Решение экономических задач

Задание 1

Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:

Наименование составных частей

Виды наборов

Шар

Колокольчик

Мишура

В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице

Вид сырья

Составные элементы

Шар

Колокольчик

Мишура

Стекло

Папье-маше

Фольга

Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x₁, x_2, x₃и x₄штук;

2) провести подсчеты для значений x₁= 500, x₂ = 400, x₃= 300 и x₄=200.

Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n₁, n₂ и n₃ - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:

n₁ = 5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄

n₂ = 3x₁ + 4x₂ + 6x₃

n₃ = 3x₂ + 5x₃ + 8x₄

Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y₁, y₂ и y₃ - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:

y₁ = 5n₁

y₂ = 4n₂

y₃ = 3n₁ + 75n₃

Теперь подставим вместо n_i - полученные ранее равенства.

y₁ = 5· (5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄) = 25x₁ + 30x₂ + 40x₃ + 50x₄

y₂ = 4· (3x₁ + 4x₂ + 6x₃) = 12x₁ + 16x₂ + 24x₃

y₃ = 3· (5x₁ + 6x₂ + 8x₃ + 10x₄) + 75· (3x₂ + 5x₃ + 8x₄) = 15x₁ + 243x₂ + 399x₃ + 630x₄

Проведем подсчеты для значений

x₁= 500, x₂ = 400, x₃= 300 и x₄=200.

y₁ = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.

y₂ = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.

y₃ = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.

Задание 2

Пусть a_ij_-количество продукции j, произведенной предприятием i, а b_i_-стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a_ij и b_iзаданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).

Решение:

Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:

A · X = B

Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A^-1

A^-1 · A · X = A^-1 · B; E · X = A^-1 · B; X = A^-1 · B

Найдем обратную матрицу A^-1

Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017

;

X =· = =

Решим систему методом Крамера

Δ = - 1017

Δ₁ = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153

Δ₂ = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119

Δ₃ = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187

x₁ = Δ_1/Δ = - 9153/ (- 1017) = 9

x₂ = Δ_2/Δ = - 7119/ (- 1017) = 7

x₃ = Δ_3/Δ = - 11187/ (- 1017) = 11

Решим систему методом Гаусса

=> => =>

=> => = >

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p₁, p₂ - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.

Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.

Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.

Проанализировав чертеж, сделайте выводы.

Месяц

Товарооборот, (тыс. р)

5,6

30,5

59,3

96,4

72,6

56,8

38,6

Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х², у².

x²

y²

18,0

324,00

33,662

5,6

11,2

31,36

36,089

30,5

91,5

930,25

38,516

59,3

237,2

3516,49

40,943

59,3

296,5

3516,49

43,37

42,0

252

1764,00

45,797

96,4

674,8

9292,96

48,224

72,6

580,8

5270,76

50,651

56,8

511,2

3226,24

53,078

52,0

520

100

2704,00

55,505

38,6

424,6

121

1489,96

57,932

33,0

396

144

1089,00

60,359

Итого

564,1

4013,8

650

33155,51

564,13

;

Уравнение регрессии:

= 31,235 + 2,427 · х

Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.

Найдем прогноз на полгода вперед:

= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.

Найдем прогноз на год вперед:

= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:

;

Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.

= 4x³ + 2xy²; 4x³ + 2xy² = 0; 2x (2x² + y²);

2x = 0 или (2x² + y²) = 0; точка (0, 0)

= 4y³ + 2x²y; 4y³ + 2x²y = 0; 2y (x² + 2y²);

2y = 0 или (x² + 2y²) = 0; точка (0, 0)

Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)

= 12x² + 2y²; 12 * 0² + 2 * 0² = 0 = А

= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B

= 12y² + 2x²; 12 * 0² + 2 * 0² = 0 = C

Δ = AC - B² = 0

Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.

Точка (0; 0) возможный экстремум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.

Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:

= ; = ; = ; =

Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140

Составим систему.

;

Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.

и ,

Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:

D (Q) = S (Q); = ;- t² - 6t + 300 = 0

t₁ = - 25,12 и t₂ = 16,72, t₁ - не удовлетворяет условию

; Q = 279,56 ед.

При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.

Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:

S_потр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =

= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7

Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:

S_произв = 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - =

= 28045,46 - 4 * 16,72³ = 9348,6