Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

5.1. Понятие о средней величине

Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.

Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.

Средняя арифметическая простая, рассматривается в случае, когда известны все значения признаков х₁, х₂, , х_п и рассчитывается по формуле

где n – число вариант;

х – значение признака.

Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков и их частоты, по следующей формуле:

где х – значение признака;

f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной.

Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

 произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;

 если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;

 если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

 если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;

 сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

где W = xf – вес средней гармонической.

Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:

 простая:

 взвешенная:

Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:

 простая: ,

где Π – знак перемножения.

 взвешенная: .

Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).

Таблица 9

Магазин

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

6-й

7-й

8-й

9-й

10-й

Площадь магазина, м²

60

100

80

60

60

80

80

80

100

100

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Так как известна площадь каждого магазина, то для вычисления средней площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую:

м².

Средняя площадь магазина составляет 80 м².

Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10).

Площадь магазинов, м² (признак – х)

60

80

100

Число магазинов (частота – f )

3

4

3

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Если известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:

м².

Средняя площадь магазина составляет 80 м².

Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).

Таблица 11

Группировка магазинов по торговой площади,
м² (признак – х)

Удельный вес магазинов
в общей численности, % (частость – f )

40–60

20

60–80

50

80–100

30

Итого

100

Следует определить среднюю площадь магазина.

Решение

Известны отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:

.

Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).

Для первого интервала м² и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.

Таблица 12

Группировка магазинов
по торговой площади, м² (х)

Удельный вес магазинов
в общей численности, % ( f )

Середина
интервала (х)

xf

40–60

20

50

1000

60–80

50

70

3500

80–100

30

90

2700

Итого

100

–

7200

Таким образом, м².

Средняя площадь магазина равна 72 м².

Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).

Таблица 13

Площадь магазинов,
м² (признак – х)

Общая площадь магазинов,
входящих в данную группу, м² (w = xf )

60

180

80

320

100

300

Итого

800

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:

м².

Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м².

5.2. Вычисление средней из вариационного ряда
«способом моментов»

«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле

,

где i – размер интервала;

m₁ – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота);

А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).

Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.

Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

Таблица 14

Группировка магазинов
по торговой площади, м² (х)

Удельный вес магазинов,
% ( f )

До 40

5

40–60

30

60–80

40

80–100

20

Свыше 100

5

Итого

100

Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».

Решение

Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м²), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».

Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м² условно считаем, что интервал также равен 20 м², затем вычитаем 20 м² из 40 м² и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

Расчеты следует проводить в табл. 15.

Таблица 15

Группировка мага-
зинов по торговой
площади, м² (х)

Удельный вес
магазинов, % (f)

Середина
интервала (х)

х – А

xf

20–40

5

30

–40

–2

–10

40–80

30

50

–20

–1

–30

60–80

40

70

0

0

0

80–100

20

90

20

1

20

100–120

5

110

40

2

10

Итого

100

–

–

–

–10

Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70.

Определяем момент первого порядка: .

Среднее значение признака равно: + 70 =
= 68 м².

Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м².

5.3. Структурные средние

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.

Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы.

Мода рассчитывается по формуле

,

где х_Мо – нижнее значение модального интервала;

i_Мо – размер модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо–1 – частота, предшествующая модальной частоте;

f_Мо+1 – частота, последующая за модальной частотой.

Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле

,

где х_Ме – нижнее значение медианного интервала;

i_Ме – размер медианного интервала;

f – сумма частот;

S_Ме–1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте;

f_Ме – медианная частота.

Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.

Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.

Пример 6. В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16).

Таблица 16

Число детей (х)

Количество семей, в % к итогу ( f )

0

5

1

32

2

34

3

16

4

6

5

4

6 и более

3

Итого

100

Следует определить моду и медиану.

Решение

В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2.

Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (f = 100), затем рассчитаем полусумму .

Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 > 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана.

Пример 7. В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17).

Таблица 17

Группировка продавцов по возрасту, лет (х)

Удельный вес продавцов, % ( f )

До 20

6

20–30

24

30–40

35

Окончание табл. 17

Группировка продавцов по возрасту, лет (х)

Удельный вес продавцов, % ( f )

40–50

26

Свыше 50

9

Итого

100

Необходимо определить моду и медиану.

Решение

В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам.

Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу:

лет.

Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50 . Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 > 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом.

Затем подставим данные в формулу

.

Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов
в возрасте 35,5 лет), медиана – 35,7 лет (50 % продавцов достигли возраста 35,7 лет).