Филиал муниципального бюджетного образовательного учреждения Сосновской средней школы №1 в с. Ольхи Сосновского района Тамбовской области

Реферат

«Построение графиков, содержащих знаки абсолютной величины»

Подготовил Галахов Виталий Сергеевич ученик 9 класс

Руководитель Глумова Любовь Семеновна

С.Ольхи

2011-2012

План

1. Введение

2. Построение графика функции y = |f(x)|

3. Построение графика y = f(|x|)

4. Построение графика y = |f(|x|)|

5. Построение графика функции | y | = f(x) при f(x) ≥ 0

6. Построение графиков функций | y | = |f(x)|

7. Заключение

8.Литература

Введение

Курс «Построение графиков функций, содержащих модуль» позволяет получить глубокие знания о графиках функций, содержащих выражение под знаком модуля, навыки решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Расширит границы знаний приемов решения уравнений и неравенств с модулем, расширит общий кругозор личности и разовьет эстетическое восприятие математических фактов, глубже покажет связь между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами.

Целью этого курса является развитие мотивации учащихся к изучению точных наук, привитие интереса к математике, раскрытие красоты и важности математики в жизни человека. Исходя из этого, основными задачами этого курса можно считать выявление математических наклонностей и способностей учащихся; понимание значимости математики как части общечеловеческой культуры для профессиональной деятельности, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.

Построение графиков некоторых функций

1.Построение графика функции y = |f(x)|

F(x) для тех x, где f(x) ≥ 0

По определению модуля│f(x)│ =

- f(x) для тех x, где f(x) < 0

Чтобы построить график функции y = │f(x)│ , надо сначала построить график функции y = f(x), а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси

Пр.1 y = | x² -6x +5 |

Пр.2 y = | 2x – 1 |

2. Построение графика y = f(|x|)

Заметим, что т.к. f(| -x|) = f(|x|), то функция y = f(|x|) четная и для построения ее графика следует удалить точки графика функции f(x), находящиеся слева от оси OY, а все точки, лежащие на оси OY и справа от нее, отобразить симметрично относительно оси OY.

Пр.3 Y=X² +6| X |+5

3. Построение графика y = |f(|x|)|

Последовательность действий учащимися:

• Строим график функции y = f(x) для x ≥ 0

• Отображаем построенную часть графика относительно оси ординат

• Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси

Пр.4 y = | 2 - |x||

Строим так, рассматриваем его при x< 0 и при x ≥ 0, а затем отображаем относительно оси абсцисс, т.к. y должен быть ≥ 0.

4. Построение графика функции | y | = f(x) при f(x) ≥ 0

Раскрывая модуль под знаком, которого y может быть с «+» и «- »

y = f(x)

, тогда y = + f(x) , где f(x) ≥ 0

-y = f(x)

Рассмотрим последовательность построения графика:

• Установить для каких X выполняется условие f(x) ≥ 0

• На найденных промежутках значений x построить график функции

y = f(x)

• Осуществить зеркальное отражение графика относительно оси абсцисс

Пр.5 | y | = х² +6х +5

• Выясняем, где х² +6х +5 ≥ 0, нашли эти промежутки на них строим

y =х² + 6х +5

• Затем зеркально отражаем относительно оси абсцисс y =х² + 6х +5 ; х² +6х +5= 0 D=4² , два корня

Х₁ = -1, Х₂ =-5 Х _в =-3, Y _в =-4

5.Построение графиков функций | y | = |f(x)|

Опять под знаком модуля y может быть «+» и «-» , тогда

y = +f(x), очевидно этот график будет симметричен относительно оси абсцисс, т.к. левая часть под модулем.

Последовательность действий:

• Строим график y = │f(x)│

• Осуществляем его зеркальное отражение относительно оси абсцисс

Пр.6 | y | =│ x│, y = + | x |

• Строим график y = │x │

• Отображаем относительно оси абсцисс

6. Построение графиков функции вида y = |x –x₁ | + | x - x ₂ | + |x – x₃ | + ….+ | x –x_n |

Пр.7 Построить график функции y = |x – 1 | + | x +2 |

• Найти абсциссы точек «перелома» графика функции

• В данном случае используем для этого условие: x – 1= 0 , x =1

x+2=0, x= -2Рассмотрим знаки подмодульных выражений функции на трех промежутках

а) x € (_ ; -2 ] , (-2; 1] , (1 ; _)

x € (-_ ; -2 ] y = |x – 1 | + | x +2 | , y = -x + 1 - x - 2, y = -2x -1

(-2; 1] y = |x – 1 | + | x +2 |, y = -x + 1 + x +2, y = 3

(1; _) y = |x – 1 | + | x +2 |, y = x - 1 + x +2, y = 2x +1

• Строим графики, полученных функций на рассматриваемых промежутках

Пр.8 Построить график функции Y= | х² - 3 | x | +2 |, сначала строим график функции Y= х² - 3 | x | +2 , а затем отобразим ту часть, где симметрична относительно оси ох.

х² – 3 x +2=0 , D=1, два корня. Х₁ = 1, Х₂ = -1, Ув = - 0,25

Заключение

В процессе изложения курса «Построение графиков функций, содержащих знак модуля», произошло ознакомление учащихся с основными приемами построения графиков, содержащих модуль, их свойствами, привлечение внимания к эстетической стороне данного вида деятельности.

Геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания подавляющего большинства учащихся, т.к. с ее использованием алгебраическая задача перестает быть абстрактной и отвлеченной, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащихся. Геометрический образ откладывается в сознании учащихся и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т.е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически.

Таким образом,учащиеся на базовом уровне сначала повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.

Литература

1. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 8 кл. с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Прд. Ред. Н.Я.Виленкитна. – 5-е изд. М.: Просвещение, 2001.

2. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 кл. с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Прд. Ред. Н.Я.Виленкитна. – 5-е изд. М.: Просвещение, 2001.

3. Дорофеев Г.В. Математика: для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2002.

4. Гельдфан И.М. Функции и графики (основные приемы) М.: Наука, 1971.

5. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

6. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра 8 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

7. Мордкович А.Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

8. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра 9 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

9. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. Для учителя. М.: Просвещение, 1987.