Теоремы тригонометрии

Содержание:

I Введение

Вступление

Геометрия - одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни. Больше всего меня заинтересовали теоремы синусов и косинусов, которые применяются при решении произвольных треугольников. Цель данного реферата - уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решении задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни.

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Виды треугольников:

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла – острые, то есть меньше 90°

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.

Бермудский Треугольник - широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном - все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами. Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.

Впервые о «таинственных исчезновениях» в бермудском треугольнике упомянул корреспондент Associated Press Джонс, в 1950 году он назвал этот район «морем дьявола». Автором словосочетания «бермудский треугольник» обычно считают Винсента Гладдиса, опубликовавшего в 1964 году в одном из журналов, посвящённых спиритизму, статью «Смертоносный бермудский треугольник».

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

II Основная часть

Общие сведения о тригонометрических функциях

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус , например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной , или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cos = sin(90 - )). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x.

Синус, косинус, тангенс, котангенс.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB).

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

0°(0 рад)

30° (π/6)

45° (π/4)

60° (π/3)

90° (π/2)

180° (π)

270° (3π/2)

360° (2π)

N/A

Значения косинуса и синуса на окружности.

Свойства тригонометрических функций

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

cos(180° - α) = - cos α

Чётность и нечетность функций.

Чётная функция- функция y = f(x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = f(x)

Нечётная функция- функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(-x) = -f(x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

S = ½ ab sin C

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a, СА = b, h-высота

Доказать:

S = ½ ab sin C

Доказательство:

Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h= b sin C (т.к. sin C = h/b) => S = ½ ab sin C

Ч.т.д.

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ ab sinC, S = ½ bc sinA, S= ½ ac sinB.

Из первых двух равенств получаем ½ ab sinC = ½ bc sinA,

½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b

a sinC = c sinA │: sinA sinC

a/sinA = c/sinC

Точно также из второго и третьего равенства получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

b sinA = a sinB │: sinA sinB

b/sinB = a/sinA

Так как a/sinA = c/sinC и b/sinB = a/sinA, то a/sinA= b/sinB= c/sinC.

Ч.т.д.

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

угла равно диаметру описанной окружности.

a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2R sinA)

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2R sinA или BC/sinA= 2R.

Ч.т.д.

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a² = b² + c² − 2bc cosα.

Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a² = b² + c² − 2bc cosα

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 получаем:

ВС²= a²= (b cosA – c)²+( bsinА- 0)²,

a²= b²cos2A - 2bc cosA + c² + b² sin²A,

a²= b² (cos2A + sin2A) + c²- 2bc cosA,

a²= b²+ c²– 2bc cosA.

Ч.т.д.

Обобщенная теорема Пифагора.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a² = b² + c² − 2bccosα получаем:

a² = b² + c² ,

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

Задачи

№1

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано:

a = 7 см, b = 23 cм, ∟C = 130°

Найти: с, ∟А, ∟В

Решение:

c² = a² + b² − 2bc cosC

с = √49 + 529 - 2723(-0,643) 28

cos A = b² + c² − a² / 2bc

cos A = (529 + 784 – 49) / 2 23 28 » 0,981

∟А » 11°

∟В = 180° - (∟А+∟C) = 180°- (11°+130°) » 39°

Ответ: c 28, ∟А » 11°, ∟B » 39°.

№2

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

а=20 см, ∟А=75°, ∟В=60°

Найти: ∟C, b, c

Решение:

∟C= 180-(60°+75°) = 45°

a/sin A = b/sin B = c/sin C

b = a (sin B/ sin A)

b  20(0,866/ 0,966)17,9

c = a (sin C/ sin A)

c = 20(0,7/ 0,966)14,6

Ответ: ∟C=45°, b  17,9 см, c  14,6 см.

№3

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

а=7 см, b=2 см, с=8 см

Найти: ∟А, ∟В, ∟С.

Решение:

cos A = (4 + 64 – 49) / 2  2  8 » 0,981

∟А» 54°

cos B = (49 + 64 – 4) / 2  7  8 » 0,973

∟В» 13°

∟С = 180° - (54° + 13°) = 113°

Ответ: ∟А» 54°, ∟В» 13°, ∟С = 113°

№4

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а tg .

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН = , ∟АСВ = , ∟ВАС =  –. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = a sin / sin ( –). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin  = a sin sin / sin ( –).

№5

Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∟А=  и ∟В = . Эти данные, т.е. с,  и , позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.

Находим ∟С и sinC: ∟С=180°-  –, sin C= sin(180°-  –) = sin(+).

Так как d/sin  = c/sin C, то d = c sin / sin(+).

III Заключение.

В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Список литературы.

Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261
Балк М.Б., Балк Г.Д. «Математика после уроков», М., Просвещение, 1971., стр.56-57
Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114
Понарин Я.П. Элементарная геометрия. МЦНМО, 2004., стр. 84-85.