Тема: Математические неожиданности листа Мёбиуса.

Класс: 3 «А».

Вид урока: лабораторная работа с элементами исследования.

Тип урока: открытие нового знания.

Формы работы на уроке: практическая групповая работа, фронтальный опрос, научный эксперимент.

Оборудование:

• геометрические фигуры, образец ленты Мебиуса;

• таблицы наблюдений экспериментов (Приложение 1);

• клей, ножницы, карандаши, листы Мебиуса различной формы для каждого опыта.

УУД

Регулятивные:

• осуществление учебных действий – самостоятельно находить несколько вариантов решения учебной задачи;

• планирование – планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;

• прогнозирование – предвосхищать результат действия.

Познавательные:

• общеучебные – познакомиться с элементами исследовательской работы; осознанно строить сообщения в устной форме и в форме презентации; выдвигать, формулировать, подтверждать или опровергать гипотезы;

• предметные - расширить знания в области экспериментальной математики.

Коммуникативные:

• планирование учебного сотрудничества – договариваться о распределении функций и ролей в совместной деятельности

• инициативное сотрудничество – предлагать помощь в сотрудничестве, обращаться за помощью к одноклассникам;

• взаимодействие – формулировать собственное мнение и позицию, задавать вопросы; строить высказывание.

Личностные:

• смыслообразование - осознают значение экспериментальной и исследовательской работы.

• нравственно-этическая ориентация – проявляют навыки сотрудничества в практической деятельности

Предварительная подготовка:

1. Выбрать роль (историки, практики, искусствоведы) и выполнить соответствующие задания.

2. Дать определение понятиям: исследование, гипотеза, эксперимент.

Понятия:

Исследование – процесс получения новых знаний.

Гипотеза (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.

Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

I. Организационный момент. Постановка целей и задач урока

Здравствуйте ребята. Сегодня у нас необычный урок. Мы с вами находимся в научно-исследовательской лаборатории. Каждый из вас - научный сотрудник. В каждой группе есть старший научный сотрудник. Вы исследователи, а я ваш научный руководитель.

В нашу лабораторию поступил спец. заказ (показывается коробка, в которой находятся задания для групповой работы, достается лист и макет листа Мебиуса) на исследование удивительной поверхности под названием лист Мебиуса.

Что же такое лист Мебиуса? Как же он возник? Давайте проведем экскурс в историю. Слово группе «историки»

II. Историческая справка

17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты очень любили. Ему нравилось удивлять их неожиданными задачками, он назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…

Сценка

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана и требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Открытая поверхность получила имя в честь описавшего ее математика и астронома Августа Фердинанда Мебиуса

Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени. Удавалось ли им выполнить задание? (Нет. Лента Мёбиуса – односторонняя поверхность)

III. Изготовление ленты Мёбиуса

Как же изготовить лист Мёбиуса? Слово «практикам».

Получается лист Мёбиуса очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец (демонстрация). Если полоска бумаги достаточно длинная, то такой поворот может произойти случайно (как у Марты).

IV. Работа с незнакомыми словами

Чтобы понять, как нам проводить исследование данной поверхности вы дома выясняли, что такое гипотеза, исследование и эксперимент. Какие источники информации вы использовали? Какой результат получили?

Во все времена человек большинство знаний добывал не путем рассуждений и догадок, а из собственного трудового опыта. Иногда человек специально проводит серию опытов, чтобы доказать либо опровергнуть некоторую гипотезу – научное предположение. Такая работа называется – эксперимент.

V. Техника безопасности

При выполнении этой работы нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

• Ножницы должны лежать на столе в закрытом виде;

• Передавать ножницы нужно кольцами вперед;

• При работе ножницы должны лежать с правой стороны;

• Не использовать ножницы без разрешения учителя.

VI. Лабораторная работа

ОПЫТ 1

Чтобы вам было более понятно, первый опыт я проведу вместе с вами.

(Достать из коробки задание и зачитать – Приложение 1)

Задание: Склейте кольцо. Что получится, если разрезать кольцо вдоль посередине?

Как вы думаете, какой ответ можно дать на этот вопрос? (Ответы детей)

Мы определились с гипотезой. Демонстрация заполнения бланка). Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей)

(В своем отчете я говорю гипотезу, результат и вывод)

Сейчас я каждой группе раздам задания (Приложение 1). Чтобы было проще проводить исследования, листы Мебиуса для некоторых заданий уже подготовлены. При выполнении задания вы должны обсудить гипотезу, записать ее в карточку. Провести эксперимент, который будет состоять из опытов, поставленных каждым членом группы, для большей достоверности результата. Записать результат эксперимента в карточку. На основании результата сделать вывод о том, подтверждена ваша гипотеза или нет.

И, если у вас еще останется время, подумать вместе с группой над тем, какой еще опыт можно провести с листом Мебиуса.

По истечении времени от каждой группы выйдет старший научный сотрудник с отчетом о проделанной работе.

Во время экспериментов я буду вашим консультантом.

(Раздаются задания для каждой группы. Дети проводят свои опыты. В ходе проведения опытов учитель выступает в роли консультанта.)

(После звонка будильника.) Звонок прозвенел, эксперименты мы заканчиваем. Ножницы, обязательно, положите на стол, чтобы они вам больше не мешали.

