Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №3

г. Грязи Липецкой области

Элективный курс по математике

«Уравнения

с параметрами»

Выполнила:

Наумова Татьяна Ивановна

.

Г.Грязи

Пояснительная записка

Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Знакомство с параметрами в школьной алгебре полезно не только для поступления в вуз, но и само по себе.

Программа курса «Уравнения с параметрами» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы.

Цели:

1. Создание условий для самореализации учащихся в процесс учебной деятельности.

2. Формирование у учащихся отчетливого представления о параметрических задачах и основных принципах их решения.

3. Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Задачи:

- приобщить учащихся к работе с математической литературой;

- закрепление основ знаний об уравнениях;

- формирование умений не только производить какие-то выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий;

- вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Курс предназначен для учащихся 8 - 9 классов, рассчитан на 18 часов аудиторного времени.

Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Фомой итоговой отчетности учащихся является контрольная работа.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Учащиеся должны знать:

- что такое параметр и что означает решить уравнение с параметром;

- условия, при которых система линейных уравнений имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет решений;

- основные формы и методы решения параметрических уравнений;

Учащиеся должны уметь:

- решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;

- рассматривать различные случаи (и понимать, какие именно случаи нужно рассмотреть), при решении параметрических уравнений и неравенств;

- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении параметрических уравнений и неравенств;

- решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

- решать системы линейных уравнений с параметром.

Содержание учебного материала

1. Введение. Постановка задач курса

2. Линейные уравнения с параметрами

3. Системы линейных уравнений с параметрами

4. Дробно-линейные уравнения с параметрами

5. Квадратные уравнения с параметрами

6. Условия на корни у квадратного уравнения

Тематическое планирование

№

Тема

Количество

часов

Форма

проведения

1

Введение. Постановка задач курса.

Параметр. Основные определения. Что такое параметр? Область определения уравнения с параметром. Что значит решить уравнение с параметром?

1

Лекция

2

Линейные уравнения с параметрами.

Методы решения линейных уравнений с параметром в общем виде.

2

Лекция, практикум

3

Системы линейных уравнений с параметрами.

Повторение основных методов решения систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений с параметром

4

1

3

Лекция,

практикумы

практикум

лекция,

практикумы

4

Дробно-линейные уравнения с параметрами.

Метод интервалов при решении дробно-линейного уравнения

Решение дробно-линейных уравнений с параметрами

4

1

3

Лекция,

практикум,

сам. работа (тест) практикум

лекция, практикум

тест

5

Квадратные уравнения с параметрами.

Методы решения квадратных уравнений с параметром в общем виде

2

Лекция, практикум

6

Условия на корни квадратного

уравнения

Неполные квадратные уравнения с параметром.

Задачи с параметром, решаемые с помощью теоремы Виета.

Знаки корней квадратного уравнения с параметром.

Расположение корней квадратного трёхчлена.

4

1

1

1

1

Лекции,

практикумы,

тесты

Контрольная работа

1

Контр. работа

Формы контроля:

1. Контрольная работа в двух вариантах

2. Тематические тесты

3. Мини-доклады

4. Проекты

Приложение к содержанию учебного материала

1. Введение. Постановка задач курса

1.Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

(Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи.)

Например: 2а (а –2) = а –2, где а – произвольное действительное число, т.е. параметр.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче.

Если требуется решить уравнение, неравенство и т. п., то это означает найти ответ для любого значения параметра.

Если надо найти значение параметра, при котором множество решений уравнения и т. д. удовлетворяет какому-то условию, то решение задачи состоит в поиске этих значений.

3. Основные типы задач с параметром.

Тип 1. Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2.Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

Тип 4. Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

4. Основные методы решения задач с параметром.

Способ 1. Аналитический. Самый трудный, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ силового, прямого, «наглого» решения.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

Графический способ применяют тогда, когда параметр присутствует в уравнении только в качестве слагаемого и не связан с переменной.

Способ 3. Решение относительно параметра. Переменные х и а принимаются равнозначными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных и заканчиваем решение.

План решения

Множество значений параметра разбиваем на подмножества, на которых происходит качественное изменение уравнения.

Для этого необходимо найти контрольные значения параметра. ( В дальнейшем будем обозначать К.З.)

2. Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах – b = 0, где а, b – параметры, называется линейным уравнением относительно х. Оно приводится к виду ах = b.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента в 0.

