«Однородные тригонометрические уравнения»

(алгебра и начала анализа, 10 класс)

Пронина Светлана Михайловна

учитель математики

ГБОУ СОШ №2100

Урок подготовлен и проведен в рамках технологии "Развитие критического мышления через чтение и письмо" с использованием стратегии «Чтение с остановками», включает в себя три стадии: вызов, осмысление, рефлексия. На уроке продолжается разговор про решение тригонометрических уравнений и рассматривается решение однородных тригонометрических уравнений. Учащиеся самостоятельно добывают знания; в течение всего урока они работают в парах, в группах; обмениваются информацией. Урок сопровождается презентацией.

Цель урока: изучение способа решения однородных тригонометрических уравнений.

• Обучающая задача: актуализировать, расширить и обобщить знания учащихся о способах решения тригонометрических уравнений; ввести понятие однородного тригонометрического уравнения; отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений;

• Развивающая задача: развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности; развивать исследовательскую и познавательную деятельность;

• Воспитательная задача: воспитывать самостоятельность, активность, ответственность за порученное дело, упорство в достижении поставленной цели.

Великий физик, математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Сегодня на уроке мы продолжим разговор про тригонометрические уравнения, вспомним про то, что уже знаем и научимся определять и решать уравнения нового типа. Тригонометрия традиционно популярна при проведении всевозможных экзаменов (в том числе ЕГЭ), конкурсов, олимпиад. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения, определять способы решения тригонометрических уравнений. С этого и начнем.

1.Стадия вызова-

Цель: а) актуализация знаний учащихся по теме;

б) пробуждение интереса к изучаемой теме, мотивация каждого ученика к учебной деятельности.

Прием: создание проблемной ситуации.

Формы работы: фронтальная.

1. Вопросы по домашнему заданию. Какие способы решения тригонометрических уравнений вы использовали в №199, №200.

2.На доске написан набор тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается прочитав уравнение, определить способ его решения.

Уравнение

Способ решения

cos (4х – 2) = -1/2;

формула общего вида решения тригонометрических уравнений

cos²х – 2cos х = 0;

вынесение за скобку общего множителя

cos²х– sin²х = 1;

основные тригонометрические формулы

3sin²х – 5sin х – 2 = 0;

введение новой переменной

2sin х – 3cos х = 0;

?????

(tg х- √3)(2sin  + 1) = 0;

равенство нулю произведения

sinх=0

с помощью единичного круга

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

?????

Учащиеся называют уравнение и обозначают способ его решения. В результате остаются два уравнения, для которых не подходит ни один из известных способов решения:

2sin х – 3cos х = 0;

3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

Такие уравнения в математике называются однородными и для них есть свой способ решения. Итак, тема нашего урока «Однородные тригонометрические уравнения».

2.Стадия осмысления-

Цель: а) соотнесение уже имеющихся знаний с информацией, которую предлагается прочитать;

б) получение новой информации, ее осмысление.

Прием: сопоставление версии с новым фрагментом текста.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная.

Итак, первое уравнение решить известными способами не удалось. Что можно сказать об этом уравнении? Чем оно отличается от остальных? Второе уравнение решить известными способами не удалось. Что можно сказать об этом уравнении? Чем оно отличается от остальных?

Что общего между этими двумя уравнениями? В чем различие? Попробуйте сформулировать определение однородного тригонометрического уравнения?

Давайте подтвердим или опровергнем свои предположения, прочитав фрагмент текста.

1. Уравнение вида аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

2. Уравнение вида аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0 где a 0, b0, с0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Вообще, однородным относительно sin х и cos х называется уравнение вида а₀sinⁿ х + а₁sin^n-1хcos х+…+а_n-1 sin хcos ^n-1 х+а_ncosⁿх=0, где а₀, а₁, …а_n – действительные числа. Сумма степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом левой части одинакова и равна числу n, называемом показателем однородности.

Отличительные признаки однородных уравнений: а) все одночлены имеют одинаковую степень, б) свободный член равен нулю, в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Примеры: - однородное уравнение первой степени; - однородное уравнение второй степени.

Остановка в чтении и беседа. Это стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста. А как вы думаете, какой способ решения имеют уравнения такого вида?

При делении уравнения аsin x + bcos x = 0, где а≠0, b≠0 на cos x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.

При делении уравнения аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0, где a 0, b0, с0 на cos² x ≠ 0 корни этого уравнения не теряются.

Следовательно, основной способ решения однородных уравнений заключается в делении на старшую степень синуса или косинуса.

Остановка в чтении и беседа. Это стадия осмысления предыдущего фрагмента и одновременно стадия вызова для следующего фрагмента текста. А почему при делении на старшую степень синуса или косинуса не происходит потери корней? Ведь раньше мы всегда говорили, что делить нельзя?

Рассмотрим тригонометрическое уравнение второй степени. И предположим обратное. Пусть cosх равен нулю, но тогда в уравнении аsin²х + bsin х cos х + c cos² x = 0 и sinх будет равен нулю, но sinх и cosх одновременно не могут равняться 0, согласно основному тригонометрическому тождеству. Аналогичная ситуация и для однородного тригонометрического уравнения первой степени. Значит, при делении потери корней не происходит, а, следовательно, делить можно.

3.Стадия рефлексии-

Цели: а) оценка своих знаний, вызов к следующему шагу познания;

б) осмысление и присвоение полученной информации.

Прием: выдвижение новой версии в решении тригонометрических уравнений.

Формы работы: индивидуальная, парная.

1. Найти среди уравнений однородные, определите их вид и укажите способ решения.

1.      sinx = 2cosx – однородное первой степени

2.      √3sin3x – cos3x = 0 – однородное первой степени

3.      sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное

5.      6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное второй степени

2. Теперь вернемся к нашим нерешенным уравнениям и попробуем их решить.

А) 2sin х – 3cos х = 0;

Б)3sin²х+sinх cos х=2cos²х.

Обменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте решение.

3. Решите уравнение:

А) 3sin² х - 5sin х cos х + 2 cos²х=0

Б) sin³ х - sin² х cos х - 4sin х cos² х + 4 cos³х=0

В) 4sin х cos х + 6 cos²х=1(рассмотреть два способа решения)

4. Работа с учебником: №11.29* (в,г), №11.30 (а,б,в)

5. Решите уравнение sin х+ cos х=√2

Подведение итогов урока. Запись домашнего задания.