Полуточка: модель скорости

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.

Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.

Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:

Считается, что точка принадлежит миру с временем :

В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:

Здесь величина определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом есть разность времён этих двух миров:

Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:

Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина зависит от величины , и с течением величина испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и :

Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:

и

Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:

Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:

где через обозначен оператор с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:

Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А именно:

Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В силу того, что величина и её приращение являются скалярами, имеем:

И в случае когда мало, имеем:

Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:

Оставив члены первого порядка малости по :

Используя определение полуточки

получим:

Положив точку функцией величины и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности , получим:

Это выражение и является определением скорости точки , если она движется во времени , испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:

Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:

То есть абсолютное приращение точки выполняется несмотря на произвольность величины так, что точка остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.

Отметим также, что в силу свойства точки верно равенство:

Далее...

Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.

Для понимания дальнейшего вывода представим величины и в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:

Здесь индексом обозначены главные части, а индексом - дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:

Сгруппировав главные и дуальные части, получим:

Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин , , и , оценим характер вклада в скорость точки отдельных величин и . А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.

Случай 1.

Зададим точку как дуальный вектор с единичной главной частью:

а величину как дуальный вектор с нулевой главной частью:

Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:

В силу того, что выбрано условие , имеем:

Таким образом, в приведённых выше условиях величина является линейной скоростью приращения дуальной части . В силу того, что в состав величины входит как полярная, так и дуальная части, то есть:

то в силу свойств функций и , определённых как

И имеющих свойства сопрягаться:

Имеем равенство для первого случая:

Или: величина является линейной скоростью изменения вектора .

Случай 2. Выберем величины и такими, что выполняются следующие условия:

Используя выражение (29) с этими условиями, получим:

В силу выбора и свойства (38) имеем:

И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:

Переведя величины и в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:

где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов и .

Или: величина является угловой скоростью вращения вектора .

Таким образом, величины и имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.

Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний и здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.

К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины и , а также отдельное исследование главной части точки . В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора , существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.