1. 0х = 0 множество решений.

2. 0х = с корней нет.

3. kx = b единственное решение.

Решение примеров.

1) Для каждого значения параметра а найдите решение уравнения.

ах = 5.

Решение.

К.З: а = 0

Если а = 0, то 0х = 5 корней нет.

Если а  0, то х = один корень.

Ответ: при а  0 х = ; при а = 0 корней нет.

2) 2а (а –2)х = а – 2.

Решение.

К.З. 2а (а-2) = 0, а = 0, а = 2.

Ответ: При а = 0 0х = -2 корней нет.

При а = 2 0х = 0 множество корней.

При а ¹ 0, а ¹ 2 х = один корень.

3) (а² – 9)х = а - 3.

Решение.

К.З. а = 3, а = -3

Ответ: При а = 3 0х = 0 множество решений.

При а = -3 0х = -6 корней нет.

При а ¹ 3, а ¹ -3 х = ; один корень.

2. Сколько корней имеет уравнение ах = 3а + 8 при указанных значениях параметра а: а = 10, а = -2, а =, а = 0.

Решение.

х = , О.Д.З. а  0.

Ответ: При а = 10, а = -2, а = один корень.

При а = 0 корней нет.

3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а² + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1?

Решение.

(2а – 4)х = (а – 2)² К.З. а = 2.

При а = 2 0х = 0 множество решений, в том числе и больше 1.

При а  2 х = . По условию х  1, значит > 1, а > 4.

Ответ: при а = 2; а Є (4; +).

К концу работы над темой школьники должны:

1. Понимать необходимость учета наличия параметра.

2. Уметь решать уравнения вида:

1) ах+2=5; 2) ах+2=5х; 3) ; 4) ах+6=2х+2а; 5) ; 6) (2х-3)(ах+4)=0; 7) а²х=х+2.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 1. Простейшие уравнения.

№

задание

Ответ

1.

х – а = 0

при а Є R, x = a.

2.

5x = a

при а Є R, х =

3.

ах = 0

при а = 0, х Є R; при а ≠ 0, х = 0.

4.

(а – 1)х = 6

при а = 1 корней нет, при а ≠ 1, х =

5.

2ах = 1 - х

при а = - 0,5 корней нет, при а ≠ - 0,5 , х =

6.

3 – ах = х

при а = - 1 корней нет, при а ≠ - 1, х =

7.

ха² = а + х

при а = ± 1 корней нет, при а ≠ ± 1, х =

8.

4а - а²х = 2ах

при а = 0, х Є R, при а = -2 корней нет, при других а

х =

9.

(а² – 4)х = а² + а - 6

при а = 2 х Є R, при а = -2 к.н., при других а

х =

10

(а² - 9)х = 9а² -10а -51

при а = 3 х Є R, при а = -3 к.н., при других а

х =

11.

(а² -5а +6)х = а⁴ - 16

при а = 2, х Є R, при а ≠ 2 х = , при а = 3 к.н.

3. Системы линейных уравнений с параметрами

1) Сколько решений, в зависимости от а, имеет система уравнений ?

2) При каких а система уравнений не имеет решений.

4. Дробно-линейные уравнения с параметрами

Уравнения вида P(X)/G(X) = 0.

К.З. находятся при обращении старшего коэффициента и знаменателя в 0.

1.Решить уравнение.

А). = 0.

Решение.

К.З. х  а.

х² – 9 = 0, х = 3, х = -3.

Ответ: При а = 3 х = -3. При а = -3 х = 3. При а  3, а ¹ -3, х = 3,

х = -3.

Б). = 0. О.Д.З. х ¹ 2, х ¹ -2.

Решение.

(а – 1)х – 5 = 0. К.З. а = 1.

При а = 1 0х = 5, корней нет.

При а ¹ 1, х = ; ¹ 2, ¹ -2.

а ¹ 3,5 а ¹ -1,5.

Ответ: при а = 1; а = 3,5; а = -1,5. корней нет.

при а ¹ 1; а ¹ 3,5; а ¹ -1,5. один корень х = .

В). = 3.

Решение.

К.З. а = 0, х  2а.

Преобразуем уравнение а = 6а – 3х, х = .

При а =0 0 = 3 корней нет.

