Конспект урока на тему «Элементарные функции и их графики»

Методические рекомендации для обучающихся по теме

«Элементарные функции и их графики»

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо

Пр порциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k x ,

где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tqα = k ( рис. ).

Поэтому,коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис. показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .

Линейная функция.

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность.

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y =

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ;

- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Квадратичная функция.

Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c – постоянные

В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax ².

График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ).

График функции y = ax ² + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x² и дискриминанта D = b² – 4ac. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Степенная функция. Это функция: y = axⁿ, где a, n – постоянные.

При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;

при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу.

Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ).

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x ³ называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция .

Показательная функция. Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.

Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа.

Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1.

При a> 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.

Логарифмическая функция.

Функция y = log _a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической.

Свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0;

- это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- функция неограниченная, всюду непрерывная;

- у функции есть один ноль: x = 1.

Тригонометрические функции.

При построении тригонометрических функций мы используе м радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.