Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

(1)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y_t) от выравненных, расчетных (ŷ_t):

(2)

При использовании кривых роста ŷ_t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e_t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

d = (3)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d≈ 2(1-r₁)

где r₁- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е₁, е₂, ... ,е_n_-1 и е₂, е₃,…,e_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная авто корреляция ( r₁≈1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁≈-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r≈0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d₁и d₂– соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k¹– число переменных в модели; n- длина ряда.

Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d₁и d₂при 5% уровне значимости

K¹=1

K¹=2

d₁

d₂

d₁

d₂

d₁

d₂

1.08

1.1

1.13

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.27

1.29

1.3

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.49

1.4

1.41

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45

1.46

1.47

1.48

1.49

1.5

1.51

1.52

0.95

0.98

1.02

1.05

1.08

1.1

1.13

1.15

1.17

1.19

1.21

1.22

1.24

1.26

1.27

1.28

1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.54

1.53

1.54

1.55

1.56

1.57

1.58

1.59

0.82

0.86

0.9

093

0.97

1.03

1.05

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

1.21

1.23

1.24

1.26

1.27

1.28

1.29

1.75

1.73

1.71

1.69

1.68

1.67

1.66

1.65

Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d₁иd₂ , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнеии величины d с d₁и d₂ возможны следующие варианты:

Если d<d_1,то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;
Если d>d₂ , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;
Если d₁≤d≤d₂, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности" .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e_t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d_j и d₂ сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

А= (4)

Э= (5)

σ_a= (7)

где А- выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика экцесса;

σ_А- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

σ_Э- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|А|<1,5σ_А; | |<1,5σ_Э(8)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|А|≥2σ_А;|Э+| ≥2σ (9)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав

1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

курс акции (Дол.)

t Yt t Yt t Yt t Yt

1 509 6 515 11 517 16 510

2 507 7 520 12 524 17 516

3 508 8 519 13 526 18 518

4 509 9 512 14 519 19 524

5 518 10 511 15 514 20 521

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

а) с помощью метода Фостера - Стюарта;

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

3. Годовые данные об изменении урожайности зерновых культу; представлены в таблице. С помощью критерия "восходящих и нисходящих" серий проверить утверждение о том, что в изменении урожайности имеется тенденция.

Урожайность зерновых культур (ц/га)

Y_t

6,7

8,6

8,4

9,1

7,3

7,8

9,1

9,5

7,6

7,7

8,3

10,4

7,9

8,7

10,5

7,4

8,2

8,9

10,2

9,3

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1.

1) Если уровень y_t больше всех предшествующих уровней, то в графе m_t ставим 1, если y_t меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе l_t;

2) Определяем d_t=m_t-1_t для t=2ч20;

3) D = =3;

4) Значение σ_dдля n=20 берем из таблицы 1.2.

σ_d =2,279.

Значение t_кp берем из таблицы t- распределения Стьюдента:

t_кp (а=О,05; К=19)=2,093; t_H ==1,316.

T_H< T_k_р нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда.

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует.

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4.

Таблица 1

Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта

Y_t

M_t

E_t

D_t

Y_t

M_t

E_t

D_t

509

507

508

509

518

515

520

519

512

511

-1

517

524

526

519

514

510

516

518

524

521

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 2

Y_t

Y^'_t

Y_t

Y^'_t

Y_t

Y^'_t

509

507

508

509

518

515

507

508

509

510

511

520

519

512

511

517

524

526

519

512

514

515

516

517

518

519

520

521

524

526

519

520

521

524

526

1) от исходного ряда y_t переходим к ранжированному y_t^', расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2) Т.к. n=20 (четное)

Медиана

М_е= =516,5;

3) Значение каждого уровня исходного ряда y_t сравнивается со значением медианы. Если y_t >М_е, то δ_iпринимает значение «+», если меньше, то «-»;

4) v (20)=8- число серий;

_max (20)=4- протяженность самой большой серии.

В соответствии делаем проверку:

_max (20)<[3,3(lg20+1)]

v(20)>[(20+1-1.96)]

4<7

8>6

Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.

Таблица 3

Y_t