Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами

1 Аналітичне моделювання статичного режиму

Рис. 1

Розрахувати статичну модель і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.

G1=25

G2=25

p0=6

p=2

p1=1,5

Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні та . Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.

Де та - коефіцієнти витрати клапанів; та значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1

Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними та .

Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу та , які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.

І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.

Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.

З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.

Відомо, що :

Значення функціональної залежності отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).

Таблиця 1

Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі

№

Назва параметру

Позначення

Розмірність

Дані

1

Витрати повітря на вході

G1

кг/год

20

2

Витрати повітря на виході

G2

кг/год

20

3

Тиск повітря на вході

P0

кг/см2

6

4

Тиск повітря в ресивері

P

кг/см2

4

5

Тиск повітря на виході

P1

кг/см2

3

6

Ступінь відкриття вхідного клапану

-

0.4

7

Ступінь відкриття вихідного клапану

-

0.6

8

Температура повітря

t

оС

20

9

Щільність повітря

кг/см3

10

Щільність повітря в ресивері

кг/см3

11

Коефіцієнт витрати вхідного клапана

12

Коефіцієнт витрати вихідного клапана

13

З довідника відомо, що при тиску і температури 20⁰С дорівнює кг/см²

Отримана залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику

Р кг/см2

0

3

0,1

3,116

0,2

3,386

0,3

3,7

0,4

4

0,5

4,269

0,6

4,5

0,7

4,698

0,8

4,866

0,9

5,008

1

5,128

2 Аналітичне моделювання динамічного режиму

Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р₃. Необхідно знайти залежність:

, де ступінь відкриття клапану на вхідному потоці; - витрати газу з ресивера, кг/год.

Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання

Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів

Н/см² ; Н/см² ; Н/см² ; кг/год

Ємкості ресивера мають об’єм ;

На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей

Витрати та потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:

,

де та - коефіцієнти витрати; та - це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.

Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:

За умовою, що

та ,

Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:

Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є : . Якщо та будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням будуть змінюватися та , а в зв’язку з тим, що - змінна, то змінною буду і . Таким чином, змінними в рівняннях будуть . Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.

В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск та щільність , тиск та щільність . Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:

,

Введемо умовне позначення .

Де

Виключивши з рівнянь змінни та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при , отримаємо:

Де

; ; ;

; ; ;

Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.

Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо . Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:

,

де - атмосферний тиск, Н/см²;

- абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, ; ; .

Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м³.

Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення для основного статичного режиму:

, ,

Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати .

.

Знайдемо числове значення виразу , .

Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.

; ; ; .

Таблиця 2

Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі

№ п.п

Назва параметру

Позначення

Розмірність

Числові значення

1.

Тиск повітря на вході

Н/см2

80

2.

Тиск повітря в першій ємкості

Н/см2

50

3.

Тиск повітря в другій ємкості

Н/см2

16

4.

Витрати повітря ()

Кг/год

60

5.

Об'єм першої ємкості

м3

3

6.

Об'єм другої ємкості

м3

5

7.

Ступінь відкриття клапану

-

0.5

8.

Щільність повітря на вході

Кг/м3

11.9

9.

Щільність повітря в перщій ємкості

Кг/м3

7.9

10.

Щільність повітря в другій ємкості.

Кг/м3

3.42

11.

Коефіцієнт витрати через клапан

6.35

12.

Коефіцієнт витрати парубка між ємкостями

3.6

13.

0.133

Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.

год² ; год; ; ; .

Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі

.

Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності .

Знайдемо розв'язання рівняння

у вигляді , де - вільна складова; - примусова складова.

Початкові умови приймемо нульовими:

Керуючий вплив визначаємо наступним чином: . Збурюючий вплив та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: , ; .

Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:

де, С₁ та С₂ – сталі інтегрування.

Примусова складова, у урахуванням того, що не залежить від часу, складе:

Н/см²

Для визначення сталих інтегрування С₁ та С₂ складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від має наступний вид:

Система рівнянь формується наступним чином:

Звідси маємо:

Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С₁ та С₂:

, .

Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння

За цією формулою проведемо розрахунки , результати яких наведені в таблиці.

0

0

1

0,174

2

0,542

3

0,972

4

1,399

5

1,798

6

2,157

7

2,474

8

2,751

9

2,992

10

3,201