;

;

– функция Бесселя. Функции , называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.