Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Алгебра и геометрия

Выполнил: Шевыряев А.Н.

Группа: СДТ-03

Вариант:6

Проверил: ___________________

Новосибирск, 2010 г

Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.

1. Решение системы методом Крамера.

Формулы Крамера:

Найдем значения неизвестных:

Выполним проверку:

2. Решение системы методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:

Выполним преобразования:

1. умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;

2. умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;

3. умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.

В результате получили матрицу системы треугольного вида.

Запишем итоговую систему:

Найдем значения неизвестных:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1. длину ребра ;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. уравнение плоскости .

5. объём пирамиды .

Решение.

Рисунок 1.

1. Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

2. Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:

В нашем случае:

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

3. Площадь грани можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае

4. Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

;

;

Полученное уравнение является уравнением плоскости .

5. Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов :