Статистическая обработка результатов прямых многоразовых измерений с независимыми равноточными

Розрахунково-графічне завдання

з теми:

«Статистична обробка результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»

Виконала:

Студентка групиАП-48б

Арсентьєва К.Г.

Харків 2010

Исходные данные

Экспериментально получены результаты серии наблюдений напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.

Задание

По результатам многократных наблюдений определить наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные границы.

Таблица 1

U(1)=170.02

U(17)=170.20

U(2)=170.41

U(18)=170.30

U(3)=169.95

U(19)=169.59

U(4)=170.17

U(20)=169.95

U(5)=169.95

U(21)=169.77

U(6)=170.01

U(22)=169.84

U(7)=170.26

U(23)=169.95

U(8)=190.23

U(24)=159.84

U(9)=169.84

U(25)=170.33

U(10)=169.73

U(26)=169.73

U(11)=169.74

U(27)=169.91

U(12)=170.21

U(28)=170.35

U(13)=169.76

U(29)=170.20

U(14)=169.67

U(30)=169.88

U(15)=169.83

U(31)=169.60

U(16)=170.35

U(32)=170.50

Доверительная вероятность: P= 0, 99

Доверительные границы:

Разрядность: 5 разрядов*

Количество наблюдений: n = 32

Обработка результатов измерений

Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.

При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и U(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.

Таблица 2

U(1)=170.02

U(16)=170.20

U(2)=170.41

U(17)=170.30

U(3)=169.95

U(18)=169.59

U(4)=170.17

U(19)=169.95

U(5)=169.95

U(20)=169.77

U(6)=170.01

U(21)=169.84

U(7)=170.26

U(22)=169.95

U(8)=169.84

U(23)=170.33

U(9)=169.73

U(24)=169.73

U(10)=169.74

U(25)=169.91

U(11)=170.21

U(26)=170.35

U(12)=169.76

U(27)=170.20

U(13)=169.67

U(28)=169.88

U(14)=169.83

U(29)=169.60

U(15)=170.35

U(30)=170.50

Проверим соответствие экспериментального закона распределения нормальному закону.

Для этого используем составной критерий согласия. Он включает в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев (критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений отвергается.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый соотношением:

(1),

где (В) – среднее арифметическое результатов наблюдений U_i, ;

(В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений U_i, .

Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:

Таблица 3

0.02

0.0004

0.02

0.41

0.1681

0.41

-0.05

0.0025

0.05

0.17

0.0289

0.17

-0.05

0.0025

0.05

0.01

0.0001

0.01

0.26

0.0676

0.26

-0.16

0.0256

0.16

-0.27

0.0729

0.27

10.

-0.26

0.0676

0.26

11.

0.21

0.0441

0.21

12.

-0.24

0.0576

0.24

13.

-0.33

0.1089

0.33

14.

-0.17

0.0289

0.17

15.

0.35

0.1225

0.35

16.

0.20

0.04

0.20

17.

0.30

0.09

0.30

18.

-0.41

0.1681

0.41

19.

-0.05

0.0025

0.05

20.

-0.23

0.0529

0.23

21.

-0.16

0.0256

0.16

22.

-0.05

0.0025

0.05

23.

0.33

0.1089

0.33

24.

-0.27

0.0729

0.27

25.

-0.09

0.0081

0.09

26.

0.35

0.1225

0.35

27.

0.20

0.04

0.20

28.

-0.12

0.0144

0.12

29.

-0.4

0.16

0.4

30.

0.5

0.25

0.5

Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):

Результаты наблюдений U_i считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняется следующее условие

где , - квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровню значимости α₁. Выберем α₁ и α₂ из условия α≤α₁+α₂, где α=1-Р=1-0,99=0,01.

α₁=0,02 и α₂=0,01.

Для n=15,р=0,95, α=0,02

a)Для n=30,P=0.99 .

0.8901

0.8827

Проведём интерполяцию:

Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842

Для n=30,P=0.99

0.7040

0.7110

Проведём интерполяцию:

Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096

0,7096<0,8643<0,8842

Распределение результатов наблюдений соответствует критерию I.

По критерию II, распределение результатов наблюдений соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение

где (В) – несмещенная оценка СКО результатов наблюдений U_i;

- верхняя квантиль распределения интегральной функции нормированного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности Р₂. Значение m и Р₂ находим по числу наблюдений n и уровню значимости α₂ для критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р₂=0,99. Затем вычисляем:

По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного нормального распределения находят , соответствующее вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;

=2,82*0,2597=0,7323 (В).

Ни одно значение не превосходит величину , следовательно распределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.

Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений (оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:

а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений, расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их перенумерацию:

Таблица 4

U(1)=169.59

U(16)=169.95

U(2)=169.60

U(17)=169.95

U(3)=169.67

U(18)=170.01

U(4)=169.73

U(19)=170.02

U(5)=169.73

U(20)=170.17

U(6)=169.74

U(21)=170.20

U(7)=169.76

U(22)=170.20

U(8)=169.77

U(23)=170.21

U(9)=169.83

U(24)=170.26

U(10)=169.84

U(25)=170.30

U(11)=169.84

U(26)=170.33

U(12)=169.88

U(27)=170.35

U(13)=169.91

U(28)=170.35

U(14)=169.95

U(29)=170.41

U(15)=169.95

U(30)=170.50

б) Для крайних членов упорядоченного ряда U₁ и U₁₅, которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем параметр:

в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.

Так как t_i< t_T, поэтому грубых результатов нет.

Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в соответствии с выражением:

(В).

Определим доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по формуле: , где Z– коэффициент по заданной доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58