Содержание

Задача 1

Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х³-7х и D(x)=2х²+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

,

,

.

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

- не удовлетворяет условию задачи,

.

График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.

Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х₁ и х₂ – объемы некоторых ресурсов; цены р₁=1 и р₂=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения :

при .

,

.

Найдем максимум функции графически.

Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х₁=90.

,

.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х₁=90 и х₂=60.

Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

х

у

1

5

70

2

11

65

3

15

55

4

17

60

5

2

50

6

22

35

7

25

40

8

27

30

9

30

25

10

35

32

1. Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2. Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3. Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4. С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5. Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6. Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7. Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

8. Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

9. Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X.

10. Найдите коэффициент детерминации R² и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1. Корреляционное поле случайных величин X и Y

2. Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 – Вспомогательные расчеты

х

у

х²

y²

xy

1

5

70

25

4900

350

2

11

65

121

4225

715

3

15

55

225

3025

825

4

17

60

289

3600

1020

5

2

50

4

2500

100

6

22

35

484

1225

770

7

25

40

625

1600

1000

8

27

30

729

900

810

9

30

25

900

625

750

10

35

32

1225

1024

1120

сумма

189

462

4627

23624

7460

средн

18,9

46,2

462,7

2362,4

746

Математическое ожидание:

,

.

Дисперсия:

,

.

Среднеквадратическое отклонение:

,

.

Размах вариации:

,

.

3. Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции

Ковариация:

.

Коэффициент корреляции:

.

4. Уравнение линейной регрессии Y на X

,

,

.

5. Уравнение линейной регрессии X на Y

,

,

.

6. Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии

Точка пересечения (18,4;46,9).

7. Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Таблица 3 – Вспомогательные расчеты

х

у

x'

y'

x-x_cp

y-y_cp

(x-x_cp)²

(y-y_cp)²

1

5

70

5,572

62,975

-13,028

16,775

169,7288

281,4006

2

11

65

8,3645

55,745

-10,2355

9,545

104,7655

91,10702

3

15

55

13,9495

50,925

-4,6505

4,725

21,62715

22,32562

4

17

60

11,157

48,515

-7,443

2,315

55,39825

5,359225

5

2

50

16,742

66,59

-1,858

20,39

3,452164

415,7521

6

22

35

25,1195

42,49

6,5195

-3,71

42,50388

13,7641

7

25

40

22,327

38,875

3,727

-7,325

13,89053

53,65563

8

27

30

27,912

36,465

9,312

-9,735

86,71334

94,77023

9

30

25

30,7045

32,85

12,1045

-13,35

146,5189

178,2225

10

35

32

26,795

26,825

8,195

-19,375

67,15803

375,3906

сумма

189

462

188,643

462,255

2,643

0,255

711,7565

1531,748

средн

18,9

46,2

18,8643

46,2255

0,2643

0,0255

71,17565

153,1748

Для линии регрессии Y на X:

,

,

.

Для линии регрессии X на Y:

,

,

.

8. Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b₀ и b₁

Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31

Для линии регрессии Y на X:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

Для линии регрессии X на Y:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

9. Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b₀ и b₁ регрессии Y на X

Доверительный интервал для b₀:

<a₀<,

<a₀<,

54,97<a₀<83,03.

Доверительный интервал для b₁:

<a₁<,

<a₁<,

-1,23<a₁<-1,17.

10. Коэффициент детерминации R² :

.

Коэффициент детерминации R²=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.

15