Вариант 1

Задание 1

Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:

1. длину стороны АВ;

2. внутренний угол А с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной из вершины С;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертеж.

A

B

C

K

H

P

M

Решение:

1. Найдем координаты вектора :

.

Длина стороны АВ равна

.

2. Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :

.

Тогда угол .

3. Прямая проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:

, ,

- уравнение СК.

Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим

, ,

- уравнение прямой АВ.

Воспользуемся формулой .

.

4. Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .

, .

Координаты точки Р найдем как решение системы:

, , .

Р(4;6).

5. Координаты основания медианы будут:

, ,

М(3.5;2).

Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.

, , ,

- уравнение медианы СМ.

7. Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения ВС и АС по формуле .

, , ,

- уравнение ВС.

, , ,

- уравнение АС.

- уравнение АВ.

Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .

Аналогично для прямых ВС и АС.

; .

; .

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:

.

Ответ003A

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) Р(4;6);

5) ;

6) .

Задание 2

Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.

Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :

.

Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:

.

Определитель Δ≠0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

Для нахождения координат вектора в этом базисе, разложим вектор по базису :

.3

Найдем - координаты вектора в этом базисе.

.

Решим эту систему методом Гаусса.

Поменяем местами первое и третье уравнение:

Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:

Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:

Прибавим к третьему уравнению второе:

Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:

Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:

Вектор в базисе имеет координаты .

Задание 3

Найти производные функций:

а)

и

.

б)

и

.

в)

.

г)

,

.

Задание 4

1. Область определения .

2. На концах области определения: .

- значит - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты, если они есть:

У функции есть горизонтальная асимптота .

3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.

4. Функция периодичностью не обладает.

5. Найдем первую производную функции:

.

Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .

Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:

x

(-∞;-2)

-2

(-2;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

y’

-

0

+

0

-

Не существует

-

y

Убывает

-80/27

min

Возрастает

0

max

Убывает

Не существует

Убывает

6. Находим вторую производную функции:

Решая уравнение , получим ,

- это критические точки. Еще одна критическая точка .

Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:

x

1

(1;+∞)

y”

-

0

+

0

-

Не существует

+

y

Выпукла

-2.63

перегиб

Вогнута

-0.71 перегиб

Выпукла

Не существует

Вогнута

7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).

8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.

9. Необходимости в дополнительных точках нет.

Задание 5

Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Произведем замену переменной: , тогда

Проверка:

Произведем замену переменной: , тогда

Проверка:

Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Возьмем

Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:

Проверка:

Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.

Следовательно:

Разложим многочлен .

, тогда

.

Умножим обе части этого тождества на , получим

, тогда

. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.

Таким образом:

Проверка:

Ответ: ; ; ;

.

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:

. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).

, поэтому

кв. ед.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:

. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).

, поэтому

кв. ед.

19