VII. Зарядка (Упражнения на внимание)

Вы очень хорошо потрудились, устали, и я предлагаю немного отдохнуть.

VIII. Отчет

Сейчас мы с вами приступаем к самой ответственной части нашего эксперимента – отчету. От каждой группы по очереди подходит старший научный сотрудник с отчетами и результатами своих экспериментов.

Во время проведения нашей работы мы использовали новые термины гипотеза и эксперимент. Что означают эти слова?

Сколько ответов из колонки гипотез совпало с ответами из колонки экспериментов?

Ребята, если ваша гипотеза не совпала с результатом эксперимента, не нужно прекращать заниматься научной работой. Ведь среди ученых существует правило, что отрицательный результат – это тоже результат. И твой труд не пропал напрасно.

IX. Где оставил след Мёбиус

Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса. Где же получило применение это изобретение?

Слово практикам

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

• Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

• Так же используется лента Мёбиуса в ленточном конвейере, фильтре, при заточке ножей, В матричных принтерах, в велосипедной и волейбольной камере.

• В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон.

• Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания.

• В виде ленты Мёбиуса можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного миксера — при этом энергозатраты снизятся, а качество бетона (или крема) улучшится.

• Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины в заводных игрушках – её нельзя перекрутить как обычную – своего рода вечный двигатель.

• Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”.

• Существует гипотеза, что наша Вселенная замкнута в тот же самый лист Мёбиуса.

Лист Мебиуса - удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Слово искусствоведам

• Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста.

• Лист Мёбиуса используют модельеры (Платки) и ювелиры в оформлении ювелирных изделий и бижутерии.

• Названия, символы (кафе, клубы; международный символ переработки)

Лист Мебиуса - символ математики.

• У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента Мёбиуса. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – это памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.

• Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл.

• Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

• Мёбиусовая лента понравилась и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке.

• Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»).

• Чудесные свойства тут же породили множество фантастических рассказов. Он постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев.

• Ленте Мебиуса посвящают стихи

Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой.

Мир разнообразней и необычней, чем мы привыкли его считать. И всё же, так ли уж нужно ломать голову над тем, как устроен этот мир? Или всё что нам нужно уже есть, и нам остается лишь выбрать «правильный» вариант? Выбор как всегда за вами. Он у вас есть даже в том – делать этот выбор или нет.

IX. Подведение итогов. Рефлексия

• Понравилось ли вам занятие?

• Как ваше настроение?

• За что вы можете себя похвалить?

• Что нового узнали?

Все группы работали отлично. (Среди групп выделяются лучшие и награждаются небольшими статуэтками в виде листа Мебиуса, ребятам этих групп присваиваются звания: профессор, магистр и бакалавр математических наук).

Поздравляю вас с успешным завершением исследования. А результаты нашего исследования я отправлю заказчику.

X. Домашнее задание

• Показать родным эксперименты с листом Мебиуса.

• Подумайте над вопросом: как склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой.

Приложение 1

Задание 1: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль посередине.

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 2: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль, отступив треть от края листа?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 1: Что получится, если перекрутить ленту дважды, а затем разрезать вдоль посередине?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 2: Что получится, если перекрутить ленту трижды, а затем разрезать вдоль посередине?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 1: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль, отступив от края сначала на 1 см?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 2: Что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль, отступив от края сначала на 2 см?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 1: Склеить вместе (одно в другом) лист Мёбиуса и простое кольцо. Что получится, если разрезать их вдоль?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Задание 2: Склеить вместе (одно в другом) два листа Мёбиуса. Что получится, если разрезать их вдоль?

Гипотеза

Результат эксперимента

Вывод

Лист Мёбиуса.

Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

Как замыкается пространство.
Стихотворение Вадима Соколова:

В бессрочной ленте бытия,
Где не мешает слов убранство,
Поступков лживости змея.
Бескомпромиссно, непорочно,
Бесстрастно в вечности своей.
Одностороннее построчно,
Объемно в матрице полей.
Незрима грань ума и сердца.
Её попробуй пересечь…
Придется только там вертеться,
Где точка всех разлук и встреч.
Как странна точка перегиба,
Что отделяет жизнь и смерть….
В жизнь прибегаешь торопливо,
Боясь, наверно, не успеть
Пройти весь длинный путь до срока…
Бежишь, не видя ничего,
И в том, что выбрал ты, нет прока…
И счастье-то – несчастливо,
Беда, ведь, в сущности, не горе,
А горе – вовсе не беда…
Вот, себялюбие – в позоре,
А глупость – горе навсегда.
И всё бежишь, не зная меры.
Дверь приоткрыта, вечность ждёт…
Ты здесь один, и всё без веры….
А благодать к тебе сойдет?
Да полно ждать благословенья,
Когда граница всех дорог
Уж пред тобой. Одно мгновенье –
И вот уже нажат курок,
Не пистолета, не винтовки,
Судьба-оружие бьет цель.
И, как всегда, наизготовку,
Кладет на черную постель.
Преодолев земные страсти,
Пути другие ты пройдешь.
Ты будешь прежним лишь отчасти,
Когда сюда ты вновь придешь.
Так замыкается пространство
В бессрочной ленте бытия.
Всегда наш путь – дорога странствий
И поиск именно себя.