При а ¹ 0 х = , ¹ 2а, а ¹ 0.

Ответ: при а = 0 корней нет. При а ¹ 0 один корень х = .

Г). – х – 1 = а. О.Д.З. х 

Решение.

Преобразуем уравнение к виду ах = 2а + 1. К.З. а = 0.

При а = 0 0 = 1 корней нет.

При а  0 х = . Учтем О.Д.З.  1, а  -1.

Ответ: при а = 0, а = -1 решений нет.

При а  0, а  -1 один корень х = .

Д). при каких значениях а сократима дробь:

Решение.

.

Ответ: При а = -4; 3. дробь будет сократима.

Задачи для самостоятельного решения.

Блок 2. Дробно-рациональные уравнения.

№

задание

Ответ

1.

= 0

при а = 1 к.н., при а ≠ 1, х = а.

2.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

3.

= 0

при а = 0 к.н., при а ≠ 0 х = 0.

4.

При каких а дробь сократима:

при а = 1; 64

5.

при а = -1; 4.

5. Квадратные уравнения с параметрами

Уравнение вида ах² + bx + c = 0, где a, b, c выражения, зависящие только от параметров, и а  0 называется квадратным уравнением относительно х.

К.З. находятся при обращении в 0 старшего коэффициента и дискриминанта.

Учащиеся повторяют задачи с параметром, которые решались в предыдущих темах, изучили тему «Квадратные уравнения», «Теорема Виета и ее применение».

Примеры заданий:

1) Найти все значения параметра а, при которых уравнение

ах²+(а+1)х+1=0

имеет единственное решение.

2) При каких а уравнение х²+2(а 2)х+а+3=0 имеет:

1. хотя бы один положительный корень;

2. хотя бы один отрицательный корень;

3. один корень меньше 1, второй корень – больше 1;

4. корни уравнения меньше 1;

5. корни уравнения больше 1.

6. Условия на корни у квадратного уравнения

10 правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение не имеет корней, если D  0.

Правило 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D  0.

Правило 3. Квадратное уравнение имеет два кратных корня, если D = 0.

Правило 4. Квадратное уравнение имеет два корня х₁ < М и х₂ > М, если аf(М) < 0. (корни разных знаков, если М = 0.)

Правило 5. Квадратное уравнение имеет два разных корня х₁, х₂  ()М, если D > 0, af(M)  0, х₀ > (<) M. (оба положительные или оба отрицательные, если М = 0)

Правило 6. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой вне этого интервала, если f(m) f(M) < 0.

Y

 

m X₁ M X₂ X

Правило 7. Квадратное уравнение имеет единственное решение х₁ = х₂ > М,

(х₁ = х₂ < М), если D = 0, х₀ > M. ( D = 0, х₀ < M).

Y



M X₀ X

Правило 8. Квадратное уравнение имеет разные корни внутри интервала (m;M) или промежутка [m; M], если D > 0, af(m) > 0, af(M) > 0, m < х₀ < M, или D > 0, af(m) ³ 0, af(M) ³ 0, m < х₀ < M.

m X₁ X₂ M

Правило 9. Квадратное уравнение имеет корни вне интервала или промежутка, если af(m) < 0, af(M) < 0, или af(m) £ 0, af(M) £ 0.

 

X₁ m M X₂ X

Правило 10а. Квадратное уравнение имеет корни х₁ < m < х₂ < M, если af(m) < 0, af(M) > 0.

X₁ m X₂ M

  X

Правило 10б. Квадратное уравнение имеет корни m < х₁ < M < х₂, если аf(m) > 0, af(M) < 0.

  X

m X₁ M X₂

Литература

1. Л. Солуковцева. Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами.– Москва: Чистые пруды, 2007.

2. В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. – 2-е изд. – Минск: Асар, 2002.

3. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. Математика: Справочные материалы. – Москва: Просвещение, 1988.

4. Габович И. Г., Горнштейн П. И. Сколько корней имеет уравнение? \\ Квант. – 1985. – 3. с. 43-46.

5. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Необходимые условия в задачах с параметром. \\ Квант. – 1991. – 11. –с. 44-49.

6. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметром. М.: 1998. – 336 с.

7. Дорофеев Г. В. Как расположены корни трехчленов? \\ Квант. – 1986. -7. с. 45-49.